अभिन्न समीकरण

For equations of integer unknowns, see Diophantine equation.

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन (गणित) एक समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है।गणितीय संकेतन में, अभिन्न समीकरणों को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$

कहां $I^{i}(u)$ यू पर अभिनय करने वाला एक अभिन्न संकारक है।इसलिए, अभिन्न समीकरणों को अंतर समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहां डेरिवेटिव वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में इंटीग्रल होते हैं।उपरोक्त सामान्य अभिन्न समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना एक अंतर समीकरण के सामान्य रूप से देखी जा सकती है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$

कहां $D^{i}(u)$ आदेश i के एक अंतर ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है।अंतर और अभिन्न समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी अक्सर दोनों के बीच परिवर्तित हो सकता है।उदाहरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या को हल करने का एक तरीका अंतर समीकरण को उसकी सीमा शर्तों के साथ एक अभिन्न समीकरण में परिवर्तित करना और अभिन्न समीकरण को हल करना है।इसके अलावा, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरण जैसे भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरण | मैक्सवेल के समीकरणों में अक्सर एक एनालॉग इंटीग्रल और डिफरेंशियल फॉर्म होता है। उदाहरण के लिए, ग्रीन का कार्य और फ्रेडहोम सिद्धांत भी देखें।

वर्गीकरण और सिंहावलोकन

अभिन्न समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण विधियां मौजूद हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच भेद शामिल हैं; सजातीय और विषम; फ्रेडहोम और वोल्टेरा; पहला क्रम, दूसरा क्रम और तीसरा क्रम; और एकवचन और नियमित अभिन्न समीकरण।ये भेद आम तौर पर कुछ मौलिक संपत्ति पर आधारित होते हैं जैसे कि समीकरण की रैखिकता या समीकरण की एकरूपता पर विचार करना।इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

रैखिकता

Linear: एक समाकल समीकरण रैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं।इसलिए, एक रेखीय समीकरण का एक उदाहरण होगा:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

नामकरण परिपाटी पर एक टिप्पणी के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फलन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फलन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और अक्सर कर्नेल कहा जाता है (इंटीग्रल ऑपरेटर) फ़ंक्शन, और iv) λ एक अज्ञात कारक या पैरामीटर है, जो रैखिक बीजगणित में eigenvalue के समान भूमिका निभाता है।

Nonlinear: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है।इसलिए, अरैखिक समीकरणों के उदाहरण उपरोक्त समीकरण होंगे यदि हमने यू(टी) को के साथ बदल दिया $u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$, जैसे कि:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt$$

कुछ प्रकार के अरैखिक समाकल समीकरणों के विशिष्ट नाम होते हैं।ऐसे समीकरणों का चयन है:

• दूसरी तरह के नॉनलाइनियर वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,$ कहांFएक ज्ञात कार्य है।* दूसरी तरह के नॉनलाइनियर फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)$.* दूसरी तरह के एक विशेष प्रकार के अरैखिक फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण फॉर्म द्वारा दिए गए हैं: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy$, जिसके दो विशेष उपवर्ग हैं:** उरीसोहन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy$.** हैमरस्टीन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy$.

हैमरस्टीन समीकरण और हैमरस्टीन समीकरण के विभिन्न संस्करणों के बारे में अधिक जानकारी नीचे हैमरस्टीन अनुभाग में पाई जा सकती है।

अज्ञात समीकरण का स्थान

First kind: एक समाकल समीकरण प्रथम प्रकार का समाकल समीकरण कहलाता है यदि अज्ञात फलन केवल समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है।एक उदाहरण होगा: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.

Second kind: एक समाकल समीकरण दूसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहलाता है यदि अज्ञात फलन समाकल के बाहर भी प्रकट होता है।

Third kind: एक समाकल समीकरण को तीसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित रूप का एक रैखिक समाकल समीकरण हो:

$$g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)$$

जहाँ g(t) अंतराल में कम से कम एक बार गायब हो जाता है [a,b] या जहां जी (टी) (ए, बी) में सीमित बिंदुओं पर गायब हो जाता है।

एकीकरण की सीमा

फ्रेडहोम: एक अभिन्न समीकरण को फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण कहा जाता है यदि सभी इंटीग्रल में एकीकरण की दोनों सीमाएं निश्चित और स्थिर हैं।एक उदाहरण यह होगा कि अभिन्न को एक निश्चित उपसमुच्चय पर ले लिया जाता है $\mathbb {R} ^{n}$.इसलिए, निम्नलिखित दो उदाहरण फ्रेडहोम समीकरण हैं:* पहले प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.

