समसंचारी असमानता

गणित में, आइसोपेरिमेट्रिक असमानता एक ज्यामिति असमानता (गणित) है जिसमें एक सेट की परिधि और इसकी मात्रा शामिल होती है। में $n$-आयामी स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ असमानता सतह क्षेत्र या परिधि को कम करती है $\operatorname {per} (S)$ एक सेट का $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ इसकी मात्रा से $\operatorname {vol} (S)$,

$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}$,

कहाँ पे $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ एक इकाई क्षेत्र है। समानता तभी होती है जब $S$ में एक गोला है $\mathbb {R} ^{n}$.

हवाई जहाज़ पर, यानी कब $n=2$, आइसोपेरिमेट्रिक असमानता एक बंद वक्र की परिधि के वर्ग और एक समतल क्षेत्र के क्षेत्र को घेरती है। wikt:isoperimetric#अंग्रेजी का शाब्दिक अर्थ है समान परिमाप होना। विशेष रूप से में $\mathbb {R} ^{2}$, isoperimetric असमानता बताती है, एक बंद वक्र की लंबाई L और समतल क्षेत्र के A क्षेत्र के लिए जो इसे घेरता है, कि

$L^{2}\geq 4\pi A,$

और यह समानता तब और केवल तभी लागू होती है जब वक्र एक वृत्त हो।

आइसोपेरिमेट्रिक समस्या सबसे बड़े संभावित क्षेत्र का समतल आंकड़ा निर्धारित करना है जिसकी सीमा (टोपोलॉजी) में एक निर्दिष्ट लंबाई है। बारीकी से संबंधित डिडो की समस्या एक सीधी रेखा से घिरे अधिकतम क्षेत्र के क्षेत्र और वक्र रेखा चाप (ज्यामिति) के लिए पूछती है, जिनके अंत बिंदु उस रेखा से संबंधित हैं। इसका नाम डिडो (कार्थेज की रानी), पौराणिक संस्थापक और कार्थेज की पहली रानी के नाम पर रखा गया है। आइसोपेरिमेट्रिक समस्या का समाधान एक वृत्त द्वारा दिया गया है और प्राचीन ग्रीस में पहले से ही जाना जाता था। हालाँकि, इस तथ्य का पहला गणितीय रूप से कठोर प्रमाण केवल 19वीं शताब्दी में प्राप्त किया गया था। इसके बाद से और भी कई सबूत मिले हैं।

आइसोपेरिमेट्रिक समस्या को कई तरीकों से विस्तारित किया गया है, उदाहरण के लिए, सतहों की विभेदक ज्यामिति पर घटता और उच्च-आयामी स्थानों में क्षेत्रों के लिए। शायद 3-आयामी आइसोपेरिमेट्रिक असमानता का सबसे परिचित भौतिक अभिव्यक्ति पानी की एक बूंद का आकार है। अर्थात्, एक बूंद आमतौर पर एक सममित गोल आकार ग्रहण करेगी। चूँकि एक बूंद में पानी की मात्रा स्थिर होती है, पृष्ठ तनाव बूंद को एक ऐसे आकार में धकेल देता है जो बूंद के सतह क्षेत्र को कम कर देता है, अर्थात् एक गोल गोला।

विमान में आइसोपेरिमेट्रिक समस्या

यदि कोई क्षेत्र उत्तल नहीं है, तो परिधि को अपरिवर्तित रखते हुए क्षेत्र के क्षेत्र को बढ़ाने के लिए इसकी सीमा में एक गड्ढा फ़्लिप किया जा सकता है।

किसी दीर्घ आकृति का परिमाप स्थिर रखते हुए तथा क्षेत्रफल बढ़ाते हुए उसे और गोल बनाया जा सकता है।

शास्त्रीय आइसोपेरिमेट्रिक समस्या प्राचीन काल की है। समस्या को इस प्रकार कहा जा सकता है: निश्चित परिधि के तल में सभी बंद वक्रों में से कौन सा वक्र (यदि कोई हो) अपने परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल को अधिकतम करता है? इस प्रश्न को निम्नलिखित समस्या के समतुल्य दिखाया जा सकता है: एक निश्चित क्षेत्र को घेरने वाले तल में सभी बंद वक्रों में से कौन सा वक्र (यदि कोई है) परिमाप को न्यूनतम करता है?

