बीजगणितीय समीकरण

गणित में, एक बीजगणितीय समीकरण या बहुपद समीकरण एक समीकरण का रूप होता है

$P=0$

जहाँ P किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांक वाला एक बहुपद है, अक्सर परिमेय संख्याओं का क्षेत्र। कई लेखकों के लिए, शब्द बीजगणितीय समीकरण केवल अविभाजित समीकरणों को संदर्भित करता है, जो कि बहुपद समीकरण है जिसमें केवल एक चर (गणित) शामिल होता है। दूसरी ओर, एक बहुपद समीकरण में कई चर शामिल हो सकते हैं। कई चर (बहुभिन्नरूपी मामले) के मामले में, बहुपद समीकरण शब्द को आमतौर पर बीजगणितीय समीकरण के लिए पसंद किया जाता है।

उदाहरण के लिए,

$x^{5}-3x+1=0$ पूर्णांक गुणांक के साथ एक बीजगणितीय समीकरण है और

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0$

परिमेय पर एक बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरण है।

परिमेय संख्या गुणांक वाले कुछ लेकिन सभी बहुपद समीकरणों का एक समाधान नहीं होता है जो एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसे परिमित संख्या में संक्रियाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसमें केवल उसी प्रकार के गुणांक शामिल होते हैं (अर्थात्, बीजगणितीय समाधान हो सकता है)। यह बहुपद एक, दो, तीन या चार की घात वाले ऐसे सभी समीकरणों के लिए किया जा सकता है; लेकिन डिग्री पाँच या अधिक के लिए यह केवल कुछ समीकरणों के लिए किया जा सकता है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय। अविभिन्न बीजगणितीय समीकरण (रूट-खोज एल्गोरिथम देखें) और कई बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरणों के सामान्य समाधानों की वास्तविक संख्या या जटिल संख्या समाधानों के कुशलतापूर्वक सटीक अनुमानों की गणना करने के लिए बड़ी मात्रा में अनुसंधान समर्पित किया गया है (बहुपद समीकरणों की प्रणाली देखें) .

शब्दावली

शब्द बीजगणितीय समीकरण उस समय से शुरू होता है जब बीजगणित की मुख्य समस्या अविभाजित बहुपद समीकरणों को हल करना था। 19वीं शताब्दी के दौरान यह समस्या पूरी तरह से हल हो गई थी; बीजगणित का मौलिक प्रमेय, एबेल-रफ़िनी प्रमेय और गैलोज़ सिद्धांत देखें।

तब से, बीजगणित का दायरा नाटकीय रूप से बढ़ गया है। विशेष रूप से, इसमें उन समीकरणों का अध्ययन शामिल है जिनमें nवाँ मूल | शामिल हैnवें मूल और, अधिक सामान्यतः, बीजगणितीय व्यंजक। यह शब्द बीजगणितीय समीकरण को पुरानी समस्या के संदर्भ से बाहर अस्पष्ट बना देता है। इसलिए बहुपद समीकरण शब्द को आम तौर पर पसंद किया जाता है जब यह अस्पष्टता हो सकती है, विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी समीकरणों पर विचार करते समय।

इतिहास

बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन शायद उतना ही पुराना है जितना कि गणित: बेबीलोनियन गणित, 2000 ईसा पूर्व में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल कर सकता था (प्रथम बेबीलोनियन राजवंश मिट्टी की गोलियों पर प्रदर्शित)।

