प्रत्यावर्तन (गणित)

For the archaic use of this term, see exponentiation.

एक इनवॉल्यूशन एक फंक्शन है $f:X\to X$ कि, जब दो बार लगाया जाता है, तो एक को शुरुआती बिंदु पर वापस लाता है।

गणित में, एक इनवोल्यूशन, इनवॉल्यूटरी फंक्शन या सेल्फ-इनवर्स फंक्शन एक कार्य है (गणित) f यह इसका अपना उलटा कार्य है,

f(f(x)) = x

सभी के लिए x के एक समारोह के डोमेन में f. समान रूप से, आवेदन करना f दो बार मूल मूल्य पैदा करता है।

सामान्य गुण

कोई भी शामिल होना एक आपत्ति है।

पहचान समारोह एक शामिल होने का एक तुच्छ उदाहरण है। गैर-तुच्छ अंतर्विरोधों के उदाहरणों में शामिल हैं योज्य प्रतिलोम ($x\mapsto -x$), गुणात्मक प्रतिलोम ($x\mapsto 1/x$), और जटिल संयुग्म ($z\mapsto {\bar {z}}$) अंकगणित में; परावर्तन (गणित), अर्ध-मोड़ घूर्णन (गणित), और ज्यामिति में वृत्त व्युत्क्रमण; सेट सिद्धांत में पूरक (सेट सिद्धांत); और पारस्परिक सिफर जैसे ROT13 परिवर्तन और ब्यूफोर्ट सिफर पॉलीअल्फाबेटिक सिफर।

समारोह रचना g ∘ f दो इनवोल्यूशन f और g एक इनवोल्यूशन है अगर और केवल अगर वे क्रमचयी गुणधर्म हैं: g ∘ f = f ∘ g.

परिमित सेटों पर आक्रमण

के साथ एक सेट पर पहचान के शामिल होने सहित शामिल होने की संख्या n = 0, 1, 2, ... तत्व 1800 में हेनरिक अगस्त रोथ द्वारा पाया गया पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया गया है:

$a_{0}=a_{1}=1$ तथा $a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ के लिये $n>1.$

इस अनुक्रम के पहले कुछ पद 1 (संख्या), 1, 2 (संख्या), 4 (संख्या), 10 (संख्या), 26 (संख्या), 76 (संख्या), 232 (संख्या) हैं। (sequence A000085 in the OEIS); इन नंबरों को टेलीफोन नंबर (गणित) कहा जाता है, और वे दी गई कोशिकाओं की संख्या के साथ युवा झांकी की संख्या भी गिनते हैं। जो नंबर $a_{n}$ योग जैसे गैर-पुनरावर्ती सूत्रों द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है

$$a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.$$

परिमित समुच्चय पर एक अंतर्वलन के निश्चित बिंदुओं की संख्या और इसकी प्रमुखता में समान समानता (गणित) है। इस प्रकार किसी दिए गए परिमित समुच्चय पर सभी आक्रमणों के निश्चित बिंदुओं की संख्या समान समानता है। विशेष रूप से, विषम संख्या में तत्वों पर प्रत्येक समावेशन में कम से कम एक निश्चित बिंदु (गणित) होता है। इसका उपयोग दो वर्गों के योग पर फर्मेट के प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है # जैगियर का एक-वाक्य प्रमाण | फर्मेट के दो वर्ग प्रमेय।

गणित के सभी क्षेत्रों में क्रमपरिवर्तन

पूर्व-कलन

समावेशन के कुछ बुनियादी उदाहरणों में कार्य शामिल हैं

$${\begin{alignedat}{4}f_{1}(x)&=-x,\\f_{2}(x)&={\frac {1}{x,}}\\f_{3}(x)&={\frac {x}{x-1}},\\\end{alignedat}}$$

रचना $f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},$ और अधिक आम तौर पर समारोह

$$g(x)={\frac {b-x}{1+cx}}$$

स्थिरांक के लिए एक जुड़ाव है $b$ तथा $c$ जो संतुष्ट करता है $bc\neq -1.$ ये केवल प्री-कैलकुलस इन्वोल्यूशन नहीं हैं। सकारात्मक दायरे में एक और है

$$f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).$$

एक इनवोल्यूशन (वास्तविक संख्याओं पर) का ग्राफ_ऑफ_ए_फंक्शन लाइन के पार परावर्तन समरूपता है $y=x$. यह इस तथ्य के कारण है कि किसी भी सामान्य कार्य का व्युत्क्रम रेखा पर उसका प्रतिबिंब होगा $y=x$. इसे अदला-बदली करके देखा जा सकता है $x$ साथ $y$. यदि, विशेष रूप से, फलन एक अंतर्वलन है, तो इसका ग्राफ इसका अपना प्रतिबिंब है।

