निरंतर अंशों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना

गणित में, द्विघात समीकरण बहुपद की दूसरी घात का बहुपद समीकरण होता है। सामान्य रूप है

$ax^{2}+bx+c=0,$

जहां एक ≠ 0.

किसी संख्या पर द्विघात समीकरण $x$ सुप्रसिद्ध द्विघात समीकरण # द्विघात सूत्र और इसकी व्युत्पत्ति का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसे पूर्ण वर्ग बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। वह सूत्र हमेशा द्विघात समीकरण की जड़ें देता है, लेकिन समाधान एक ऐसे रूप में व्यक्त किए जाते हैं जिसमें अक्सर एक द्विघात अपरिमेय संख्या शामिल होती है, जो कि एक बीजगणितीय अंश होता है जिसे वर्गमूलों की गणना के अतिरिक्त तरीकों को लागू करके केवल दशमलव के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है।

यदि जड़ें वास्तविक संख्या हैं, तो एक वैकल्पिक तकनीक है जो सीधे समीकरण में हेरफेर करके जड़ों में से एक के लिए तर्कसंगत सन्निकटन प्राप्त करती है। विधि कई मामलों में काम करती है, और बहुत पहले इसने सामान्यीकृत निरंतर अंश के जटिल विश्लेषण के और विकास को प्रेरित किया।

सरल उदाहरण

निरंतर अंशों का उपयोग करके द्विघात समीकरण के समाधान को दर्शाने के लिए यहां एक सरल उदाहरण दिया गया है। हम समीकरण से शुरू करते हैं

$x^{2}=2$

और इसे सीधे हेरफेर करें। दोनों ओर से एक घटाने पर हमें प्राप्त होता है

$x^{2}-1=1.$

यह आसानी से शामिल हो जाता है

$(x+1)(x-1)=1$

जिससे हम प्राप्त करते हैं

$(x-1)={\frac {1}{1+x}}$

और अंत में

$x=1+{\frac {1}{1+x}}.$

अब आता है अहम कदम। प्राप्त करने के लिए हम इस व्यंजक को x वापस अपने आप में, पुनरावर्ती रूप से प्रतिस्थापित करते हैं

$x=1+{\cfrac {1}{1+\left(1+{\cfrac {1}{1+x}}\right)}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+x}}}}.$

लेकिन अब हम उसी पुनरावर्ती प्रतिस्थापन को बार-बार कर सकते हैं, अज्ञात मात्रा x को जितना चाहें उतना नीचे और दाईं ओर धकेल सकते हैं, और सीमा में अनंत निरंतर अंश प्राप्त कर सकते हैं

$x=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}={\sqrt {2}}.$

मौलिक पुनरावृत्ति सूत्रों को लागू करके हम आसानी से इस निरंतर अंश के क्रमिक अभिसरण (सतत अंश) की गणना 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, . .., जहां प्रत्येक क्रमिक अभिसरण पिछले पद के अंश और हर को अगले पद के हर के रूप में लेकर बनता है, फिर नए अंश बनाने के लिए पूर्ववर्ती हर को जोड़कर बनाया जाता है। भाजक का यह क्रम एक विशेष लुकास क्रम है जिसे पेल नंबर के रूप में जाना जाता है।

बीजगणितीय स्पष्टीकरण

हम की क्रमिक शक्तियों पर विचार करके इस सरल उदाहरण में और अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकते हैं

$\omega ={\sqrt {2}}-1.$

क्रमिक शक्तियों का वह क्रम किसके द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\omega ^{2}&=3-2{\sqrt {2}},&\omega ^{3}&=5{\sqrt {2}}-7,&\omega ^{4}&=17-12{\sqrt {2}},\\\omega ^{5}&=29{\sqrt {2}}-41,&\omega ^{6}&=99-70{\sqrt {2}},&\omega ^{7}&=169{\sqrt {2}}-239,\,\end{aligned}}$

इत्यादि। ध्यान दें कि क्रमिक सन्निकटन (निरंतर अंश) के रूप में प्राप्त अंश कैसे होता है √2 इस ज्यामितीय प्रगति में दिखाई देते हैं।

चूँकि 0 < ω < 1, अनुक्रम {ωⁿ} सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के प्रसिद्ध गुणों द्वारा स्पष्ट रूप से शून्य की ओर जाता है। इस तथ्य का उपयोग सख्ती से यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि उपरोक्त सरल उदाहरण में चर्चित अभिसरण वास्तव में अभिसरण करते हैं √2, सीमा में।

