रिक्त गुणनफल

For गैर-खाली उत्पाद जो शून्य के बराबर है, see शून्य-उत्पाद संपत्ति.

गणित में, एक रिक्त गुणनफल, या शून्य गुणनफल बिना किसी गुणनखण्ड के गुणा करने का परिणाम होता है। यह गुणनात्मक पहचान के बराबर सम्मेलन द्वारा है (यह मानते हुए कि प्रश्न में गुणन संक्रिया के लिए एक पहचान है), ठीक वैसे ही जैसे खाली योग - बिना किसी संख्या को जोड़ने का परिणाम - सम्मेलन शून्य, या योज्य पहचान द्वारा होता है। जब संख्याएँ निहित होती हैं, तो खाली गुणनफल एक हो जाता है।

अंकगणितीय परिचालनों पर चर्चा करते समय खाली उत्पाद शब्द का प्रयोग उपरोक्त अर्थ में किया जाता है। चूंकि, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में समुच्चय सिद्धान्त चौराहों श्रेणीबद्ध उत्पादों पर चर्चा करते समय कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग किया जाता है; इन पर नीचे चर्चा की गई है।

शून्य अंकगणितीय उत्पाद

परिभाषा

मान लीजिए a1, a2, a3, ... संख्याओं का एक क्रम है, और मान लीजिए

$P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}$

अनुक्रम के प्रथम m तत्वों का गुणनफल हो। फिर

$P_{m}=P_{m-1}a_{m}$

सभी के लिए m = 1, 2, ... कि हम परिपाटी का उपयोग करें $P_{0}=1$. दूसरे शब्दों में, बिना किसी कारक वाला उत्पाद एक का मूल्यांकन करता है।

शून्य कारकों के साथ "उत्पाद" की अनुमति देने से कई गणितीय सूत्रों में विचार किए जाने वाले स्थिति की संख्या कम हो जाती है। ऐसा "उत्पाद" प्रेरण प्रमाणों के साथ-साथ कलन विधि में एक प्राकृतिक प्रारंभिक बिंदु है।इन कारणों से, "खाली उत्पाद एक है" परिपाटी गणित और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में साधारण बात है।

खाली उत्पादों को परिभाषित करने की प्रासंगिकता

खाली गुणनफल की धारणा इसी कारण से उपयोगी है कि संख्या शून्य और रिक्त समुच्चय उपयोगी हैं: जबकि वे अधिक निर्बाध धारणाओं का प्रतिनिधित्व करते प्रतीत होते हैं, उनका अस्तित्व कई विषयों की बहुत छोटी गणितीय प्रस्तुति की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, खाली उत्पाद 0! = 1 (शून्य का भाज्य) और x⁰ = 1 टेलर श्रृंखला संकेतन को छोटा करता है| (जब x = 0 की चर्चा के लिए शून्य की घात शून्य देखें)। इसी प्रकार, यदि M एक n × n मैट्रिक्स है, तो M⁰ n × n पहचान मैट्रिक्स है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि रैखिक मानचित्र को शून्य बार लागू करने का वही प्रभाव होता है जो पहचान मानचित्र को लागू करने का होता है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि 1 से अधिक प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। चूंकि, यदि यदि हम केवल 0 या 1 कारकों वाले उत्पादों की अनुमति नहीं देते हैं, तो प्रमेय (और इसका प्रमाण) लंबा हो जाता है। गणित में खाली उत्पाद के उपयोग के अधिक उदाहरण द्विपद प्रमेय में पाए जा सकते हैं (जो मानता है और इसका अर्थ है कि x⁰ = 1 सभी x के लिए), स्टर्लिंग संख्या, समुच्चय सिद्धांत , द्विपद प्रकार, द्विपद श्रृंखला, अंतर संकारक और पोचममेर प्रतीक।

लघुगणक और घातांक

चूंकि लघुगणक उत्पादों को राशियों में मानचित्र करते हैं:

$\ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}$

वे खाली उत्पाद को एक खाली योग में मानचित्र करते हैं।

इसके विपरीत, घातीय फलन मानचित्र उत्पादों में योग करता है:

$e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}$

और खाली योग को एक खाली उत्पाद से मानचित्र करता है।

न्यूलरी कार्टेशियन उत्पाद

कार्टेशियन उत्पाद की सामान्य परिभाषा पर विचार करें:

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.$

यदि खाली है, तो एकमात्र ऐसा g खाली कार्य है $f_{\varnothing }$, जो कि अद्वितीय उपसमुच्चय है $\varnothing \times \varnothing$ वह एक कार्य है $\varnothing \to \varnothing$, अर्थात् खाली उपसमुच्चय $\varnothing$ (एकमात्र उपसमुच्चय जो $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$ है):

$\prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.$

इस प्रकार, बिना समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद की प्रमुखता एक है।

शायद अधिक परिचित n-टपल व्याख्या के अंतर्गत,

$\prod _{\varnothing }{}=\{()\},$

वह है, सिंगलटन समुच्चय जिसमें खाली टपल होता है। ध्यान दें कि दोनों अभ्यावेदन में खाली उत्पाद की प्रमुखता एक है - शून्य इनपुट से शून्य आउटपुट उत्पन्न करने के सभी तिथि की संख्या एक है।