अन्य प्राथमिक समावेशन कार्यात्मक समीकरण # समावेशन में उपयोगी होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के शामिल होने का एक सरल उदाहरण एक विमान (गणित) के माध्यम से प्रतिबिंब (गणित) है। एक प्रतिबिंब को दो बार करने से एक बिंदु वापस अपने मूल निर्देशांक में आ जाता है।

एक अन्य समावेश मूल के माध्यम से प्रतिबिंब है; उपरोक्त अर्थ में प्रतिबिंब नहीं, और इसलिए, एक विशिष्ट उदाहरण।

ये परिवर्तन affine involutions के उदाहरण हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति

एक समावेशन अवधि 2 की एक प्रोजेक्टिविटी है, यानी एक प्रोजेक्टिविटी जो बिंदुओं के जोड़े को बदलती है।

• कोई भी प्रोजेक्टिविटी जो दो बिंदुओं को आपस में बदल देती है, एक इनवोल्यूशन है।
• एक पूर्ण चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के तीन जोड़े किसी भी रेखा (शीर्ष के माध्यम से नहीं) के तीन जोड़े में एक अंतर्वलन से मिलते हैं। इस प्रमेय को Desargues's Involution Theorem कहा गया है। इसकी उत्पत्ति एलेक्जेंड्रिया के पप्पस के संग्रह के खंड VII में यूक्लिड के पोरिज्म के लिए नींबू के लेम्मा IV में देखी जा सकती है।
• यदि किसी अंतर्वलन का एक निश्चित बिंदु (गणित) है, तो इसका दूसरा है, और इन दो बिंदुओं के संबंध में प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म के बीच पत्राचार होता है। इस उदाहरण में अंतर्वलन को अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है, जबकि यदि कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं तो यह दीर्घवृत्तीय है। प्रोजेक्टिविटीज के संदर्भ में, फिक्स्ड पॉइंट्स को डबल पॉइंट कहा जाता है।

प्रक्षेपी ज्यामिति में होने वाला एक अन्य प्रकार का समावेशन एक ध्रुवीयता है जो अवधि 2 का सहसंबंध (प्रक्षेपी ज्यामिति) है।

रेखीय बीजगणित

Further information: Involutory matrix

रैखिक बीजगणित में, एक सदिश स्थान पर एक आक्रमण एक रैखिक ऑपरेटर टी है, जैसे कि $T^{2}=I$. विशेषता 2 को छोड़कर, ऐसे ऑपरेटर किसी दिए गए आधार के लिए संबंधित मैट्रिक्स के विकर्ण पर केवल 1s और -1s के साथ विकर्ण होते हैं। यदि ऑपरेटर ओर्थोगोनल (एक ओर्थोगोनल इन्वोल्यूशन) है, तो यह ओर्थोनॉर्मली डायगोनलाइज़ेबल है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक सदिश स्थान V के लिए एक आधार चुना गया है, और वह e₁ और ई₂ आधार तत्व हैं। एक रैखिक परिवर्तन मौजूद है जो ई भेजता है₁ फिर₂, और ई भेजता है₂ फिर₁, और जो अन्य सभी सदिशों के आधार पर तत्समक है। इसे चेक किया जा सकता है f(f(x)) = x V में सभी x के लिए। अर्थात, f, V का एक अंतर्वलन है।

एक विशिष्ट आधार के लिए, किसी भी रैखिक ऑपरेटर को एक मैट्रिक्स (गणित) टी द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रत्येक मैट्रिक्स में एक स्थानान्तरण होता है, जो स्तंभों के लिए पंक्तियों की अदला-बदली करके प्राप्त किया जाता है। यह स्थानान्तरण मैट्रिसेस के सेट पर एक इनवॉल्यूशन है।

इनवोल्यूशन की परिभाषा आसानी से मॉड्यूल (गणित) तक फैली हुई है। एक रिंग (गणित) R पर एक मॉड्यूल M को देखते हुए, M के एक R एंडोमोर्फिज्म f को एक इनवोल्यूशन कहा जाता है यदि f² एम पर सर्वसमिका समरूपता है।