परिमेय (अर्थात्, परिमेय संख्या गुणांकों के साथ) पर अविभिन्न बीजगणितीय समीकरणों का एक बहुत लंबा इतिहास रहा है। प्राचीन गणितज्ञ मूल भावों के रूप में समाधान चाहते थे, जैसे $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ के सकारात्मक समाधान के लिए $x^{2}-x-1=0$. प्राचीन मिस्रवासी डिग्री 2 के समीकरणों को इस तरीके से हल करना जानते थे। भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया, लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा। 9वीं शताब्दी में मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी और अन्य इस्लामी गणितज्ञों ने द्विघात सूत्र निकाला, डिग्री 2 के समीकरणों का सामान्य समाधान, और विवेचक के महत्व को मान्यता दी। 1545 में पुनर्जागरण के दौरान, जेरोम कार्डानो ने स्किपियो डेल फेरो और निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया को क्यूबिक फ़ंक्शन और चतुर्थक समारोह के लिए लोदोविको फेरारी के समाधान को प्रकाशित किया। अंत में नील्स हेनरिक एबेल ने 1824 में साबित किया कि क्विंटिक समीकरण और उच्चतर में रेडिकल्स का उपयोग करके सामान्य समाधान नहीं हैं। एवरिस्टे गैलोइस के नाम पर गैलोज सिद्धांत ने दिखाया कि कम से कम डिग्री 5 के कुछ समीकरणों में रेडिकल्स में एक विशेष स्वभाव का समाधान भी नहीं है, और यह तय करने के लिए मानदंड दिया कि क्या कोई समीकरण वास्तव में रेडिकल्स का उपयोग करके हल करने योग्य है।

अध्ययन के क्षेत्र

बीजगणितीय समीकरण आधुनिक गणित के कई क्षेत्रों का आधार हैं: बीजगणितीय संख्या सिद्धांत परिमेय (अर्थात परिमेय संख्या गुणांकों के साथ) पर (अविभाजित) बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन है। इवरिस्ट गैलोइस द्वारा गाल्वा सिद्धांत पेश किया गया था ताकि यह तय किया जा सके कि एक बीजगणितीय समीकरण को मूलांक के रूप में हल किया जा सकता है या नहीं। क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जैसे कि प्रत्येक तत्व आधार क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समीकरण की जड़ है। ट्रान्सेंडैंटल संख्या सिद्धांत वास्तविक संख्याओं का अध्ययन है जो परिमेय पर बीजगणितीय समीकरण का समाधान नहीं हैं। एक डायोफैंटाइन समीकरण एक (आमतौर पर बहुभिन्नरूपी) बहुपद समीकरण है जिसमें पूर्णांक गुणांक होते हैं जिसके लिए पूर्णांक समाधान में रुचि होती है। बीजगणितीय ज्यामिति बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरणों के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधानों का अध्ययन है।

दो समीकरण समतुल्य होते हैं यदि उनके पास समीकरणों का एक ही सेट हो। विशेष रूप से समीकरण $P=Q$ के बराबर है $P-Q=0$. यह इस प्रकार है कि बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन बहुपदों के अध्ययन के बराबर है।

परिमेय पर एक बहुपद समीकरण हमेशा एक समतुल्य में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें गुणांक पूर्णांक होते हैं। उदाहरण के लिए, 42 से गुणा करना = 2·3·7 और इसके पदों को पहले सदस्य में समूहीकृत करना, पहले उल्लिखित बहुपद समीकरण $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ हो जाता है

$42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.$

क्योंकि ज्या, घातांक, और 1/टी बहुपद कार्य नहीं हैं,

$e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0$

परिमेय संख्याओं पर चार चर x, y, z, और T में एक बहुपद समीकरण नहीं है। हालाँकि, यह चर T में प्राथमिक कार्यों के क्षेत्र में तीन चर x, y और z में एक बहुपद समीकरण है।

सिद्धांत

बहुपद

Main article: Polynomial § Solving polynomial equations

अज्ञात में एक समीकरण दिया है x

$(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$,

एक क्षेत्र में गुणांक के साथ (गणित) K, कोई समकक्ष कह सकता है कि (ई) के समाधान में K में जड़ें हैं K बहुपद का

$P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]$.

यह दिखाया जा सकता है कि डिग्री का एक बहुपद n एक क्षेत्र में अधिक से अधिक है n जड़ें। समीकरण (ई) इसलिए अधिक से अधिक है n समाधान।

यदि K' का क्षेत्र विस्तार है K, कोई विचार कर सकता है (ई) में गुणांक के साथ एक समीकरण है K और (ई) के समाधान में K में समाधान भी हैं K' (विपरीत सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है)। का क्षेत्र विस्तार खोजना हमेशा संभव होता है K बहुपद के विच्छेदन क्षेत्र के रूप में जाना जाता है Pजिसमें (E) का कम से कम एक हल है।

वास्तविक और जटिल समीकरणों के समाधान का अस्तित्व

बीजगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय रूप से बंद है, अर्थात, जटिल गुणांक वाले सभी बहुपद समीकरण और कम से कम एक डिग्री का समाधान होता है।

यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले डिग्री 1 या अधिक के सभी बहुपद समीकरणों का एक जटिल समाधान होता है। दूसरी ओर, एक समीकरण जैसे $x^{2}+1=0$ में समाधान नहीं है $\mathbb {R}$ (समाधान काल्पनिक इकाइयाँ हैं i तथा –i).