हम इन अंशों और हरों को की क्रमिक शक्तियों में भी देख सकते हैं

$\omega ^{-1}={\sqrt {2}}+1.$

उत्तरोत्तर घातों का क्रम {ω⁻ⁿ} शून्य तक नहीं पहुंचता है; इसके बजाय यह बिना सीमा के बढ़ता है। लेकिन इसका उपयोग अभी भी हमारे सरल उदाहरण में अभिसरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी ध्यान दें कि समुच्चय (गणित) 'सभी' संयोजन a + b बनाकर प्राप्त किया जाता है√2, जहां a और b पूर्णांक हैं, अमूर्त बीजगणित में एक अंगूठी (गणित) के रूप में ज्ञात वस्तु का एक उदाहरण है, और विशेष रूप से एक अभिन्न डोमेन के रूप में। संख्या ω उस अभिन्न डोमेन में एक इकाई (रिंग थ्योरी) है। बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड भी देखें।

सामान्य द्विघात समीकरण

एक मोनिक बहुपद के रूप में व्यक्त सामान्य द्विघात समीकरण को हल करने के लिए निरंतर अंशों को सबसे आसानी से लागू किया जाता है

$x^{2}+bx+c=0$

जो हमेशा मूल समीकरण को उसके प्रमुख गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस मोनिक समीकरण से शुरू करके हम देखते हैं

${\begin{aligned}x^{2}+bx&=-c\\x+b&={\frac {-c}{x}}\\x&=-b-{\frac {c}{x}}\,\end{aligned}}$

लेकिन अब हम पिछले समीकरण को पुनरावर्ती रूप से प्राप्त करने के लिए लागू कर सकते हैं

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

यदि यह अनंत निरंतर अंश अभिसरण (निरंतर अंश) बिल्कुल भी है, तो इसे मोनिक बहुपद x के एक समारोह की जड़ में से एक में परिवर्तित होना चाहिए² + bx + c = 0. दुर्भाग्य से, यह विशेष निरंतर अंश हर मामले में एक परिमित संख्या में परिवर्तित नहीं होता है। द्विघात समीकरण#द्विघात सूत्र और वास्तविक गुणांकों के साथ एक मोनिक बहुपद पर विचार करके हम आसानी से देख सकते हैं कि ऐसा है। यदि ऐसे बहुपद का विविक्तकर ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूलों में काल्पनिक संख्या वाले भाग होते हैं। विशेष रूप से, यदि b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और b² − 4c < 0, इस निरंतर अंश समाधान के सभी अभिसारी वास्तविक संख्याएँ होंगी, और वे संभवतः u + iv (जहाँ v ≠ 0) के रूप की जड़ में परिवर्तित नहीं हो सकते हैं, जो पर स्थित नहीं है वास्तविक संख्या।

सामान्य प्रमेय

1748 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्राप्त परिणाम को लागू करके यह दिखाया जा सकता है कि वास्तविक गुणांकों के साथ सामान्य मोनिक द्विघात समीकरण का निरंतर अंश समाधान

$x^{2}+bx+c=0$

के द्वारा दिया गया

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

या तो अभिसारी (निरंतर भिन्न) या गुणांक b और विवेचक के मान, b दोनों पर निर्भर करता है² − 4c.

यदि b = 0 सामान्य निरंतर अंश समाधान पूरी तरह से भिन्न है; अभिसरण 0 और के बीच वैकल्पिक होते हैं $\infty$. यदि b ≠ 0 हम तीन स्थितियों में भेद करते हैं।

1. यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो अंश दोलन द्वारा विचलन करता है, जिसका अर्थ है कि इसके अभिसरण एक नियमित या अराजक फैशन में इधर-उधर भटकते हैं, कभी भी एक सीमित सीमा तक नहीं पहुँचते।
2. यदि विविक्तकर शून्य है तो अंश बहुलता दो के एकल मूल में परिवर्तित हो जाता है।
3. यदि विवेचक सकारात्मक है तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, और निरंतर अंश इनमें से बड़े (पूर्ण मूल्य में) में परिवर्तित हो जाता है। अभिसरण की दर दो जड़ों के बीच के अनुपात के निरपेक्ष मूल्य पर निर्भर करती है: वह अनुपात एकता से जितना दूर होता है, उतनी ही तेजी से निरंतर भिन्न परिवर्तित होता है।

