ऑर्थोनॉर्मलिटी

रैखिक बीजगणित में, आंतरिक गुणन समष्टि में दो सदिश प्रसामान्य लांबिक होते हैं यदि वे लंबकोणीय (या एक पंक्ति के साथ लंबवत) एकांक सदिश होते हैं। सदिशों का एक समूह प्रसामान्य लांबिक समुच्चय का निर्माण करता है, यदि समूह में सभी सदिश परस्पर लंबकोणीय और सभी एकांक लंबाई के होते हैं। एक प्रसामान्य लांबिक सेट जो एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है एक प्रसामान्य लांबिक आधार कहा जाता है।

सहज अवलोकन

सदिशों की लंबकोणीयता का निर्माण लंबवत सदिशों की सहज धारणा को उच्च-आयामी समष्‍टि तक विस्तारित करने की इच्छा से प्रेरित है। कार्तीय तल में, दो सदिशों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90°है (अर्थात्, यदि वे एक समकोण बनाते हैं)। इस परिभाषा को कार्तीय समष्‍टि में डॉट गुणन को परिभाषित करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है और यह निर्दिष्ट किया जा सकता है कि एक तल में दो वैक्टर लंबकोणीय होंगे यदि उनका डॉट गुणन शून्य है।

इसी प्रकार, सदिश के परिमाण का निर्माण किसी सदिश की लंबाई को उच्च-आयामी स्थानों तक विस्तृत करने की इच्छा से प्रेरित होता है। कार्तीय तल में, एक सदिश का परिमाण स्वयं के साथ डॉट गुणन का वर्गमूल होता है। जैसे कि,

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$

रैखिक बीजगणित के कई महत्वपूर्ण सिद्धांत दो या दो से अधिक लंबकोणीय सदिशो के समूहों पर कार्य करते हैं। लेकिन अधिकांशता, यूनिट लंबाई के सदिश के साथ कार्य करना आसान होता है। अर्थात्, यह अधिकांशता केवल उन सदिशों पर विचार करने के लिए चीजों को सरल बनाते है जिनका परिमाण 1 के बराबर होता है। सदिशों के लंबकोणीय जोड़े को केवल एकांक लंबाई तक सीमित करने की धारणा पर्याप्त महत्वपूर्ण है जिससे इसे एक विशेष नाम दिया जा सकता है। दो सदिश जो लंबकोणीय हैं और जिनकी लंबाई एकांक है उन्हें प्रसामान्य लांबिक कहा जाता है।

सरल उदाहरण

क्या 2 डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में प्रसामान्य लांबिक सदिश की एक जोड़ी की तरह दिखते हैं?

माना u = (x1, y1) और v = (x2, y2). x1, x2, y1, y2 पर प्रतिबंधों पर विचार करें जो u और v को एक ऑर्थोनॉर्मल जोड़ी बनाने के लिए आवश्यक हैं।

• लंबकोणीयता प्रतिबंध से, U.V = 0.
• U पर एकांक लंबाई प्रतिबंध से, || U|| = 1.
• V पर एकांक लंबाई प्रतिबंध से, || V|| = 1.

इन शर्तों का विस्तार करने से 3 समीकरण मिलते हैं:

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करने पर, और समीकरण (2) तथा समीकरण (3) के अनुसार परिणाम r1 = r2 = 1 प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों को इकाई लंबाई का होना आवश्यक होने पर सदिशों को इकाई वृत्त पर निर्भर होने से रोकता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण (1) cos⁡θ1cos⁡θ2+sin⁡θ1sin⁡θ2=0 हो जाता है। समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर tan⁡θ1=−cot⁡θ2 प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करने से कोटेंजेंट को बदलने पर  निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है -

$\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

$\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}$

उप्युक्त परिणाम से यह स्पष्ट है कि समतल में, प्रसामान्य लांबिक सदिश केवल एकांक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिनके कोणों में अंतर 90° के बराबर है।

परिभाषा

मान लीजिए ${\mathcal {V}}$ एक आंतरिक गुणन समष्टि है। सदिशों का एक समुच्य

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}$

ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है अगर और केवल अगर

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

कहाँ पे $\delta _{ij}\,$ क्रोनकर डेल्टा है और $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद परिभाषित किया गया है ${\mathcal {V}}$.

