बेलनी निर्देशांक प्रणाली

उत्पत्ति के साथ एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली O, ध्रुवीय अक्ष A, और अनुदैर्ध्य अक्ष L. डॉट रेडियल दूरी वाला बिंदु है ρ = 4, कोणीय निर्देशांक φ = 130°, और ऊंचाई z = 4.

एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली एक त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली है जो एक चुने हुए संदर्भ अक्ष (विपरीत छवि में अक्ष एल) से दूरी द्वारा बिंदु की स्थिति निर्दिष्ट करती है, अक्ष से एक चुनी हुई संदर्भ दिशा के सापेक्ष दिशा ( अक्ष A), और चुने गए संदर्भ तल से अक्ष के लम्बवत् दूरी (बैंगनी भाग वाला तल)। बाद की दूरी को धनात्मक या ऋणात्मक संख्या के रूप में दिया जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि संदर्भ तल का कौन सा पक्ष बिंदु का सामना करता है।

सिस्टम का 'मूल' वह बिंदु है जहां सभी तीन निर्देशांक शून्य के रूप में दिए जा सकते हैं। यह संदर्भ तल और अक्ष के बीच का चौराहा है। अक्ष को बेलनाकार या अनुदैर्ध्य अक्ष कहा जाता है, इसे ध्रुवीय अक्ष से अलग करने के लिए, जो कि रेखा (गणित) #किरण है जो संदर्भ तल में स्थित है, उत्पत्ति और संदर्भ दिशा में इंगित करना। अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अन्य दिशाओं को 'रेडियल लाइन' कहा जाता है।

धुरी से दूरी को 'रेडियल दूरी' या 'त्रिज्या' कहा जा सकता है, जबकि कोणीय समन्वय को कभी-कभी 'कोणीय स्थिति' या 'अजीमुथ' के रूप में संदर्भित किया जाता है। त्रिज्या और दिगंश को एक साथ 'ध्रुवीय निर्देशांक' कहा जाता है, क्योंकि वे संदर्भ विमान के समानांतर बिंदु के माध्यम से विमान में द्वि-आयामी ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली के अनुरूप होते हैं। तीसरे निर्देशांक को ऊँचाई या ऊँचाई कहा जा सकता है (यदि संदर्भ तल को क्षैतिज माना जाता है), अनुदैर्ध्य स्थिति, या अक्षीय स्थिति। बेलनाकार निर्देशांक उन वस्तुओं और परिघटनाओं के संबंध में उपयोगी होते हैं जिनमें अनुदैर्ध्य अक्ष के बारे में कुछ घूर्णी समरूपता होती है, जैसे गोल क्रॉस-सेक्शन वाले सीधे पाइप में पानी का प्रवाह, धातु सिलेंडर (ज्यामिति) में गर्मी वितरण, विद्युत द्वारा उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र एक लंबे, सीधे तार में करंट, खगोल विज्ञान में अभिवृद्धि डिस्क , और इसी तरह।

उन्हें कभी-कभी बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक कहा जाता है और ध्रुवीय बेलनाकार निर्देशांक, और कभी-कभी आकाशगंगा (गैलेक्टोसेंट्रिक बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक) में सितारों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

तीन निर्देशांक (ρ, φ, z) एक बिंदु का P के रूप में परिभाषित किया गया है:

• अक्षीय दूरी या रेडियल दूरी ρ से यूक्लिडियन दूरी है z-अक्ष से बिंदु P.
• अज़ीमुथ φ चुने गए तल पर संदर्भ दिशा और मूल से प्रक्षेपण तक की रेखा के बीच का कोण है P विमान पर।
• अक्षीय समन्वय या ऊंचाई z चयनित विमान से बिंदु तक की हस्ताक्षरित दूरी है P.

