स्टाइनर इनलिप्स

स्टेनर इनेलिप्स। मार्डन प्रमेय के अनुसार शीर्षों वाला त्रिभुज दिया है (1, 7), (7, 5), (3, 1)दीर्घवृत्त का फोकस (ज्यामिति) हैं (3, 5) और (13/3, 11/3), जबसे ${\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)(3+5i-x)\end{aligned}}$

ज्यामिति में, स्टेनर इनलिप्स, त्रिभुज का मध्यबिंदु दीर्घवृत्त, या मध्यबिंदु दीर्घवृत्त त्रिभुज में खुदा हुआ अद्वितीय दीर्घवृत्त होता है और उनके मध्यबिंदुओं पर भुजाओं को स्पर्श करता है। यह एक अंडाकार का उदाहरण है। एक त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त और मैंडार्ट इनलिप्से की तुलना करके अन्य असंयम हैं जो पक्षों के स्पर्शरेखा हैं, लेकिन मध्यबिंदुओं पर नहीं जब तक कि त्रिभुज समबाहु त्रिभुज न हो। स्टेनर इनलिप्स का श्रेय डोर्री को जाता है जैकब स्टेनर को, और इसकी विशिष्टता का एक प्रमाण डैन कलमन द्वारा दिया गया है।

स्टाइनर इनलिप्स स्टाइनर सर्कमलिप्स के विपरीत है, जिसे केवल स्टाइनर दीर्घवृत्त भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के कोने से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है।

परिभाषा और गुण

परिभाषा

एक दीर्घवृत्त जो त्रिभुज की भुजाओं को स्पर्श करता है △ABC इसके मध्यबिंदुओं पर $M_{1},M_{2},M_{3}$ का स्टेनर इनलिप्स कहा जाता है △ABC.

  Arbitrary triangle △ABC

  Steiner inellipse

  Steiner ellipse

  Major and minor axes

  Equilateral triangle △ABC

  Steiner inellipse

  Steiner ellipse

गुण:

एक मनमाना त्रिकोण के लिए △ABC मध्यबिंदुओं के साथ $M_{1},M_{2},M_{3}$ इसके पक्षों के निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
a) बिल्कुल एक स्टेनर इनलिप्स मौजूद है।
b) स्टेनर इनलिप्स का केंद्र केन्द्रक है S का △ABC
c1) त्रिभुज $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ समान केन्द्रक होता है S और स्टेनर इनलिप्स △ABC त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त है $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}.$
c2) त्रिभुज का स्टेनर इनलिप्स स्केल्ड स्टेनर एलिप्स है जिसका स्केलिंग फैक्टर 1/2 है और सेंट्रोइड केंद्र है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों की विलक्षणता (गणित) समान है, समान हैं।
d) स्टेनर इनलिप्स का क्षेत्रफल है ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$-त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुणा।
e) स्टाइनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी दीर्घवृत्तों में सबसे अधिक है।

सबूत

गुण a), b), c) के प्रमाण एक affine मानचित्रण के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज की एक affine छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदुओं पर और सेंट्रोइड्स पर सेंट्रोइड्स पर मैप किया जाता है। दीर्घवृत्त के केंद्र को उसकी छवि के केंद्र पर मैप किया जाता है।
इसलिए गुणों को साबित करने के लिए पर्याप्त है a),b),c) एक समबाहु त्रिभुज के लिए:
a) किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए एक त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त होते हैं। यह अपने मध्यबिंदुओं पर पक्षों को छूता है। समान गुणों वाला कोई अन्य (गैर-डीजेनरेट) शांकव खंड नहीं है, क्योंकि एक शंकु खंड 5 बिंदुओं/स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्धारित होता है।
बी) एक साधारण गणना द्वारा।
c) परिवृत्त को एक स्केलिंग द्वारा मैप किया जाता है, कारक 1/2 और केन्द्रक को केंद्र के रूप में, अंतःवृत्त पर। सनकीपन एक अपरिवर्तनीय है।
डी) क्षेत्रों का अनुपात परिवर्तन को प्रभावित करने के लिए अपरिवर्तनीय है। तो समबाहु त्रिभुज के लिए अनुपात की गणना की जा सकती है।
ई) सबसे बड़े क्षेत्र के साथ Inellipse#Inellipse देखें।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और अर्ध-अक्ष

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:

• क्योंकि एक त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त △ABC एक स्केल्ड स्टाइनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) स्टेनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय निरूपण से प्राप्त एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है#पैरामीट्रिक निरूपण और समीकरण:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .$

• स्टेनर इनलिप्स के 4 शीर्ष होते हैं

${\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),$

कहां t₀ का समाधान है

$\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad$ साथ $\quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .$

अर्ध-अक्ष:

• संक्षेप के साथ

${\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}$

अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष|सेमी-एक्सिस के लिए एक मिलता है a, b (कहां a > b):

${\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}$

• रैखिक विलक्षणता c स्टेनर इनलिप्स का है

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .$

त्रिरेखीय समीकरण

पार्श्व लंबाई वाले त्रिभुज के लिए ट्रिलिनियर निर्देशांक में स्टेनर इनलिप्स का समीकरण a, b, c (इन मापदंडों के साथ पहले की तुलना में एक अलग अर्थ है) है:$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0$ कहां x लंबाई के किनारे से एक बिंदु की दूरी का एक मनमाना सकारात्मक स्थिरांक है a, और इसी तरह के लिए b और c समान गुणक स्थिरांक के साथ।

अन्य गुण

भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों की लंबाई a, b, c हैं

${\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},$

कहां

$Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.$

मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,यदि त्रिभुज के तीन वर्टेक्स (ज्यामिति) जटिल संख्या बहुपद हैं # एक घन बहुपद के बहुपद समीकरणों को हल करना, तो स्टेनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं।

स्टेनर इनलिप्स की प्रमुख धुरी शीर्षों के लिए डेमिंग प्रतिगमन है। एक त्रिकोण के केंद्रक और पहले और दूसरे फर्मेट बिंदुओं को निरूपित करें $G,F_{+},F_{-}$ क्रमश। त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष का आंतरिक द्विभाजक है $\angle F_{+}GF_{-}.$ अक्षों की लम्बाई हैं $|GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;$ अर्थात्, फर्मेट की दूरियों का योग और अंतर केन्द्रक से इंगित करता है। एक त्रिकोण के स्टाइनर इनलिप्स की कुल्हाड़ियाँ उसके कीपर्ट परवलय के लिए स्पर्शरेखा हैं, अद्वितीय परवलय जो त्रिभुज के किनारों पर स्पर्शरेखा है और इसकी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) के रूप में यूलर रेखा है। एक त्रिकोण के स्टाइनर इनलिप्स का फॉसी इनेलिप्स के प्रमुख अक्ष के चौराहे हैं और छोटे अक्ष पर केंद्र के साथ चक्र और फर्मेट बिंदुओं के माध्यम से जा रहे हैं। जैसा कि किसी त्रिभुज में खुदा हुआ कोई दीर्घवृत्त होता है △ABC, फोकस होने दें P और Q अपने पास

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

सामान्यीकरण

त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स को सामान्यीकृत किया जा सकता है n- गुलजार: कुछ n-गोंन्स में एक आंतरिक दीर्घवृत्त होता है जो प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा होता है। मार्डन की प्रमेय अभी भी लागू होती है: स्टाइनर इनलिप्स की नाभि बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं जिनके शून्य बहुपद के शीर्ष हैं n-गॉन।