पूर्ण सम्बद्ध समष्टि

संस्थितिविज्ञान में, एक सांस्थितिक स्थान को पूर्णतः संबंधित (या 1-संबंधित, या 1- पूर्णतः संबंधित) ​​कहा जाता है।) यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और प्रश्न में दो समापन बिंदुओं को संरक्षित करते हुए दो बिंदुओं के बीच हर पथ को लगातार (अंतर्निहित रूप से स्थापित रिक्त स्थान के लिए, अंतरिक्ष के भीतर रहने के लिए) किसी अन्य ऐसे पथ में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सांस्थितिक स्थान का मौलिक समूह अंतरिक्ष के लिए आसानी से संबंधित होने की विफलता का संकेतक है: पथ से जुड़े सांस्थितिक स्थान को केवल तभी जोड़ा जाता है जब उसका मौलिक समूह क्षुद्र हो।

परिभाषा और समकक्ष योग

यह आकृति एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी परिपथ जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

एक सांस्थितिक स्थान $X$ को पूर्णतः संबंधित कहा जाता है अगर यह पंथ-संबंधित है और X में किसी भी परिपथ को $f:S^{1}\to X$ द्वारा परिभाषित एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत मानचित्र $F:D^{2}\to X$ मौजूद है जैसे कि $F$ को $S^{1}$तक सीमित f से किया गया है।। यहां, $S^{1}$ तथा $D^{2}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्रमशः श्रेणी वृत्त और बंद श्रेणी मण्डल को दर्शाता है।

एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: $X$ बस जुड़ा हुआ है और केवल यह पथ से जुड़ा हुआ है, और जब भी $p:[0,1]\to X$ तथा $q:[0,1]\to X$ एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो पथ (अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं ($p(0)=q(0)$ तथा $p(1)=q(1)$), फिर दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए $p$ को लगातार $q$ में विकृत किया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ मौजूद है जैसे कि $F(x,0)=p(x)$ तथा $F(x,1)=q(x).$

एक सांस्थितिक स्थान $X$ बस जुड़ा हुआ है अगर, और केवल $X$ पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक बिंदु पर $X$ का मौलिक समूह छोटा है, अर्थात इसमें केवल पहचान तत्व शामिल है। इसी प्रकार, $X$ बस जुड़ा हुआ है और केवल अगर सभी बिंदुओं के लिए $x,y\in X,$ आकारिकी के सेट $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ में $X$ के मौलिक समूह में केवल एक तत्व है।

जटिल विश्लेषण में: एक खुला उपसमुच्चय $X\subseteq \mathbb {C}$ बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर दोनों $X$ और रीमैन क्षेत्र में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का सेट शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, विमान के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट $X$ संबंधित विस्तारित पूरक के साथ विमान के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक (जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) खुला समुच्चय में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।

अनौपचारिक चर्चा

अनौपचारिक रूप से, हमारे अंतरिक्ष में एक वस्तु बस जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छिद्र नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप (एक उपाधि के साथ) बस जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद बस जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक चर्किका और एक रेखा है। वे स्थान जो जुड़ा हुआ स्थान हैं, लेकिन केवल संबंधित नहीं हैं, नॉन-पूर्णतः संबंधित या संवर्धन संबंधित कहलाते हैं।

एक गोला बस जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक परिपथ को एक बिंदु पर (सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।

परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला (या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि गोले की सतह पर कोई भी परिपथ एक बिंदु तक संकुचित सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक छिद्र हो। मजबूत स्थिति, कि वस्तु में किसी भी आयाम का कोई छिद्र नहीं है, संकुचनशीलता कहलाती है।

उदाहरण

एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन परिपथों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक ठोस टोरस भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी परिपथ ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।

• यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{2}$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन $\mathbb {R} ^{2}$ न्यूनतम उत्पत्ति $(0,0)$ नहीं है। यदि $n>2,$ फिर दोनों $\mathbb {R} ^{n}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}$ न्यूनतम उत्पत्ति बस जुड़े हुए हैं।

• अनुरूप: n-sphere|n-आयामी क्षेत्र $S^{n}$ बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है $n\geq 2.$
• का हर उत्तल उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ बस जुड़ा हुआ है।
• एक टोरस्र्स, (अण्डाकार) सिलेंडर (ज्यामिति), मोबियस स्ट्रिप, प्रक्षेपी विमान और क्लेन की बोतल केवल जुड़े नहीं हैं।
• हरसांस्थितिक वेक्टर स्थान बस जुड़ा हुआ है; इसमें बनच स्थान और हिल्बर्ट अंतरिक्ष शामिल हैं।
• के लिये $n\geq 2,$ विशेष ऑर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ केवल जुड़ा नहीं है और विशेष एकात्मक समूह है $\operatorname {SU} (n)$ बस जुड़ा हुआ है।
• का एक बिंदु संघनन $\mathbb {R}$ बस जुड़ा नहीं है (भले ही $\mathbb {R}$ बस जुड़ा हुआ है)।
• लंबी लाइन ( संस्थितिविज्ञान) $L$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन इसकी कॉम्पैक्टीफिकेशन, विस्तारित लंबी लाइन $L^{*}$ नहीं है (चूंकि यह जुड़ा हुआ रास्ता भी नहीं है)।

गुण

एक सतह (द्वि-आयामीसांस्थितिक विविध) बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह जुड़ा हुआ है और इसकी जीनस (गणित) (की संख्या) handles सतह का) 0 है।

किसी भी (उपयुक्त) स्थान का एक सार्वभौमिक आवरण $X$ एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान है जो मैप करता है $X$ कवरिंग नक्शा के माध्यम से।

यदि $X$ तथा $Y$ होमोटॉपी समकक्ष हैं और $X$ बस जुड़ा हुआ है, तो ऐसा ही है $Y.$ एक निरंतर कार्य के तहत एक साधारण रूप से जुड़े सेट की छवि को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए एक्सपोनेंशियल मैप के तहत जटिल विमान लें: छवि है $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ जो कि जुड़ा ही नहीं है।

निम्नलिखित तथ्यों के कारण जटिल विश्लेषण में सरल जुड़ाव की धारणा महत्वपूर्ण है:

• कॉची का अभिन्न प्रमेय कहता है कि अगर $U$ सम्मिश्र संख्या का सरलता से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {C} ,$ तथा $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, फिर $f$ एक एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण) है $F$ पर $U,$ और प्रत्येक पंक्ति का मान अभिन्न है $U$ एकीकृत के साथ $f$ केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है $u$ तथा $v$ पथ के, और के रूप में गणना की जा सकती है $F(v)-F(u).$ इस प्रकार अभिन्न जोड़ने वाले विशेष पथ पर निर्भर नहीं करता है $u$ तथा $v,$ * रीमैन मानचित्रण प्रमेय कहता है कि कोई भी गैर-खाली खुला केवल जुड़ा हुआ उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$ (के अलावा $\mathbb {C}$ ही) श्रेणी डिस्क के अनुरूप नक्शा है।

पोंकारे अनुमान में सरल जुड़ाव की धारणा भी एक महत्वपूर्ण शर्त है।

यह भी देखें

• Fundamental group
• Deformation retract
• n-connected space
• Path-connected
• Unicoherent space

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• होमोटॉपी
• वृत्त
• अपघटन को संभालें
• सिकुड़ा हुआ स्थान
• जटिल संख्या
• रेखा अभिन्न
• रीमैन मैपिंग प्रमेय

संदर्भ

• Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (January 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (August 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.