• दूसरे प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

ध्यान दें कि हम अभिन्न समीकरणों को अभिव्यक्त कर सकते हैं जैसे कि ऊपर वाले भी अभिन्न ऑपरेटर नोटेशन का उपयोग कर रहे हैं।उदाहरण के लिए, हम फ्रेडहोम इंटीग्रल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.$$

इसलिए, दूसरी तरह के फ्रेडहोम समीकरण को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).$$

Volterra: एक समाकल समीकरण को वोल्टेरा समाकल समीकरण कहा जाता है यदि समाकलन की कम से कम एक सीमा एक चर हो।इसलिए, इंटीग्रल को इंटीग्रेशन के वेरिएबल के साथ अलग-अलग डोमेन पर ले लिया जाता है।Volterra समीकरणों के उदाहरण होंगे:

• पहली तरह का वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• दूसरी तरह का वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

फ्रेडहोम समीकरणों की तरह, हम फिर से ऑपरेटर संकेतन को अपना सकते हैं। इस प्रकार, हम रैखिक Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, निम्नलिखित नुसार:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

कहां $t\in I=[t_{0},T]$ और के (टी, एस) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल पर निरंतर होना चाहिए $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$.इसलिए, पहली तरह के वोल्टेरा अभिन्न समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

साथ $g(0)=0$. इसके अलावा, एक अज्ञात समारोह के लिए दूसरी तरह का एक रैखिक Volterra अभिन्न समीकरण $y(t)$ और एक दिया गया निरंतर कार्य $g(t)$ अंतराल पर $I$ कहां $t\in I$:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).$$

Volterra-Fredholm: उच्च आयामों में, फ्रेडहोम-वोल्तेरा अभिन्न समीकरण (VFIE) जैसे अभिन्न समीकरण मौजूद हैं।एक VFIE का रूप है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

साथ $x\in \Omega$ और $\Omega$ में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के नाते $\mathbb {R} ^{d}$ टुकड़े की चिकनी सीमा के साथ।फ्रेडहोम-वोल्तेरा इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ की तरह परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ध्यान दें कि इस पूरे लेख में, समाकल की सीमाएँ आमतौर पर अंतराल के रूप में लिखी जाती हैं, यह मामला नहीं होना चाहिए।सामान्य तौर पर, अभिन्न समीकरणों को हमेशा अंतराल पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है $[a,b]=I$, लेकिन एक वक्र या सतह पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

एकरूपता

Homogenous: ज्ञात फ़ंक्शन होने पर एक अभिन्न समीकरण को समरूप कहा जाता है $f$ समान रूप से शून्य है।

Inhomogenous: ज्ञात फ़ंक्शन होने पर एक अभिन्न समीकरण को समरूप कहा जाता है $f$ अशून्य है।

नियमितता

Regular: एक अभिन्न समीकरण को नियमित कहा जाता है यदि उपयोग किए गए अभिन्न सभी उचित अभिन्न हैं।

Singular या weakly singular: एक समाकल समीकरण को एकवचन या दुर्बल रूप से एकवचन कहा जाता है यदि समाकल एक अनुचित समाकल है।यह या तो हो सकता है क्योंकि एकीकरण की कम से कम एक सीमा अनंत है या कर्नेल अनबाउंड हो जाता है, जिसका अर्थ है अनंत, अंतराल या डोमेन में कम से कम एक बिंदु पर जिस पर एकीकृत किया जा रहा है।

उदाहरणों में शामिल:

$$F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx$$

$$L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx$$

ये दो अभिन्न समीकरण क्रमशः यू (एक्स) के फूरियर ट्रांसफॉर्म और लाप्लास ट्रांसफॉर्म हैं, दोनों कर्नेल के साथ पहली तरह के फ्रेडहोम समीकरण हैं। $K(x,t)=e^{-i\lambda x}$ और $K(x,t)=e^{-\lambda x}$, क्रमश।एकवचन समाकल समीकरण का एक और उदाहरण जिसमें कर्नेल अबाधित हो जाता है:

$$x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.$$

यह समीकरण पहले प्रकार के अधिक सामान्य कमजोर एकवचन वोल्टेरा अभिन्न समीकरण का एक विशेष रूप है, जिसे एबेल का अभिन्न समीकरण कहा जाता है:

$$g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy$$

Strongly singular: एक समाकल समीकरण प्रबल रूप से एकवचन कहलाता है यदि समाकल को एक विशेष नियमितीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, कौशी प्रमुख मूल्य द्वारा।

इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण

एक इंटीग्रो-डिफरेंशियल इक्वेशन | इंटीग्रो-डिफरेंशियल इक्वेशन, जैसा कि नाम से पता चलता है, डिफरेंशियल और इंटीग्रल ऑपरेटर्स को एक समीकरण में जोड़ता है।Volterra पूर्णांक-विभेदक समीकरण और विलंब प्रकार के समीकरण सहित कई संस्करण हैं, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है।उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है Volterra ऑपरेटर का उपयोग करते हुए, Volterra पूर्णांक-विभेदक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)$$

देरी की समस्याओं के लिए, हम देरी इंटीग्रल ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं $({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)$ जैसा:

$$({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds$$

जहां विलंब पूर्णांक-विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).$$

वोल्टेरा अभिन्न समीकरण

=== 1डी === में विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय समीकरण द्वारा दिए गए पहले प्रकार के रैखिक वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का समाधान:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।याद रखें कि Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

कहां $t\in I=[t_{0},T]$ और के (टी, एस) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल पर निरंतर होना चाहिए $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$.

Theorem — Assume that $K$ satisfies $K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)$ and $\vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0$ for some $t\in I.$ Then for any $g\in C^{1}(I)$ with $g(0)=0$ the integral equation above has a unique solution in $y\in C(I)$.

समीकरण द्वारा दिए गए दूसरे प्रकार के रैखिक वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का समाधान:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)$$

निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

Theorem — Let $K\in C(D)$ and let $R$ denote the resolvent Kernel associated with $K$. Then, for any $g\in C(I)$ , the second-kind Volterra integral equation has a unique solution $y\in C(I)$ and this solution is given by: $y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$.

Volterra अभिन्न समीकरण $\mathbb {R} ^{2}$

दूसरी तरह का वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

कहां $(x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]$, $g\in C(\Omega )$, $K\in C(D_{2})$ और $D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}$.इस अभिन्न समीकरण का एक अनूठा समाधान है $u\in C(\Omega )$ के द्वारा दिया गया:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

कहां $R$ K का विलायक कर्नेल है।

फ्रेडहोम-वोल्तेरा समीकरणों की विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक VFIE का रूप है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

साथ $x\in \Omega$ और $\Omega$ में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के नाते $\mathbb {R} ^{d}$ टुकड़े की चिकनी सीमा के साथ।फ्रेडहोम-वोल्तेरा इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ की तरह परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ऐसे मामले में जहां कर्नेल K को इस रूप में लिखा जा सकता है $K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )$, K को सकारात्मक मेमोरी कर्नेल कहा जाता है।इसे ध्यान में रखते हुए, अब हम निम्नलिखित प्रमेय का परिचय दे सकते हैं:

Theorem — If the linear VFIE given by: $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ with $(t,x)\in I\times \Omega$ satisfies the following conditions:

• $g\in C(I\times \Omega )$, and
• $K\in C(D\times \Omega ^{2})$ where $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}$ and $\Omega ^{2}=\Omega \times \Omega$

Then the VFIE has a unique solution $u\in C(I\times \Omega )$ given by $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ where $R\in C(D\times \Omega ^{2})$ is called the Resolvent Kernel and is given by the limit of the Neumann series for the Kernel $K$ and solves the resolvent equations: $R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv$

विशेष Volterra समीकरण

एक विशेष प्रकार का वोल्टेरा समीकरण जो विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, उसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)$$

कहां $t\in I=[t_{0},T]$फलन g(t) अंतराल पर सतत है $I$, और Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर $(V_{\alpha }t)$ द्वारा दिया गया है:

$$(V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds$$

साथ $(0\leq \alpha <1)$.

आईवीपी को अभिन्न समीकरणों में परिवर्तित करना

निम्नलिखित खंड में, हम एक प्रारंभिक मूल्य समस्या (IVP) को एक अभिन्न समीकरण में बदलने का उदाहरण देते हैं। ऐसा करने के लिए कई प्रेरणाएँ हैं, उनमें से यह है कि अभिन्न समीकरण अक्सर अधिक आसानी से हल करने योग्य हो सकते हैं और अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेयों को साबित करने के लिए अधिक उपयुक्त हैं।