जब वास्तविक गुणांकों वाला मोनिक द्विघात समीकरण x के रूप का हो² = c, ऊपर वर्णित 'सामान्य' समाधान बेकार है क्योंकि शून्य से विभाजन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। जब तक सी सकारात्मक है, हालांकि, समीकरण को दोनों तरफ से एक वर्ग संख्या घटाकर और दिखाए गए रेखाओं के साथ आगे बढ़ना हमेशा संभव होता है √2 के ऊपर। प्रतीकों में, अगर

$x^{2}=c\qquad (c>0)$

बस कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या पी चुनें जैसे कि

$p^{2}<c.$

फिर सीधे हेरफेर से हम प्राप्त करते हैं

${\begin{aligned}x^{2}-p^{2}&=c-p^{2}\\(x+p)(x-p)&=c-p^{2}\\x-p&={\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\x&=p+{\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+\left(p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+x}}\right)}}&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+\ddots \,}}}}}}\,\end{aligned}}$

और यह परिवर्तित निरंतर अंश अभिसरित होना चाहिए क्योंकि सभी आंशिक अंश और आंशिक भाजक धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

जटिल गुणांक

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय द्वारा, यदि मोनिक बहुपद समीकरण x² + bx + c = 0 में जटिल गुणांक हैं, इसमें दो (आवश्यक रूप से भिन्न नहीं) जटिल जड़ें होनी चाहिए। दुर्भाग्य से, विवेचक बी² − 4c इस स्थिति में उतना उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह एक सम्मिश्र संख्या हो सकती है। फिर भी, सामान्य प्रमेय का एक संशोधित संस्करण सिद्ध किया जा सकता है।

जटिल गुणांकों के साथ सामान्य मोनिक द्विघात समीकरण का निरंतर अंश समाधान

$x^{2}+bx+c=0\qquad (b\neq 0)$

के द्वारा दिया गया

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

अभिसरण (निरंतर अंश) या विविक्तकर के मूल्य के आधार पर नहीं, ख² − 4c, और इसकी दो जड़ों के सापेक्ष परिमाण पर।

आर द्वारा दो जड़ों को नकारना₁ और आर₂ हम तीन मामलों में अंतर करते हैं।

1. यदि विविक्तकर शून्य है तो अंश बहुलता दो के एकल मूल में परिवर्तित हो जाता है।
2. यदि विवेचक शून्य नहीं है, और |r₁| ≠ | आर₂|, निरंतर अंश अधिकतम मॉड्यूलस की जड़ में परिवर्तित हो जाता है (यानी, अधिक पूर्ण मूल्य वाले रूट में)।
3. यदि विवेचक शून्य नहीं है, और |r₁| = | आर₂|, दोलन द्वारा निरंतर अंश विचलन करता है।

मामले 2 में, अभिसरण की दर दो जड़ों के बीच के अनुपात के निरपेक्ष मान पर निर्भर करती है: वह अनुपात एकता से जितना दूर होता है, उतनी ही तेज़ी से निरंतर अंश अभिसरण करता है।

जटिल गुणांक वाले मोनिक द्विघात समीकरणों का यह सामान्य समाधान आमतौर पर जड़ों के लिए तर्कसंगत सन्निकटन प्राप्त करने के लिए बहुत उपयोगी नहीं होता है, क्योंकि मानदंड गोलाकार होते हैं (अर्थात, दो जड़ों के सापेक्ष परिमाण ज्ञात होने चाहिए इससे पहले कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकें कि अंश अभिसरण करता है , अधिकतर मामलों में)। लेकिन यह समाधान जटिल तत्वों के साथ निरंतर अंशों के लिए अभिसरण समस्या के आगे के विश्लेषण में उपयोगी अनुप्रयोग पाता है।

यह भी देखें

• लुकास अनुक्रम
• वर्गमूल की गणना करने की विधियाँ
• पेल का समीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• एक बहुपद की डिग्री
• अंक शास्त्र
• वर्गमूल की गणना के तरीके
• वर्ग पूरा करना
• अभिसरण (निरंतर अंश)
• लुकास अनुक्रम
• अनुमानित (निरंतर अंश)
• ज्यामितीय अनुक्रम
• सेट (गणित)
• सार बीजगणित
• इकाई (अंगूठी सिद्धांत)
• बीजगणितीय संख्या क्षेत्र
• गुणक
• विभेदक
• बीजगणित का मौलिक प्रमेय

संदर्भ

• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8