यह समस्या वैचारिक रूप से भौतिकी में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से संबंधित है, जिसमें इसे पुन: स्थापित किया जा सकता है: कार्रवाई का सिद्धांत क्या है जो सबसे बड़े क्षेत्र को घेरता है, प्रयास की सबसे बड़ी अर्थव्यवस्था के साथ? 15वीं शताब्दी के दार्शनिक और वैज्ञानिक, क्यूसा के कार्डिनल निकोलस, घूर्णी क्रिया को मानते थे, वह प्रक्रिया जिसके द्वारा एक वृत्त उत्पन्न होता है, संवेदी छापों के दायरे में, उस प्रक्रिया का सबसे प्रत्यक्ष प्रतिबिंब होता है, जिसके द्वारा ब्रह्मांड का निर्माण होता है। जर्मन खगोलशास्त्री और ज्योतिषी जोहान्स केप्लर ने कॉस्मोग्राफिक मिस्ट्री (द सेक्रेड मिस्ट्री ऑफ द कॉसमॉस, 1596) में सौर प्रणाली की आकृति विज्ञान पर चर्चा करने के लिए आइसोपेरिमेट्रिक सिद्धांत का आह्वान किया।

यद्यपि वृत्त समस्या का एक स्पष्ट समाधान प्रतीत होता है, इस तथ्य को सिद्ध करना अपेक्षाकृत कठिन है। समाधान की दिशा में पहली प्रगति 1838 में स्विस जियोमीटर जैकब स्टेनर द्वारा की गई थी, बाद में एक ज्यामितीय विधि का उपयोग करके जिसे बाद में सिमेट्रिज़ेशन मेथड्स # स्टेनर सिमेट्रिज़ेशन नाम दिया गया। स्टाइनर ने दिखाया कि यदि कोई हल मौजूद है, तो वह वृत्त होना चाहिए। स्टेनर की उपपत्ति को बाद में कई अन्य गणितज्ञों ने पूरा किया।

स्टाइनर कुछ ज्यामितीय रचनाओं से शुरू करते हैं जिन्हें आसानी से समझा जा सकता है; उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि किसी क्षेत्र को घेरने वाला कोई भी बंद वक्र जो पूरी तरह से उत्तल सेट नहीं है, अवतल क्षेत्रों को पलट कर अधिक क्षेत्र घेरने के लिए संशोधित किया जा सकता है ताकि वे उत्तल हो जाएं। आगे यह भी दिखाया जा सकता है कि कोई भी बंद वक्र जो पूरी तरह से सममित नहीं है, झुकाया जा सकता है ताकि यह अधिक क्षेत्र घेर सके। एक आकृति जो पूरी तरह से उत्तल और सममित है, वह वृत्त है, हालांकि यह अपने आप में समपरिमितीय प्रमेय (बाहरी लिंक देखें) के एक कठोर प्रमाण का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

एक विमान पर

समपरिमितीय समस्या का समाधान आम तौर पर एक असमानता (गणित) के रूप में व्यक्त किया जाता है जो एक बंद वक्र की लंबाई एल और समतलीय क्षेत्र के क्षेत्र ए से संबंधित होता है जो इसे घेरता है। 'आइसोपेरिमेट्रिक असमानता' बताती है कि

$4\pi A\leq L^{2},$

और यह कि समानता तब और केवल तभी लागू होती है जब वक्र एक वृत्त हो। त्रिज्या R की एक डिस्क का क्षेत्रफल πR है² और वृत्त की परिधि 2πR है, इसलिए असमानता के दोनों पक्ष 4π के बराबर हैं^{2</सुप>आर2 इस मामले में।}

आइसोपेरिमेट्रिक असमानता के दर्जनों प्रमाण मिले हैं। 1902 में, एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए एक छोटा सा प्रमाण प्रकाशित किया, जो मनमाने सुधार योग्य वक्रों पर लागू होता है (चिकना नहीं माना जाता)। 1938 में ई. श्मिट द्वारा एक उपयुक्त वृत्त के साथ चिकने सरल बंद वक्र की तुलना के आधार पर एक सुरुचिपूर्ण प्रत्यक्ष प्रमाण दिया गया था। यह केवल चाप लंबाई सूत्र, ग्रीन के प्रमेय से समतल क्षेत्र के क्षेत्र के लिए अभिव्यक्ति और कॉची– का उपयोग करता है। श्वार्ज असमानता।