निम्नलिखित उदाहरण वज़वाज़ ने अपनी पुस्तक के पृष्ठ 1 और 2 पर प्रदान किया था।हम समीकरण द्वारा दिए गए IVP की जांच करते हैं:

$$u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0$$

और प्रारंभिक स्थिति:

$$u(0)=1$$

यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं, तो हम पाते हैं:

$$\int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

और कलन के मौलिक प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं:

$$u(x)-u(1)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें अभिन्न समीकरण मिलता है:

$$u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

जो फॉर्म का वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण है:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

जहाँ K(x,t) को कर्नेल कहा जाता है और 2t के बराबर है, और f(x)=1।

अभिन्न समीकरणों के लिए पावर श्रृंखला समाधान

See also: Liouville–Neumann series

कई मामलों में, यदि अभिन्न समीकरण का कर्नेल रूप का है K(xt) और मेलिन का परिवर्तन K(t) मौजूद है, हम अभिन्न समीकरण का समाधान पा सकते हैं

$g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)\,f(t)\,dt$

एक शक्ति श्रृंखला के रूप में

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}$

कहां

$g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }K(t)\,t^{n}\,dt$

हैं Z- समारोह का परिवर्तन g(s), और M(n + 1) कर्नेल का मेलिन रूपांतरण है।

संख्यात्मक समाधान

यह ध्यान देने योग्य है कि अभिन्न समीकरणों का अक्सर विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है, और उन्हें संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। इसका एक उदाहरण इलेक्ट्रोमैग्नेटिक स्कैटरिंग समस्या में मनमाने आकार की वस्तु पर विद्युत-क्षेत्र अभिन्न समीकरण (EFIE) या चुंबकीय-क्षेत्र अभिन्न समीकरण (MFIE) का मूल्यांकन करना है।

संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक विधि के लिए आवश्यक है कि चरों का विवेचन किया जाए और एक चतुर्भुज नियम द्वारा अभिन्न को प्रतिस्थापित किया जाए

$\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.$

फिर हमारे पास एक सिस्टम है n समीकरण और n चर। इसे हल करने पर हमें का मान प्राप्त होता है n चर

$u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).$

आइगेनवैल्यू समीकरणों के सामान्यीकरण के रूप में इंटीग्रल समीकरण

Further information: Fredholm theory

कुछ सजातीय रैखिक अभिन्न समीकरणों को आइगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस की सातत्य सीमा के रूप में देखा जा सकता है। सूचकांक अंकन का उपयोग करते हुए, एक आइगेनवैल्यू समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}$

कहां M = [M_i,j] एक मैट्रिक्स है, v इसके eigenvectors में से एक है, और λ संबंधित आइगेनवैल्यू है।

सातत्य सीमा लेना, अर्थात असतत सूचकांकों को बदलना i और j निरंतर चर के साथ x और y, पैदावार

$\int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),$

जहां योग समाप्त हो गया j एक अभिन्न ओवर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है y और मैट्रिक्स M और वेक्टर v कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है K(x, y) और eigenfunction φ(y). (इंटीग्रल पर सीमाएं तय की गई हैं, समतुल्य रूप से योग की सीमा के अनुरूप j.) यह दूसरे प्रकार का एक रैखिक सजातीय फ्रेडहोम समीकरण देता है।

सामान्य रूप में, K(x, y) सख्त अर्थों में एक कार्य के बजाय एक वितरण (गणित) हो सकता है। यदि वितरण K केवल बिंदु पर समर्थन है x = y, तब समाकल समीकरण एक आइगेनफंक्शन में परिवर्तित हो जाता है।

सामान्य तौर पर, वोल्तेरा और फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण एकल अंतर समीकरण से उत्पन्न हो सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसके समाधान के डोमेन की सीमा पर किस तरह की शर्तें लागू होती हैं।

वीनर-हॉप इंटीग्रल समीकरण

Main article: Wiener–Hopf method

$$y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .$$

मूल रूप से, इस तरह के समीकरणों का अध्ययन रेडिएटिव ट्रांसफर में समस्याओं के संबंध में किया गया था, और हाल ही में, वे प्लानर समस्याओं के लिए सीमा अभिन्न समीकरणों के समाधान से संबंधित हैं, जिसमें सीमा केवल टुकड़े-टुकड़े चिकनी है।