अशक्त श्रेणीबद्ध उत्पाद

किसी भी श्रेणी में, एक खाली परिवार का उत्पाद उस श्रेणी का एक अंतिम वस्तु है। यह उत्पाद की सीमा परिभाषा का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। एक n-गुना श्रेणीबद्ध उत्पाद को n वस्तुओं के साथ दिए गए आरेख के संबंध में सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक खाली उत्पाद तब खाली श्रेणी के संबंध में सीमा द्वारा दिया जाता है, जो सम्मलित होने पर श्रेणी का टर्मिनल वस्तु होता है। यह परिभाषा ऊपर के रूप में परिणाम देने में कुशल है। उदाहरण के लिए, समुच्चय की श्रेणी में श्रेणीबद्ध उत्पाद सामान्य कार्टेशियन उत्पाद है, और टर्मिनल वस्तु एक सिंगलटन समुच्चय है। समूहों की श्रेणी में श्रेणीबद्ध उत्पाद समूहों का कार्टेशियन उत्पाद है, और टर्मिनल वस्तु तत्व वाला एक तुच्छ समूह है। रिक्त गुणनफल की सामान्य अंकगणितीय परिभाषा प्राप्त करने के लिए हमें परिमित समुच्चयों की श्रेणी में रिक्त गुणनफल के वर्गीकरण को लेना चाहिए।

वस्तुतः दोहरी, एक रिक्त फैमिली का प्रतिफल एक प्रारंभिक वस्तु है।

किसी दिए गए वर्ग में निरर्थक श्रेणीबद्ध उत्पाद या सह-उत्पाद सम्मलित नहीं हो सकते हैं; उदाहरण खेतों की श्रेणी में, न तो सम्मलित है।

तर्क

मानक तर्क संयोजन के संचालन को परिभाषित करता है, जो विधेय कलन में सार्वभौमिक परिमाणीकरण के लिए सामान्यीकृत है, और व्यापक रूप से तार्किक गुणन के रूप में जाना जाता है क्योंकि हम सरल रूप से एक के साथ सत्य और शून्य के साथ असत्य की पहचान करते हैं और हमारा संयोजन साधारण गुणक के रूप में व्यवहार करता है। गुणक में निविष्टियों की स्वेच्छाचारिता संख्या हो सकती है। शून्य इनपुट के स्तिथि में, हमारे पास खाली संयोजन है, जो समान रूप से सत्य के बराबर है।

यह तर्क में एक अन्य अवधारणा से संबंधित है, रिक्त सत्य, जो हमें बताता है कि वस्तुओं के रिक्त समुच्चय में कोई गुण हो सकता है। इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है कि संयोजन (सामान्य रूप से तर्क के हिस्से के रूप में) कम या बराबर एक के मूल्यों से संबंधित है। इसका अर्थ यह है कि संयोजन जितना लंबा होगा, शून्य के साथ समाप्त होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। संयोजन केवल प्रस्तावों की जांच करता है और शून्य असत्य देता है| जैसे ही प्रस्तावों में से एक असत्य का मूल्यांकन करता है। संयुक्त प्रस्तावों की संख्या कम करने से चेक पास करने और एक के साथ बने रहने की संभावना बढ़ जाती है। विशेष रूप से, यदि शून्य परीक्षण या सदस्य हैं, तो कोई भी विफल नहीं हो सकता है, इसलिए डिफ़ॉल्ट रूप से हमें हमेशा सफल होना चाहिए, भले ही किन प्रस्तावों या सदस्य गुणों का परीक्षण किया जाना हो।

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में

कई प्रोग्रामिंग भाषा, जैसे कि पायथन, संख्याओं की सूचियों की प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति की अनुमति देते हैं, और यहां तक ​​​​कि फलन जो मनमाने ढंग से मापदंडों की संख्या की अनुमति देते हैं। यदि ऐसी भाषा में कोई फ़ंक्शन है जो सूची में सभी संख्याओं के उत्पाद को लौटाता है, तो यह सामान्यतः इस प्रकार काम करता है:

>>> math.prod([2, 3, 5])
30
>>> math.prod([2, 3])
6
>>> math.prod([2])
2
>>> math.prod([])
1

(कृपया ध्यान दें: ठेस में उपलब्ध नहीं है गणित मॉड्यूल संस्करण 3.8 से पहले।)

यह सम्मेलन विशेष स्तिथि को कोड करने से बचने में मदद करता है जैसे सूची की लंबाई 1 है या यदि विशेष स्तिथि के रूप में सूची की लंबाई शून्य है।

गुणा एक इंफिक्स नोटेशन ऑपरेटर है और इसलिए एक बाइनरी ऑपरेटर है, जो खाली उत्पाद के अंकन को जटिल बनाता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषा विविध फ़ंक्शंस को लागू करके इसे सँभाला जाता है| उदाहरण के लिए, लिस्प प्रोग्रामिंग भाषाओं पूरी तरह से कोष्ठकबद्ध उपसर्ग अंकन, अशक्त कार्यों के लिए एक प्राकृतिक संकेतन को जन्म देता है, एस-अभिव्यक्ति शून्य कार्यों के लिए एक प्राकृतिक संकेतन को जन्म देती है|

(* 2 2 2); 8 का मूल्यांकन करता है|
(* 2 2); 4 का मूल्यांकन करता है|
(* 2); 2 का मूल्यांकन करता है|
(*); 1 का मूल्यांकन करता है|

यह भी देखें

• पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन
• खाली समारोह

बाहरी संबंध

• PlanetMath article on the empty product