किसी दिए गए बंद वक्र के लिए, समपरिमितीय भागफल को उसके क्षेत्रफल और समान परिधि वाले वृत्त के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह बराबर है

$Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}$

और समपरिमितीय असमानता कहती है कि Q ≤ 1. समान रूप से, समपरिमितीय अनुपात L²/A कम से कम 4 हैπ प्रत्येक वक्र के लिए।

एक नियमित n-गॉन का समपरिमितीय भागफल है

$Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.$

होने देना $C$ एक चिकनी नियमित उत्तल बंद वक्र बनें। फिर बेहतर आइसोपेरिमेट्रिक असमानता निम्नलिखित बताती है

$L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,$

कहाँ पे $L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}$ की लंबाई निरूपित करें $C$से घिरा हुआ क्षेत्र $C$ और Wigner कास्टिक का उन्मुख क्षेत्र $C$, क्रमशः, और समानता रखती है अगर और केवल अगर $C$ स्थिर चौड़ाई का एक वक्र है।

गोले पर

मान लीजिए C त्रिज्या के एक गोले पर एक सरल बंद वक्र है। L द्वारा C की लंबाई और A द्वारा C से घिरे क्षेत्र को निरूपित करें। 'गोलाकार समपरिमितीय असमानता' में कहा गया है कि

$L^{2}\geq A(4\pi -A),$

और यह कि समानता तब और केवल तभी लागू होती है जब वक्र एक वृत्त हो। वास्तव में, एक साधारण बंद वक्र से घिरे गोलाकार क्षेत्र को मापने के दो तरीके हैं, लेकिन पूरक लेने के संबंध में असमानता सममित है।

इस असमानता की खोज पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी (1919) ने की थी जिन्होंने इसे उच्च आयामों और सामान्य सतहों तक भी बढ़ाया। मनमाना त्रिज्या R के अधिक सामान्य मामले में, यह ज्ञात है वह

$L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.$

में Rⁿ

आइसोपेरिमेट्रिक असमानता बताती है कि एक गोले में प्रति दिए गए आयतन का सबसे छोटा सतह क्षेत्र होता है। एक परिबद्ध समुच्चय दिया गया है $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ सतह क्षेत्र के साथ $\operatorname {per} (S)$ और मात्रा $\operatorname {vol} (S)$, isoperimetric असमानता राज्यों

$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}},$

कहाँ पे $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ एक इकाई गोला है। समानता कब होती है $S$ में एक गेंद है $\mathbb {R} ^{n}$. सेट पर अतिरिक्त प्रतिबंधों के तहत (जैसे उत्तल सेट, बंद नियमित सेट, चिकनी सतह), समानता केवल एक गेंद के लिए होती है। लेकिन पूर्ण व्यापकता में स्थिति अधिक जटिल है। का प्रासंगिक परिणाम Schmidt (1949, Sect. 20.7) (सरल प्रमाण के लिए देखें Baebler (1957)) में स्पष्ट किया गया है Hadwiger (1957, Sect. 5.2.5) निम्नलिखित नुसार। एक चरम सेट में एक गेंद और एक कोरोना होता है जो न तो मात्रा और न ही सतह क्षेत्र में योगदान देता है। यही है, समानता एक कॉम्पैक्ट सेट के लिए है $S$ अगर और केवल अगर $S$ एक बंद गेंद शामिल है $B$ ऐसा है कि $\operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)$ तथा $\operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).$ उदाहरण के लिए, कोरोना एक वक्र हो सकता है।

असमानता का प्रमाण सीधे ब्रून-मिन्कोव्स्की प्रमेय से मिलता है | एक सेट के बीच ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता $S$ और त्रिज्या के साथ एक गेंद $\epsilon$, अर्थात। $B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}$. ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता को सत्ता में ले कर $n$, घटाना $\operatorname {vol} (S)$ दोनों ओर से, उन्हें विभाजित करके $\epsilon$, और सीमा के रूप में ले रहा है $\epsilon \to 0.$ (Osserman (1978); Federer (1969, §3.2.43)).