अद्वितीय बेलनाकार निर्देशांक

ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में, बेलनाकार निर्देशांक के साथ एक ही बिंदु (ρ, φ, z) असीमित रूप से कई समतुल्य निर्देशांक हैं, अर्थात् (ρ, φ ± n×360°, z) तथा (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z), कहाँ पे n कोई पूर्णांक है। इसके अलावा, यदि त्रिज्या ρ शून्य है, दिगंश मनमाना है।

ऐसी स्थितियों में जहां कोई व्यक्ति प्रत्येक बिंदु के लिए निर्देशांक का एक अनूठा सेट चाहता है, कोई व्यक्ति त्रिज्या को गैर-नकारात्मक तक सीमित कर सकता है (ρ ≥ 0) और दिगंश φ 360° फैले एक विशिष्ट अंतराल (गणित) में झूठ बोलना, जैसे [−180°,+180°] या [0,360°].

कन्वेंशन

बेलनाकार निर्देशांकों के लिए अंकन एक समान नहीं है। मानकीकरण मानक के लिए अंतर्राष्ट्रीय संगठन ISO 31-11 |31-11 अनुशंसा करता है (ρ, φ, z), कहाँ पे ρ रेडियल निर्देशांक है, φ द अज़ीमुथ, और z ऊँचाईं। हालाँकि, त्रिज्या को भी अक्सर निरूपित किया जाता है r या sदिगंश द्वारा θ या t, और तीसरा समन्वय करता है h या (यदि बेलनाकार अक्ष को क्षैतिज माना जाता है) x, या कोई संदर्भ-विशिष्ट पत्र।

बेलनाकार निर्देशांक की समन्वय सतहें (ρ, φ, z). लाल सिलेंडर (ज्यामिति) बिंदुओं को दिखाता है ρ = 2, नीला तल (गणित) के साथ अंक दिखाता है z = 1, और पीला अर्ध-तल बिंदुओं को दिखाता है φ = −60°. zz}}-अक्ष लंबवत है और x-अक्ष को हरे रंग में हाइलाइट किया गया है। तीन सतहें बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं P उन निर्देशांकों के साथ (एक काले गोले के रूप में दिखाया गया); कार्टेशियन समन्वय प्रणाली P मोटे तौर पर (1.0, -1.732, 1.0) हैं।

बेलनाकार समन्वय सतहें। तीन ओर्थोगोनल घटक, ρ (हरा), φ (लाल), और z (नीला), प्रत्येक स्थिर दर से बढ़ रहा है। बिंदु तीन रंगीन सतहों के बीच चौराहे पर है।

ठोस स्थितियों में, और कई गणितीय दृष्टांतों में, एक सकारात्मक कोणीय निर्देशांक को दक्षिणावर्त मापा जाता है, जैसा कि सकारात्मक ऊंचाई वाले किसी भी बिंदु से देखा जाता है।

समन्वय प्रणाली रूपांतरण

बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली कई त्रि-आयामी समन्वय प्रणालियों में से एक है। उनके बीच रूपांतरण के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।

कार्तीय निर्देशांक

बेलनाकार और कार्तीय निर्देशांक के बीच रूपांतरण के लिए, यह मान लेना सुविधाजनक है कि पूर्व का संदर्भ तल कार्टेशियन है xy-प्लेन (समीकरण के साथ z = 0), और बेलनाकार अक्ष कार्टेशियन है z-एक्सिस। फिर z-निर्देशांक दोनों प्रणालियों में समान है, और बेलनाकार के बीच पत्राचार (ρ,φ,z) और कार्टेशियन (x,y,z) ध्रुवीय निर्देशांक के समान हैं, अर्थात्

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$

एक दिशा में, और

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$

अन्य में। [[ arcsine ]] फ़ंक्शन साइन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है, और माना जाता है कि यह रेंज में एक कोण लौटाता है [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]. इन फ़ार्मुलों से अज़ीमुथ मिलता है φ सीमा में [−90°,+270°].