जबकि वास्तविक समीकरणों के वास्तविक समाधान सहज हैं (वे हैं x- उन बिंदुओं के निर्देशांक जहां वक्र है y = P(x) प्रतिच्छेद करता है x-अक्ष), वास्तविक समीकरणों के जटिल समाधानों का अस्तित्व आश्चर्यजनक और कल्पना करने में कम आसान हो सकता है।

हालाँकि, समता (गणित) डिग्री के एक मोनिक बहुपद का एक वास्तविक मूल होना आवश्यक है। संबंधित बहुपद समारोह में x निरंतर है, और यह निकट है $-\infty$ जैसा x दृष्टिकोण $-\infty$ तथा $+\infty$ जैसा x दृष्टिकोण $+\infty$. मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय द्वारा, इसलिए इसे कुछ वास्तविक पर मान शून्य मान लेना चाहिए x, जो तब बहुपद समीकरण का एक हल है।

गैलोज़ सिद्धांत से संबंध

उनके गुणांकों के एक समारोह के रूप में चार से कम या उसके बराबर डिग्री के वास्तविक या जटिल बहुपदों के समाधान देने वाले सूत्र मौजूद हैं। नील्स हेनरिक एबेल ने दिखाया कि डिग्री पांच या उच्चतर के समीकरणों के लिए इस तरह के एक सूत्र को सामान्य रूप से खोजना संभव नहीं है (केवल चार अंकगणितीय संचालन का उपयोग करके और जड़ें लेना)। गैलोज सिद्धांत एक कसौटी प्रदान करता है जो किसी को यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी दिए गए बहुपद समीकरण का समाधान मूलांक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है या नहीं।

संख्यात्मक समीकरणों का स्पष्ट समाधान

दृष्टिकोण

डिग्री 1 के वास्तविक या जटिल समीकरण का स्पष्ट समाधान तुच्छ है। उच्च डिग्री के समीकरण को हल करने वाला समीकरण n संबद्ध बहुपद का गुणनखंड करने के लिए कम कर देता है, अर्थात, रूप में (E) को फिर से लिखना

$a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0$,

जहां समाधान हैं तो $z_{1},\dots ,z_{n}$. समस्या तब व्यक्त करने की है $z_{i}$ के रूप में $a_{i}$.

यह दृष्टिकोण अधिक आम तौर पर लागू होता है यदि गुणांक और समाधान एक अभिन्न डोमेन से संबंधित होते हैं।

सामान्य तकनीक

फैक्टरिंग

यदि एक समीकरण P(x) = 0 डिग्री का n एक तर्कसंगत जड़ प्रमेय है α, संबंधित बहुपद को रूप देने के लिए गुणनखण्ड किया जा सकता है P(X) = (X – α)Q(X) (बहुपद विभाजन द्वारा P(X) द्वारा X – α या लिखकर P(X) – P(α) प्रपत्र की शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में X^k – α^k, और फैक्टरिंग आउट X – α. हल P(x) = 0 इस प्रकार डिग्री को हल करने के लिए कम हो जाता है n – 1 समीकरण Q(x) = 0. उदाहरण के लिए देखें क्यूबिक फंक्शन#फैक्टराइजेशन|केस n = 3.

उप-प्रमुख शब्द का विलोपन

डिग्री के एक समीकरण को हल करने के लिए n,

$(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$,

डिग्री को खत्म करने के लिए एक सामान्य प्रारंभिक कदम है-n - 1 अवधि: सेटिंग द्वारा $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$, समीकरण (ई) बन जाता है

$a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}x+b_{0}=0$.