पूर्ण सामान्यता में (Federer 1969, §3.2.43), isoperimetric असमानता बताती है कि किसी भी सेट के लिए $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ जिसके सेट के बंद होने का परिमित Lebesgue माप है

$n\,\omega _{n}^{\frac {1}{n}}L^{n}({\bar {S}})^{\frac {n-1}{n}}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)$

कहाँ पे $M_{*}^{n-1}$ (n-1)-आयामी मिन्कोव्स्की सामग्री है, एलⁿ n-आयामी Lebesgue माप है, और ω_nयूनिट बॉल का आयतन है $\mathbb {R} ^{n}$. यदि S की सीमा सुधार योग्य वक्र है, तो मिन्कोवस्की सामग्री (n-1)-आयामी हौसडॉर्फ माप है।

एन-डायमेंशनल आइसोपेरिमेट्रिक असमानता सोबोलेव असमानता के बराबर (पर्याप्त रूप से चिकने डोमेन के लिए) है $\mathbb {R} ^{n}$ इष्टतम स्थिरांक के साथ:

$\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|$

सभी के लिए $u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})$.

हैडमार्ड में कई गुना

हैडमार्ड कई गुना पूरी तरह से गैर-सकारात्मक वक्रता के साथ कई गुना जुड़े हुए हैं। इस प्रकार वे यूक्लिडियन स्थान का सामान्यीकरण करते हैं $\mathbb {R} ^{n}$, जो शून्य वक्रता वाला एक हैडमार्ड मैनिफोल्ड है। 1970 और 1980 के दशक की शुरुआत में, थिएरी ऑबिन, मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव, यूरी बुरागो और विक्टर ज़ल्गलर ने अनुमान लगाया कि यूक्लिडियन समपरिमितीय असमानता

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\operatorname {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}$

बंधे हुए सेट के लिए होल्ड करता है $S$ हैडमार्ड मैनिफोल्ड्स में, जिसे कार्टन-हैडमार्ड अनुमान के रूप में जाना जाता है। आयाम 2 में यह पहले से ही 1926 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थापित किया गया था, जो उस समय जैक्स हैडमार्ड के छात्र थे। आयाम 3 और 4 में अनुमान क्रमशः 1992 में ब्रूस क्लिनर और 1984 में क्रिस क्रोक द्वारा सिद्ध किया गया था।

== एक मीट्रिक माप अंतरिक्ष == में

आइसोपेरिमेट्रिक समस्या पर अधिकांश काम यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान में चिकनी क्षेत्रों के संदर्भ में किया गया है, या अधिक आम तौर पर रीमैनियन कई गुना में किया गया है। हालांकि, मिन्कोस्की सामग्री की धारणा का उपयोग करके आइसोपेरिमेट्रिक समस्या को अधिक सामान्यता में तैयार किया जा सकता है। होने देना $(X,\mu ,d)$ एक मीट्रिक माप स्थान बनें: X मीट्रिक (गणित) d के साथ एक मीट्रिक स्थान है, और μ X पर एक बोरेल माप है। सीमा माप, या Minkowski सामग्री, X के एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय A को lim inf के रूप में परिभाषित किया गया है।

$\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},$

कहाँ पे

$A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}$

A का ε-विस्तार है।

एक्स में आइसोपेरिमेट्रिक समस्या पूछती है कि कितना छोटा हो सकता है $\mu ^{+}(A)$ दिए गए μ(A) के लिए हो। यदि एक्स सामान्य दूरी और लेबेसेग माप के साथ विमान (गणित) है तो यह प्रश्न क्लासिकल आइसोपेरिमेट्रिक समस्या को प्लेनर क्षेत्रों में सामान्यीकृत करता है जिनकी सीमा आवश्यक रूप से चिकनी नहीं है, हालांकि उत्तर समान हो जाता है।

कार्यक्रम

$I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}$

मीट्रिक माप स्थान का आइसोपेरिमेट्रिक प्रोफ़ाइल कहा जाता है $(X,\mu ,d)$. असतत समूहों के केली ग्राफ़ के लिए आइसोपेरिमेट्रिक प्रोफाइल का अध्ययन किया गया है और रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के विशेष वर्गों के लिए (जहां आमतौर पर केवल नियमित सीमा वाले क्षेत्रों को माना जाता है)।