महत्व

ऑर्थोनॉर्मल सेट विशेष रूप से अपने आप में महत्वपूर्ण नहीं हैं। हालांकि, वे कुछ विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं जो उन्हें वेक्टर रिक्त स्थान पर कुछ रैखिक मानचित्र के विकर्ण मैट्रिक्स की धारणा की खोज में मौलिक बनाती हैं।

गुण

ऑर्थोनॉर्मल सेट में कुछ बहुत ही आकर्षक गुण होते हैं, जो उन्हें विशेष रूप से काम करने में आसान बनाते हैं।

• प्रमेय। यदि {ई₁, तथा₂, ..., तथा_n} तब वैक्टरों की एक असामान्य सूची है
  $$\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$$
• प्रमेय। सदिशों की प्रत्येक ऑर्थोनॉर्मल सूची रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

अस्तित्व

• ग्राम-श्मिट प्रमेय। यदि {वि₁, में₂,...,में_n} आंतरिक-उत्पाद स्थान में वैक्टरों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सूची है ${\mathcal {V}}$, तो वहाँ एक अलंकारिक सूची मौजूद है {e₁, तथा₂,...,तथा_n} वैक्टर में ${\mathcal {V}}$ ऐसा वह स्पैन ('ई'₁, तथा₂,...,तथा_n) = स्पैन (बीबी₁, में₂,...,में_n).

ग्राम-श्मिट प्रमेय का प्रमाण रचनात्मक प्रमाण है, और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया कहीं और। ग्राम-श्मिट प्रमेय, पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ, यह गारंटी देता है कि प्रत्येक सदिश स्थान एक अलौकिक आधार को स्वीकार करता है। यह संभवतः ऑर्थोनॉर्मलिटी का सबसे महत्वपूर्ण उपयोग है, क्योंकि यह तथ्य अंतरिक्ष के ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर पर उनकी कार्रवाई के संदर्भ में आंतरिक-उत्पाद रिक्त स्थान पर रैखिक मानचित्र पर चर्चा करने की अनुमति देता है। क्या परिणाम एक ऑपरेटर की विकर्णता के बीच एक गहरा संबंध है और यह ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर पर कैसे कार्य करता है। यह संबंध स्पेक्ट्रल प्रमेय द्वारा विशेषता है।

उदाहरण

मानक आधार

समन्वय स्थान F के लिए मानक आधार^एन है

{e1, e2,...,en}   where	e1 = (1, 0, ..., 0)
	e2 = (0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	en = (0, 0, ..., 1)

कोई भी दो वैक्टर ई_i, तथा_j जहाँ i≠j ओर्थोगोनल हैं, और सभी सदिश स्पष्ट रूप से इकाई लंबाई के हैं। अतः {ई₁, तथा₂,...,तथा_n} n ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है।

वास्तविक मूल्यवान कार्य

वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का जिक्र करते समय, आमतौर पर Lp स्पेस | L² आंतरिक उत्पाद को तब तक ग्रहण किया जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। दो कार्य $\phi (x)$ तथा $\psi (x)$ अंतराल पर ऑर्थोनॉर्मल हैं (गणित) $[a,b]$ यदि

$(1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}$

$(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.$

फूरियर श्रृंखला

फूरियर श्रृंखला साइनसॉइडल स्कॉडर आधार कार्यों के संदर्भ में आवधिक कार्य को व्यक्त करने की एक विधि है। C[−π,π] को अंतराल [−π,π] पर निरंतर सभी वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान लेना और आंतरिक उत्पाद को लेना

$\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$

यह दिखाया जा सकता है

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}$

एक असामान्य सेट बनाता है।

हालांकि, इसका बहुत कम परिणाम है, क्योंकि C[−π,π] अनंत-आयामी है, और सदिशों का एक परिमित सेट इसे विस्तृत नहीं कर सकता है। लेकिन, n के परिमित होने के प्रतिबंध को हटाने से समुच्चय C[−π,π] में सघन उपसमुच्चय बन जाता है और इसलिए C[−π,π] का एक असामान्य आधार बन जाता है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनलाइजेशन

स्रोत

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3rd ed.), Boca Raton: CRC Press, p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1

श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण