गणितीय सर्वसमिका

पायथागॉरियन पहचान का दृश्य प्रमाण: किसी भी कोण के लिए

\theta

, बिंदु

(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

इकाई वृत्त पर स्थित है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है

x^{2}+y^{2}=1

. इस प्रकार,

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

.

गणित में, एक पहचान एक समानता (गणित) है जो एक गणितीय अभिव्यक्ति A को दूसरे गणितीय अभिव्यक्ति B से संबंधित करती है, जैसे कि A और B (जिसमें कुछ चर शामिल हो सकते हैं ( गणित)) वैधता की एक निश्चित सीमा के भीतर चर के सभी मूल्यों के लिए समान मूल्य उत्पन्न करते हैं।^[1] दूसरे शब्दों में, A = B एक पहचान है यदि A और B एक ही फ़ंक्शन (गणित) को परिभाषित करते हैं, और एक पहचान अलग-अलग परिभाषित फ़ंक्शन के बीच एक समानता है। उदाहरण के लिए, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ तथा $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ पहचान हैं।^[1]पहचान को कभी-कभी ट्रिपल बार प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $\equiv$ के बजाय $=$ , बराबर का चिह्न।^[2]

सामान्य पहचान

बीजगणितीय सर्वसमिका

कुछ पहचान, जैसे $a+0=a$ तथा $a+(-a)=0$ , बीजगणित का आधार बनता है,^[3] जबकि अन्य पहचान, जैसे $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ तथा $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ , बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने और उनका विस्तार करने में उपयोगी हो सकता है।^[4]

त्रिकोणमितीय पहचान

ज्यामितीय रूप से, [[त्रिकोणमितीय पहचान]] एक या अधिक कोणों के कुछ कार्यों को शामिल करने वाली पहचान है।^[5] वे त्रिकोणमिति # त्रिभुज की पहचान से अलग हैं, जो एक त्रिकोण के दोनों कोणों और भुजाओं की लंबाई से संबंधित पहचान हैं। इस लेख में केवल पूर्व को शामिल किया गया है।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करने वाले भावों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तब ये सर्वसमिकाएँ उपयोगी होती हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग गैर-त्रिकोणमितीय कार्यों का अभिन्न अंग है: एक सामान्य तकनीक जिसमें पहले त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करना शामिल है, और फिर त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाना।

त्रिकोणमितीय पहचान के सबसे प्रमुख उदाहरणों में समीकरण शामिल है $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ के सभी वास्तविक संख्या मानों के लिए सत्य है $\theta$ . दूसरी ओर, समीकरण

\cos \theta =1

के कुछ मानों के लिए ही सत्य है $\theta$ , सब नहीं। उदाहरण के लिए, यह समीकरण सत्य है जब $\theta =0,$ लेकिन झूठा कब $\theta =2$ .

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का एक अन्य समूह तथाकथित जोड़/घटाव सूत्रों से संबंधित है (उदाहरण के लिए दोहरे कोण की पहचान $\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$ , के लिए अतिरिक्त सूत्र $\tan(x+y)$ ),^[2]जिसका उपयोग बड़े कोणों के व्यंजकों को छोटे घटकों वाले व्यंजकों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।

घातीय पहचान

निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी पूर्णांक घातांकों के लिए मान्य हैं, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:

{\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रमविनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 तथा 2 · 3 = 3 · 2 = 6, लेकिन 2³ = 8 जबकि 3² = 9.

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक भी साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 तथा (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, लेकिन 2³ से 4 तक 8 है⁴ (या 4,096) जबकि 2 से 3⁴ 2 है⁸¹ (या 2,417,851,639,229,258,349,412,352)। जब कोई कोष्ठक नहीं लिखा जाता है, तो प्रथा के अनुसार क्रम ऊपर-नीचे होता है, नीचे-ऊपर नहीं:

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

जबकि

(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.

लघुगणकीय पहचान

कई महत्वपूर्ण सूत्र, जिन्हें कभी-कभी लघुगणकीय पहचान या लॉग कानून कहा जाता है, लघुगणक को एक दूसरे से संबंधित करते हैं:^{[lower-alpha 1]}

गुणन, भागफल, शक्ति और मूल

किसी गुणनफल का लघुगणक गुणा की जा रही संख्याओं के लघुगणकों का योग होता है; दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक लघुगणक का अंतर है। का लघुगणक $p$ संख्या की शक्ति है $p$ स्वयं संख्या के लघुगणक का गुणा; ए का लघुगणक $p$ वें मूल द्वारा विभाजित संख्या का लघुगणक है $p$ . निम्न तालिका उदाहरणों के साथ इन पहचानों को सूचीबद्ध करती है। लघुगणक परिभाषाओं के प्रतिस्थापन के बाद प्रत्येक पहचान प्राप्त की जा सकती है $x=b^{\log _{b}x},$ और/या $y=b^{\log _{b}y},$ बाएँ पक्ष में।

	Formula	Example
product	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
quotient	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
power	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
root	$\log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

आधार परिवर्तन

लघुगणक लॉग_b(x) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके मनमाने आधार k के संबंध में x और b के लघुगणक से गणना की जा सकती है:

<उद्धरण आईडी = लेबललॉगरिदमबेस चेंज>

\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.

