रेखीय समीकरण

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

एक रेखीय समीकरण को $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां $x_{1},\ldots ,x_{n}$ चर (या अज्ञात) हैं तथा $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ गुणांक हैं, जो प्रायः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{n}$ का शून्य न होना आवश्यक है।

वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है।

इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर के स्थान पर रखने पर समीकरण के दोनों पक्ष समतुल्य हो जाते है।

केवल एक चर होने की स्थिति में, एक मात्र हल $a_{1}\neq 0$ है। प्राय: रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष स्थिति को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को प्रत्यक्षता से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में की जा सकती है, जो की यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों के एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द मूल है।सामान्यतः, n चर के एक रैखिक समीकरण का हल n विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) (n − 1 विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।

आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रायः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रायः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण की स्थिति पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और सामान्यतः किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर x का एक रैखिक समीकरण $ax+b=0,$ है, जहां a तथा b वास्तविक संख्याएं हैं।

$x=-{\frac {b}{a}}$, x के मूल तथा $a\neq 0$।

दो चर

दो चरों x तथा y का एक रैखिक समीकरण $ax+by+c=0,$ है, जहां a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार होती हैं कि $a^{2}+b^{2}\neq 0$।

इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।

रैखिक फलन

यदि b ≠ 0, समीकरण

$ax+by+c=0$

x के प्रत्येक मान के लिए एकल चर y में एक रैखिक समीकरण है, जिसका y के लिए एक विशिष्ट हल दिया गया है।

$y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$

यह एक फलन को परिभाषित करता है। इस फलन का आरेख (ग्राफ) ढलान $-{\frac {a}{b}}$ तथा y-अवरोध $-{\frac {c}{b}}.$ वाली एक रेखा है, सामान्यतः वे फलन जिनका आरेख (ग्राफ) एक रेखा होती है, गणना के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक ऐसा फलन होता है जो योग को योगखंड की छवियों के योग के लिए मैप करता है। अत: इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फलन केवल तभी रैखिक होता है जब c = 0 हो, अर्थात जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। अस्पष्टता से बचने के लिए, जिन फलन का आरेख (ग्राफ) एक स्वेच्छाचारी रेखा है, उन्हें सामान्यतः सजातीय फलन कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

Vertical line of equation x = a

Horizontal line of equation y = b

एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),

$ax+by+c=0$

यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।

वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।

यदि b ≠ 0 है, तो रेखा x के फलन का आरेख (ग्राफ) है, जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि b = 0 है, तो रेखा समीकरण $x=-{\frac {c}{a}},$ की एक उर्ध्वाधर रेखा है (जो कि y अक्ष के समानांतर एक रेखा है), जो x के फलन का आरेख (ग्राफ) नहीं है।

इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण $y=-{\frac {c}{b}}$ की एक क्षैतिज रेखा होती है।

एक रेखा का समीकरण

एक रेखा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। निम्नलिखित उपखंडों में प्रत्येक स्थिति में रेखा का एक रैखिक समीकरण दिया गया है।

ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y₀ (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

$y=mx+y_{0}.$

यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा x-अवरोधन को x₀ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

$y=m(x-x_{0}),$

या, समान रूप से,

$y=mx-mx_{0}.$

ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं। समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए,

$ax+by+c=0,$

इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है।

${\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}$

बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) तथा रेखा पर किसी बिंदु निर्देशांक $x_{1},y_{1}$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण,

$y=y_{1}+m(x-x_{1}),$

या

$y=mx+y_{1}-mx_{1}.$

किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

अवरोधन रूप

एक रेखा जो किसी अक्ष के समानांतर नहीं है तथा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, जो अक्षो को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। इन दो बिंदुओं के अवरोधन मान x₀ तथा y₀ में से अशून्य हैं, तथा रेखा का समीकरण

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.$

(इस समीकरण द्वारा x₀ तथा y₀ को अवरोधन मान के रूप में सत्यापित करना आसान है।)

दो सूत्री रूप

दो अलग-अलग बिंदुओं (x₁, यू₁) तथा (x₂, यू₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा, जिसके रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।

यदि x₁ एक्स₂, रेखा का ढलान ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ है, अत:

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).$ एक बिंदु-ढलान रूप है।

सरल करने पर,

$(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,$

जो तब भी मान्य है जब x₁ = एक्स₂ (यदि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।

यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिरांक पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है।

$(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$

(दो बिंदुओं के विनियम से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।

निर्धारक रूप

एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त करने के दो सामान्य तरीके हैं।

समीकरण $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.$

समीकरण $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

${\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.$

इस रूप में n – 1 विमा के स्थान में n बिंदुओं से गुजरने वाले एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के अधिक सामान्य समीकरण कि विशेष स्थिति होने का लाभ होता है। ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।

दो से अधिक चर

दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$

गुणांक b स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद) होता है, जिसे प्राय: a₀ से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ a_i के लिए निर्धारित किया जा सकता है।

$n=3$चर से सम्बन्धित, अनुक्रमित चर के बजाय $x,\;y$ तथा $z$ उपयोग करना सामान्य है।

ऐसे समीकरण का हल n-टपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करने पर समीकरण एक वास्तविक समतुल्यता में बदल जाता है।

एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक अशून्य होना चाहिए। यदि प्रत्येक चर का गुणांक एक शून्य है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत (b ≠ 0 के लिए) जिनका कोई हल नहीं है, या सभी n-टुपल्स हल हैं।

n-टपल्स जो n चर के एक रैखिक समीकरण के हल हैं, जो कि एक n-विमीय यूक्लिडियन स्पेस में एक (n - 1)-विमीय ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं (या सजातीय (एफ़िन) स्पेस, यदि गुणांक जटिल संख्याएं हैं या किसी क्षेत्र से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) एक विमीय होता है।

यदि a_j ≠ 0 से एक रैखिक समीकरण दिया जाता है, तो समीकरण को x_j के लिए हल किया जा सकता है।

$x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$

यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह n वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फलन को परिभाषित करता है ।

यह भी देखें

• एक वलय पर रैखिक समीकरण
• बीजीय समीकरण
• रैखिक असमानता
• अरेखीय समीकरण

संदर्भ

• Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

बाहरी संबंध

• "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]