हैमरस्टीन समीकरण

एक हैमरस्टीन समीकरण फॉर्म का एक गैर-रैखिक प्रथम प्रकार का वोल्टेरा अभिन्न समीकरण है:

$$g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.$$

कुछ निश्चित नियमितता शर्तों के तहत, समीकरण दूसरे प्रकार के अंतर्निहित वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण के बराबर है:

$$G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

कहां:

$$g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.$$

हालांकि समीकरण को ऑपरेटर के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो निम्नलिखित ऑपरेटर की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसे नॉनलाइनियर वोल्टेरा-हैमरस्टीन ऑपरेटर कहा जाता है:

$$({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

यहां $G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक सुचारू कार्य है जबकि कर्नेल K निरंतर हो सकता है, अर्थात बंधा हुआ, या कमजोर रूप से एकवचन।संबंधित दूसरे प्रकार के वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण को दूसरे प्रकार का वोल्टेरा-हैमरस्टीन इंटीग्रल इक्वेशन कहा जाता है, या संक्षेप में हैमरस्टीन समीकरण को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)$$

कुछ अनुप्रयोगों में, फ़ंक्शन G की गैर-रैखिकता को केवल सेमी-लीनियर के रूप में माना जा सकता है:

$$G(s,y)=y+H(s,y)$$

इस मामले में, हम निम्नलिखित अर्ध-रैखिक Volterra अभिन्न समीकरण:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds$$

इस रूप में, हम अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन अभिन्न समीकरण के लिए एक अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय बता सकते हैं।

Theorem — Suppose that the semi-linear Hammerstein equation has a unique solution $y\in C(I)$ and $H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ be a Lipschitz continuous function. Then the solution of this eqution may be written in the form: $y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds$ where $y_{l}(t)$ denotes the unique solution of the linear part of the equation above and is given by: $y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ with $R(t,s)$ denoting the resolvent kernel.

हम हैमरस्टीन समीकरण को एक अलग ऑपरेटर का उपयोग करके भी लिख सकते हैं जिसे निएमित्ज़की ऑपरेटर या प्रतिस्थापन ऑपरेटर कहा जाता है। ${\mathcal {N}}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))$$

इसके बारे में और अधिक इस पुस्तक के पृष्ठ 75 पर पाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

कई अनुप्रयोगों में इंटीग्रल समीकरण महत्वपूर्ण हैं। जिन समस्याओं में अभिन्न समीकरणों का सामना करना पड़ता है उनमें विकिरण स्थानांतरण, और एक स्ट्रिंग, झिल्ली, या एक्सल का दोलन शामिल है। दोलन संबंधी समस्याओं को अवकल समीकरणों के रूप में भी हल किया जा सकता है।

• जिवानांकिकी (खंडहर सिद्धांत)
• कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स
  • सीमा तत्व विधि
• उलटी समस्या
  • मार्चेंको समीकरण (उलटा बिखराव परिवर्तन)
• कूद प्रसार|जंप-डिफ्यूजन के तहत ऑप्शंस प्राइसिंग
• रेडिएटिव ट्रांसफर
• विस्कोलोच
• तरल यांत्रिकी

यह भी देखें

• अंतर समीकरण
• इंटीग्रो-डिफरेंशियल इक्वेशन
• बर्बाद सिद्धांत
• वोल्टेरा अभिन्न समीकरण

ग्रन्थसूची

• Agarwal, Ravi P., and Donal O'Regan. Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Method and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, 2000.
• Brunner, Hermann. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations. Cambridge University Press, 2004.
• Burton, T. A. Volterra Integral and Differential Equations. Elsevier, 2005.
• Chapter 7 It Mod 02-14-05 - Ira A. Fulton College of Engineering. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf.
• Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge University Press, 2008.
• Hackbusch, Wolfgang. Integral Equations Theory and Numerical Treatment. Birkhäuser, 1995.
• Hochstadt, Harry. Integral Equations. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989.
• “Integral Equation.” From Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html.
• “Integral Equation.” Integral Equation - Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integral_equation.
• Jerri, Abdul J. Introduction to Integral Equations with Applications. Sampling Publishing, 2007.
• Pipkin, A. C. A Course on Integral Equations. Springer-Verlag, 1991.
• Polëiìanin A. D., and Alexander V. Manzhirov. Handbook of Integral Equations. Chapman & Hall/CRC, 2008.
• Wazwaz, Abdul-Majid. A First Course in Integral Equations. World Scientific, 2015.

आगे की पढाई

• Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• अभिन्न
• अभिन्न संचालिका
• कर्नेल (अभिन्न ऑपरेटर)
• लीनियर अलजेब्रा
• वोल्टेरा अभिन्न समीकरण
• मध्य परिवर्तन
• निरंतरता की सीमा
• कंपन
• विभेदक समीकरण
• उलटा प्रकीर्णन परिवर्तन
• viscoelasticity

बाहरी कड़ियाँ

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Integral equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Integral Equations (MIT OpenCourseWare)