स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग करके जो रेंज में एक कोण भी लौटाता है [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°], कोई गणना भी कर सकता है $\varphi$ कंप्यूटिंग के बिना $\rho$ पहला

${\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$

अन्य सूत्रों के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली देखें।

कई आधुनिक प्रोग्रामिंग लैंग्वेज एक ऐसा फंक्शन प्रदान करती हैं जो सही दिगंश की गणना करेगा φ, सीमा में (−π, π), x और y दिया गया है, ऊपर के रूप में एक केस विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना। उदाहरण के लिए, इस फ़ंक्शन को कहा जाता है atan2(y,x) सी (प्रोग्रामिंग भाषा) प्रोग्रामिंग भाषा में, और atan(y,x) सामान्य लिस्प में।

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार निर्देशांक (त्रिज्या r, ऊंचाई या झुकाव θ, दिगंश φ), द्वारा बेलनाकार निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:

θ is elevation:	θ is inclination:
${\begin{aligned}\rho &=r\cos \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

बेलनाकार निर्देशांक को गोलाकार निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:

θ is elevation:	θ is inclination:
${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {z}{\rho }}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}$	${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {\rho }{z}}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}$

बेलनाकार निर्देशांक में दूरी

बेलनाकार निर्देशांक में, दो बिंदु दिए गए हैं

${\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(\rho ,\varphi ,z),\\{\mathbf {r} '}&=(\rho ',\varphi ',z')\end{aligned}}$

दो बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {\rho ^{2}+\rho '^{2}-2\rho \rho '\cos {(\varphi -\varphi ')}+(z-z')^{2}}}\end{aligned}}$

रेखा और आयतन तत्व

बेलनाकार निर्देशांकों में आयतन एकीकरण के विवरण के लिए एकाधिक इंटीग्रल#बेलनाकार निर्देशांक देखें, और वेक्टर कलन फ़ार्मुलों के लिए बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में Del देखें।

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक से संबंधित कई समस्याओं में, रेखा और आयतन तत्वों को जानना उपयोगी होता है; इनका उपयोग पथों और आयतनों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए एकीकरण में किया जाता है।

रेखा तत्व है

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .$

मात्रा तत्व है

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

निरंतर त्रिज्या की सतह में अंतर (अनंतिम) ρ (एक लंबवत सिलेंडर) है

$\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

निरंतर दिगंश की सतह में सतह तत्व φ (एक लंबवत आधा विमान) है

$\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.$

सतह तत्व निरंतर ऊंचाई की सतह में z (एक क्षैतिज तल) है

$\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .$

इस प्रणाली में का ऑपरेटर ढाल , विचलन , कर्ल (गणित) और लाप्लासियन के लिए निम्नलिखित भावों की ओर जाता है:

${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$

बेलनाकार हार्मोनिक्स

बेलनाकार समरूपता वाले सिस्टम में लाप्लास समीकरण के समाधान को बेलनाकार हार्मोनिक्स कहा जाता है।

यह भी देखें

• विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची
• बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर फ़ील्ड
• डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में

अग्रिम पठन

• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York City: McGraw-Hill. pp. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
• Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York City: McGraw-Hill. pp. 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag. p. 95. LCCN 67025285.
• Zwillinger, Daniel (1992). Handbook of Integration. Boston: Jones and Bartlett Publishers. p. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
• Moon, P.; Spencer, D. E. (1988). "Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed.). New York City: Springer-Verlag. pp. 12–17, Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• निर्देशांक तरीका
• धुवीय निर्देशांक
• विद्युत प्रवाह
• गैर नकारात्मक
• अंतरराष्ट्रीय मानकीकरण संगठन
• सतहों का समन्वय करें
• विमान (गणित)
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल
• विभेदक (अनंत)
• लाप्लासियान
• बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में सदिश क्षेत्र

बाहरी संबंध

• "Cylinder coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld description of cylindrical coordinates
• Cylindrical Coordinates Animations illustrating cylindrical coordinates by Frank Wattenberg