उदासीन तत्व (रिंग थ्योरी) # समावेशन के साथ संबंध; यदि 2 उलटा है तो वे एक-से-एक तरीके से आपत्ति करते हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण में, Banach *-algebras और C*-algebras विशेष प्रकार के Banach algebras हैं जिनमें शामिल हैं।

चतुष्कोणीय बीजगणित, समूह, अर्धसमूह

चतुष्कोणीय बीजगणित में, एक (विरोधी) समावेशन को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किया गया है: यदि हम एक परिवर्तन पर विचार करें $x\mapsto f(x)$ तो यह एक जुड़ाव है अगर

• $f(f(x))=x$ (यह इसका अपना उलटा है)
• $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ तथा $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ (यह रैखिक है)
• $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

एक विरोधी समावेशन अंतिम स्वयंसिद्ध का पालन नहीं करता है बल्कि इसके बजाय

• $f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

इस पूर्व नियम को कभी-कभी प्रतिवितरक कहा जाता है। यह समूह (गणित) के रूप में भी प्रकट होता है ${\left(xy\right)}^{-1}={\left(y\right)}^{-1}{\left(x\right)}^{-1}$. एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है, यह शामिल होने के साथ सेमीग्रुप की धारणा की ओर जाता है, जिनमें से ऐसे प्राकृतिक उदाहरण हैं जो समूह नहीं हैं, उदाहरण के लिए स्क्वायर मैट्रिक्स गुणन (यानी पूर्ण रैखिक मोनॉयड) जिसमें शामिल होने के रूप में स्थानान्तरण होता है।

वलय सिद्धांत

Further information: *-algebra

अंगूठी सिद्धांत में, इनवोल्यूशन शब्द को आमतौर पर एक प्रतिसमरूपता के रूप में लिया जाता है जो कि इसका अपना उलटा कार्य है। सामान्य छल्लों में शामिल होने के उदाहरण:

• जटिल तल पर जटिल संयुग्मन
• विभाजन-जटिल संख्याओं में j से गुणा
• मैट्रिक्स रिंग में ट्रांसपोज़ लेना।

समूह सिद्धांत

समूह सिद्धांत में, समूह (गणित) का एक तत्व एक समावेशन है यदि इसमें आदेश (समूह सिद्धांत) 2 है; यानी एक जुड़ाव एक तत्व है $a$ ऐसा है कि $a\neq e$ और ए² = ई, जहां ई पहचान तत्व है। मूल रूप से, यह परिभाषा ऊपर दी गई पहली परिभाषा से सहमत थी, क्योंकि समूहों के सदस्य हमेशा एक सेट से स्वयं में आक्षेप थे; यानी, समूह को क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में लिया गया था। 19वीं शताब्दी के अंत तक, समूह को अधिक व्यापक रूप से परिभाषित किया गया था, और तदनुसार यह समावेशन भी था।

एक क्रमचय एक अंतर्वलन है यदि और केवल यदि इसे असंयुक्त स्थानान्तरण (गणित) के परिमित उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।

एक समूह के शामिल होने का समूह की संरचना पर बड़ा प्रभाव पड़ता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में अंतर्विरोधों का अध्ययन सहायक था।

एक तत्व $x$ एक समूह का $G$ दृढ़ता से वास्तविक तत्व कहा जाता है यदि कोई समावेशन हो $t$ साथ $x^{t}=x^{-1}$ (कहाँ पे $x^{t}=x^{-1}=t^{-1}\cdot x\cdot t$). कॉक्सेटर समूह ऐसे समूह हैं जो इनवॉल्यूशन द्वारा उत्पन्न संबंधों के साथ उत्पन्न होते हैं जो केवल पैदा करने वाले इनवॉल्यूशन के जोड़े के लिए दिए गए संबंधों द्वारा निर्धारित होते हैं। संभावित प्लेटोनिक ठोस और उनके नियमित पॉलीटॉप का वर्णन करने के लिए, कॉक्सेटर समूह का उपयोग अन्य चीजों के साथ किया जा सकता है।

गणितीय तर्क

बूलियन एमवी-बीजगणित (संरचना) में पूरक की संक्रिया एक अंतर्वलन है। तदनुसार, शास्त्रीय तर्क में निषेध डबल_नकारात्मकता को संतुष्ट करता है: ¬¬ए ए के बराबर है।