रेखांकन के लिए

Main article: Expander graph

ग्राफ़ सिद्धांत में, आइसोपेरिमेट्रिक असमानताएं विस्तारक ग्राफ़ के अध्ययन के केंद्र में हैं, जो विरल ग्राफ़ हैं जिनमें मजबूत कनेक्टिविटी गुण हैं। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत, मजबूत कंप्यूटर नेटवर्क के डिजाइन और त्रुटि-सुधार कोड के सिद्धांत के लिए कई अनुप्रयोगों के साथ विस्तारक निर्माण ने शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में अनुसंधान को जन्म दिया है। रेखांकन के लिए आइसोपेरिमेट्रिक असमानताएं वर्टेक्स सबसेट के आकार को उनकी सीमा के आकार से संबंधित करती हैं, जिसे आमतौर पर सबसेट (एज एक्सपेंशन) छोड़ने वाले किनारों की संख्या या पड़ोसी वर्टिकल (वर्टेक्स एक्सपेंशन) की संख्या से मापा जाता है। एक ग्राफ के लिए $G$ और एक संख्या $k$, ग्राफ़ के लिए निम्नलिखित दो मानक आइसोपेरिमेट्रिक पैरामीटर हैं।

• बढ़त isoperimetric पैरामीटर:

$\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}$

• वर्टेक्स आइसोपेरिमेट्रिक पैरामीटर:

$\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}$

यहां $E(S,{\overline {S}})$ छोड़ने वाले किनारों के सेट को दर्शाता है $S$ तथा $\Gamma (S)$ वर्टिकल के सेट को दर्शाता है जिसमें एक पड़ोसी है $S$. आइसोपेरिमेट्रिक समस्या में यह समझना शामिल है कि पैरामीटर कैसे हैं $\Phi _{E}$ तथा $\Phi _{V}$ ग्राफ के प्राकृतिक परिवारों के लिए व्यवहार करें।

=== उदाहरण: हाइपरक्यूब के लिए आइसोपेरिमेट्रिक असमानताएँ === $d$वें>-आयामी अतिविम $Q_{d}$ वह ग्राफ है जिसके शीर्ष लंबाई के सभी बूलियन वैक्टर हैं $d$, यानी सेट $\{0,1\}^{d}$. ऐसे दो सदिश एक किनारे से जुड़े हुए हैं $Q_{d}$ यदि वे एक बिट फ्लिप के बराबर हैं, अर्थात उनकी हैमिंग दूरी बिल्कुल एक है। बूलियन हाइपरक्यूब के लिए आइसोपेरिमेट्रिक असमानताएँ निम्नलिखित हैं।

धार परिमितीय असमानता है

हाइपरक्यूब का किनारा आइसोपेरिमेट्रिक असमानता है $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)$. यह बाउंड तंग है, जैसा कि प्रत्येक सेट द्वारा देखा गया है $S$ जो कि किसी उपघन के शीर्षों का समुच्चय है $Q_{d}$.

शीर्ष संपरिमितीय असमानता है

हार्पर की प्रमेय कहते हैं कि हैमिंग बॉल्स में दिए गए आकार के सभी सेटों में सबसे छोटी वर्टेक्स सीमा होती है। हैमिंग बॉल्स ऐसे सेट होते हैं जिनमें हैमिंग वजन के सभी बिंदु अधिक से अधिक होते हैं $r$ और हैमिंग वजन का कोई बिंदु इससे बड़ा नहीं है $r+1$ कुछ पूर्णांक के लिए $r$. इस प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई भी सेट $S\subseteq V$ साथ

$|S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}$

संतुष्ट

$|S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.$

एक विशेष मामले के रूप में, निर्धारित आकारों पर विचार करें $k=|S|$ फार्म का

$k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}$

कुछ पूर्णांक के लिए $r$. फिर ऊपर का तात्पर्य है कि सटीक वर्टेक्स आइसोपेरिमेट्रिक पैरामीटर है

$\Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.$

त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता

परिमाप p और क्षेत्रफल T के संदर्भ में त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता बताती है कि

$p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,$

समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। यह अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता के माध्यम से निहित है। एएम-जीएम असमानता, एक मजबूत असमानता से जिसे त्रिभुजों के लिए आइसोपेरिमेट्रिक असमानता भी कहा जाता है:

$T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}.$

यह भी देखें

• ब्लाश्के-लेबेस्ग प्रमेय
• चैपलिन समस्या
• वक्र-छोटा प्रवाह
• विस्तारक ग्राफ
• गॉसियन समपरिमितीय असमानता
• आइसोपेरिमेट्रिक आयाम
• आइसोपेरिमेट्रिक बिंदु
• त्रिकोण असमानताओं की सूची
• तलीय विभाजक प्रमेय
• मिश्रित मात्रा

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• History of the Isoperimetric Problem at Convergence
• Treiberg: Several proofs of the isoperimetric inequality
• Isoperimetric Theorem at cut-the-knot