</उद्धरण>

विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर 10 और ई (गणितीय स्थिरांक) के आधार पर लघुगणक की गणना करते हैं।^[6] किसी भी आधार b के संबंध में लघुगणक पिछले सूत्र द्वारा इन दो लघुगणकों में से किसी एक का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.

एक संख्या x और उसके लघुगणक को देखते हुए_b(x) अज्ञात आधार b के लिए, आधार निम्न द्वारा दिया गया है:

b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य पहचान

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, वे सभी त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में समान हैं। वास्तव में, ओसबोर्न का नियम^[7] बताता है कि कोई भी त्रिकोणमितीय पहचान को साइन और कोसाइन की पूर्णांक शक्तियों के संदर्भ में पूरी तरह से विस्तारित करके, साइन को sinh और कोसाइन को cosh में बदलकर, और प्रत्येक शब्द के चिह्न को बदलकर एक अतिपरवलयिक पहचान में परिवर्तित कर सकता है जिसमें समता का उत्पाद होता है ( गणित) अतिशयोक्तिपूर्ण साइन की संख्या।^[8] गुडरमैनियन समारोह त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस और हाइपरबॉलिक कार्यों के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें जटिल संख्याएं शामिल नहीं होती हैं।

तर्क और सार्वभौमिक बीजगणित

औपचारिक रूप से, एक सर्वसमिका एक वास्तविक सार्वभौम परिमाणक है जो अच्छी तरह से निर्मित सूत्र#रूप का विधेय तर्क है $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ कहाँ पे $s$ तथा $t$ शब्द (तर्क) हैं जिनके अलावा कोई अन्य मुक्त चर नहीं है $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ क्वांटिफायर उपसर्ग $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ अक्सर अस्पष्ट छोड़ दिया जाता है, जब यह कहा जाता है कि सूत्र एक पहचान है। उदाहरण के लिए, एक मोनोइड के सिद्धांतों को अक्सर सूत्रों के रूप में दिया जाता है

\forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,

या, शीघ्र ही,

x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.

तो, ये सूत्र प्रत्येक मोनॉइड में सर्वसमिका हैं। किसी भी समानता के लिए, क्वांटिफायर के बिना सूत्रों को अक्सर समीकरण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक सर्वसमिका एक समीकरण है जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य है।^[9]^[10]

यह भी देखें

संदर्भ

उद्धरण

↑ ^1.0 ^1.1 "गणित: पहचान". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ ^2.0 ^2.1 "पहचान - गणित शब्द की परिभाषा - गणित खुला संदर्भ". www.mathopenref.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ "बुनियादी पहचान". www.math.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ "बीजीय पहचान". www.sosmath.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ Stapel, Elizabeth. "त्रिकोणमितीय पहचान". Purplemath. Retrieved 2019-12-01.
↑ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, p. 21
↑ Osborn, G. (1 January 1902). "109. अतिशयोक्तिपूर्ण सूत्रों के लिए स्मरक". The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
↑ Peterson, John Charles (2003). कलन के साथ तकनीकी गणित (3rd ed.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Chapter 26, page 1155
↑ Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Rewrite Systems". In Jan van Leeuwen (ed.). औपचारिक मॉडल और शब्दार्थ. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 243–320.
↑ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए सार्वभौमिक बीजगणित. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

स्रोत

Downing, Douglas (2003). बीजगणित आसान तरीका. Barrons Educational Series. ISBN 978-0-7641-1972-9.
Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009). गणित की मूल बातें. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-755-8.
Shirali, S. (2002). एडवेंचर्स इन प्रॉब्लम सॉल्विंग. Universities Press. ISBN 978-81-7371-413-9.

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बाहरी संबंध

The Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
A Collection of Algebraic Identities

[6] All statements in this section can be found in Shirali 2002, Section 4, Downing 2003, p. 275, or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.

[:1-1] 1.0 ^1.1 "गणित: पहचान". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-01.

[:2-2] 2.0 ^2.1 "पहचान - गणित शब्द की परिभाषा - गणित खुला संदर्भ". www.mathopenref.com. Retrieved 2019-12-01.

[3] "बुनियादी पहचान". www.math.com. Retrieved 2019-12-01.

[4] "बीजीय पहचान". www.sosmath.com. Retrieved 2019-12-01.

[5] Stapel, Elizabeth. "त्रिकोणमितीय पहचान". Purplemath. Retrieved 2019-12-01.

[7] Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, p. 21

[8] Osborn, G. (1 January 1902). "109. अतिशयोक्तिपूर्ण सूत्रों के लिए स्मरक". The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.

[9] Peterson, John Charles (2003). कलन के साथ तकनीकी गणित (3rd ed.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Chapter 26, page 1155

[10] Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Rewrite Systems". In Jan van Leeuwen (ed.). औपचारिक मॉडल और शब्दार्थ. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 243–320.

[11] Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए सार्वभौमिक बीजगणित. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

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