आम तौर पर गैर-शास्त्रीय लॉजिक्स में, दोहरे निषेध के नियम को संतुष्ट करने वाले निषेध को समावेशी कहा जाता है। बीजगणितीय शब्दार्थ में, इस तरह के निषेध को सत्य मूल्यों के बीजगणित पर एक समावेशन के रूप में महसूस किया जाता है। ऐसे तर्कों के उदाहरण जिनमें समावेशी निषेध है, क्लेन और बोचवर तीन-मूल्यवान तर्क हैं, लुकासिविक्ज़ तर्क| यह सामान्य है, उदाहरण के लिए, [[टी-नॉर्म अस्पष्ट तर्क]] में।

तर्कशास्त्र और संबंधित विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) के लिए नकारात्मकता की समावेशिता एक महत्वपूर्ण लक्षण वर्णन गुण है। उदाहरण के लिए, हेयिंग बीजगणित के बीच समावेशी निषेध बूलियन बीजगणित (संरचना) की विशेषता है। इसके विपरीत, क्लासिकल क्लासिकल लॉजिक अंतर्ज्ञानवादी तर्क में दोहरे निषेध के नियम को जोड़कर उत्पन्न होता है। यही संबंध MV-अलजेब्रा और BL-एलजेब्रा (और इसी तरह Łukasiewicz लॉजिक और फ़ज़ी लॉजिक BL (लॉजिक)), IMTL और मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक, और बीएल बीजगणित की महत्वपूर्ण किस्मों के अन्य युग्मों के बीच भी होता है (उत्तर. संबंधित लॉजिक) ).

द्वि-संबंधों के अध्ययन में प्रत्येक संबंध का विलोम संबंध होता है। चूँकि विलोम का विलोम मूल संबंध है, रूपांतरण संक्रिया संबंधों की श्रेणी पर एक अंतर्वलन है। समावेशन (सेट सिद्धांत) के माध्यम से द्विआधारी संबंध आंशिक क्रम हैं। जबकि यह क्रम पूरकता (गणित) के साथ उलटा है, यह रूपांतरण के तहत संरक्षित है।

कंप्यूटर विज्ञान

एक पैरामीटर के लिए दिए गए मान के साथ XOR बिटवाइज़ ऑपरेशन एक इनवॉल्यूशन है। XOR मास्क (कंप्यूटिंग) का उपयोग एक बार छवियों पर ग्राफिक्स को इस तरह से करने के लिए किया जाता था कि उन्हें पृष्ठभूमि पर दो बार खींचने से पृष्ठभूमि अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है। बिटवाइज़ नहीं बिटवाइज़ ऑपरेशन भी एक इनवोल्यूशन है, और XOR ऑपरेशन का एक विशेष मामला है जहाँ एक पैरामीटर में सभी बिट्स 1 पर सेट होते हैं।

एक अन्य उदाहरण एक बिट मास्क और शिफ्ट फ़ंक्शन है जो पूर्णांक के रूप में संग्रहीत रंग मानों पर काम करता है, आरजीबी के रूप में कहें, जो आर और बी को स्वैप करता है, जिसके परिणामस्वरूप बीजीआर बनता है। एफ(एफ(आरजीबी))=आरजीबी, एफ(एफ(बीजीआर))=बीजीआर।

RC4 क्रिप्टोग्राफिक सिफर एक इनवोल्यूशन है, क्योंकि एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन ऑपरेशन एक ही फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं।

व्यावहारिक रूप से सभी यांत्रिक सिफर मशीनें एक पारस्परिक सिफर लागू करती हैं, प्रत्येक टाइप किए गए पत्र पर एक अंतर्वलन। दो प्रकार की मशीनों को डिजाइन करने के बजाय, एक एन्क्रिप्ट करने के लिए और एक डिक्रिप्टिंग के लिए, सभी मशीनें एक जैसी हो सकती हैं और उन्हें एक ही तरीके से सेट (कीड) किया जा सकता है।

यह भी देखें

• ऑटोमोर्फिज्म
• निःशक्तता
• आरओटी13

अग्रिम पठन

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Quaternion involutions and anti-involutions". Computers & Mathematics with Applications. 53 (1): 137–143. arXiv:math/0506034. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001
• "Involution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]