लियोनहार्ड यूलर ने इस तकनीक को क्यूबिक फ़ंक्शन # कार्डानो की विधि | केस के लिए विकसित किया n = 3लेकिन यह क्वार्टिक फलन#यूलर के समाधान|मामले पर भी लागू होता है n = 4, उदाहरण के लिए।

द्विघात समीकरण

Main article: Quadratic equation

प्रपत्र के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए $ax^{2}+bx+c=0$ one द्वारा परिभाषित विवेचक Δ की गणना करता है $\Delta =b^{2}-4ac$.

यदि बहुपद के वास्तविक गुणांक हैं, तो इसमें है:

• दो अलग असली जड़ें अगर $\Delta >0$ ;
• एक असली डबल रूट अगर $\Delta =0$ ;
• कोई वास्तविक जड़ नहीं है $\Delta <0$, लेकिन दो जटिल संयुग्मी जड़ें।

घन समीकरण

Main article: Cubic equation

घन समीकरणों को मूलांक के रूप में लिखकर हल करने की सबसे प्रसिद्ध विधि है घन समीकरण#कार्डानो का सूत्र|कार्डानो का सूत्र।

क्वार्टिक समीकरण

Main article: Quartic equation

कुछ समाधान विधियों की विस्तृत चर्चा के लिए देखें:

• Tschirnhaus परिवर्तन (सामान्य विधि, सफल होने की गारंटी नहीं);
• बेजआउट विधि (सामान्य विधि, सफल होने की गारंटी नहीं);
• फेरारी विधि (डिग्री 4 के लिए समाधान);
• यूलर विधि (डिग्री 4 के लिए समाधान);
• लैग्रेंज विधि (डिग्री 4 के लिए समाधान);
• डेसकार्टेस विधि (2 या 4 डिग्री के लिए समाधान);

एक चतुर्थांश समीकरण $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ साथ $a\neq 0$ चर के परिवर्तन द्वारा एक द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है बशर्ते यह या तो द्विघात फलन #द्विघात समीकरण हो (b = d = 0) या क्वार्टिक फ़ंक्शन#अर्ध-पैलिंड्रोमिक समीकरण|अर्ध-पैलिंड्रोमिक (e = a, d = b).

त्रिकोणमिति या अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का उपयोग करके कुछ घन और चतुर्थक समीकरणों को हल किया जा सकता है।

उच्च-डिग्री समीकरण

Main articles: Abel–Ruffini theorem and Galois group

Éवरिस्ते गैलोइस और नील्स हेनरिक एबेल ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि सामान्य रूप से डिग्री 5 या उच्चतर के एक बहुपद को मूलांक का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। कुछ विशेष समीकरणों के हल होते हैं, जैसे कि डिग्री 5 और 17 के साइक्लोटोमिक बहुपदों से जुड़े।

दूसरी ओर, चार्ल्स हर्मिट ने दिखाया कि 5 डिग्री के बहुपद अण्डाकार कार्यों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं।

अन्यथा, न्यूटन की विधि जैसे जड़-खोज एल्गोरिदम का उपयोग करके जड़ों को संख्यात्मक विश्लेषण मिल सकता है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय कार्य
• बीजगणितीय संख्या
• जड़ खोज
• रैखिक समीकरण (डिग्री = 1)
• द्विघात समीकरण (डिग्री = 2)
• घन समीकरण (डिग्री = 3)
• चतुर्थांश समीकरण (डिग्री = 4)
• क्विंटिक समीकरण (डिग्री = 5)
• सेक्सेटिक समीकरण (डिग्री = 6)
• सेप्टिक समीकरण (डिग्री = 7)
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली
• बहुपद समीकरणों की प्रणाली
• रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण
• एक अंगूठी पर रैखिक समीकरण
• क्रैमर का प्रमेय (बीजगणितीय वक्र), अंकों की संख्या पर आमतौर पर द्विभाजित एन-वें डिग्री वक्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होता है

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• बहुपदीय फलन
• समीकरण हल करना
• चिरनहॉस परिवर्तन
• अण्डाकार समारोह
• रूट-खोज एल्गोरिदम
• रेखीय समीकरण

संदर्भ

• "Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Algebraic Equation". MathWorld.