हेविसाइड चरण फलन

Heaviside step
The Heaviside step function, using the half-maximum convention
General information
सामान्य परिभाषा	$$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}$$
आवेदन के क्षेत्र	Operational calculus

Heaviside Step Function, या Unit Step Function, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है H या θ (लेकिन कभी कभी u, 1 या 𝟙), एक कदम फ़ंक्शन है, जिसका नाम ओलिवर हेविसाइड (1850-1925) के नाम पर रखा गया है, जिसका मान नकारात्मक तर्कों के लिए 0 (संख्या) और सकारात्मक तर्कों के लिए 1 (संख्या) है।46>Zhang, Weihong; Zhou, Ying (2021). "Level-set functions and parametric functions". संरचनात्मक अनुकूलन के लिए सुविधा-चालित विधि. Elsevier. pp. 9–46. doi:10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x. हेविसाइड फ़ंक्शन, जिसे हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन भी कहा जाता है, एक असंतोषजनक फ़ंक्शन है।जैसा कि अंजीर में चित्रित किया गया है। 2.13, यह नकारात्मक इनपुट के लिए शून्य और एक नॉनगेटिव इनपुट के लिए एक है।</ref> यह चरण कार्यों के सामान्य वर्ग का उदाहरण है, जिनमें से सभी को इस एक के अनुवादों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फ़ंक्शन को मूल रूप से अंतर समीकरण के समाधान के लिए परिचालन पथरी में विकसित किया गया था, जहां यह संकेत का प्रतिनिधित्व करता है जो एक निर्दिष्ट समय पर स्विच करता है और अनिश्चित काल के लिए स्विच करता है।ओलिवर हेविसाइड, जिन्होंने टेलीग्राफिक संचार के विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में परिचालन कैलकुलस विकसित किया, के रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व किया 1।

Heaviside फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है:

• एक टुकड़ा फ़ंक्शन:
  $$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}$$
• इवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करना:
  $$H(x):=[x>0]$$
• एक संकेतक समारोह:
  $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$$
• रैंप समारोह का व्युत्पन्न:
  $$H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$$

DIRAC डेल्टा फ़ंक्शन हेविसाइड फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

$$\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)$$

इसलिए हेविसाइड फ़ंक्शन को DIRAC डेल्टा फ़ंक्शन का अभिन्न माना जा सकता है।यह कभी -कभी लिखा जाता है

$$H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds$$

हालांकि यह विस्तार नहीं हो सकता है (या यहां तक कि समझ में नहीं है) x = 0, इस बात पर निर्भर करता है कि किस औपचारिकता का उपयोग किया जाता है δ।इस संदर्भ में, हेविसाइड फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन है जो लगभग निश्चित रूप से 0. (निरंतर यादृच्छिक चर देखें) है।

परिचालन पथरी में, उपयोगी उत्तर शायद ही कभी इस बात पर निर्भर करते हैं कि किस मूल्य का उपयोग किया जाता है H(0), जबसे H ज्यादातर एक वितरण (गणित) के रूप में उपयोग किया जाता है।हालांकि, विकल्प कार्यात्मक विश्लेषण और खेल सिद्धांत में कुछ महत्वपूर्ण परिणाम हो सकते हैं, जहां निरंतरता के अधिक सामान्य रूपों पर विचार किया जाता है।कुछ सामान्य विकल्पों को #Zero तर्क देखा जा सकता है।

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के लिए सन्निकटन जैव रसायन और तंत्रिका विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं, जहां लॉजिस्टिक फ़ंक्शन स्टेप फ़ंक्शंस (जैसे कि हिल इक्वेशन (जीव रसायन) और माइकलिस -मेंटेन कैनेटीक्स।रासायनिक संकेतों के जवाब में।

विश्लेषणात्मक सन्निकटन

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
के रूप में चरण फ़ंक्शन के पास पहुंचता है k → ∞।

चरण फ़ंक्शन के लिए चिकनी फ़ंक्शन सन्निकटन के लिए, कोई लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का उपयोग कर सकता है

$$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$$

जहां बड़ा k पर एक तेज संक्रमण के अनुरूप है x = 0।अगर हम लेते हैं H(0) = 1/2, समानता सीमा में है:

$$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$$

Sigmoid फ़ंक्शन#उदाहरण हैं | चरण फ़ंक्शन के लिए कई अन्य चिकनी, विश्लेषणात्मक सन्निकटन। संभावनाओं में से हैं:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

ये सीमाएँ नुकीला और वितरण (गणित) के अर्थ में हैं।सामान्य तौर पर, हालांकि, पॉइंटवाइज कन्वर्जेंस को वितरणात्मक अभिसरण की आवश्यकता नहीं है, और इसके विपरीत वितरणात्मक अभिसरण को इंगित करने की आवश्यकता नहीं है।(हालांकि, यदि फ़ंक्शंस के पॉइंटवाइज कन्वर्जेंट अनुक्रम के सभी सदस्य समान रूप से कुछ अच्छे फ़ंक्शन से बंधे होते हैं, तो लेबेसग्यू हावी अभिसरण प्रमेय।)

सामान्य तौर पर, निरंतर वितरण संभावना वितरण का कोई भी संचयी वितरण फ़ंक्शन जो शून्य के आसपास होता है और इसमें पैरामीटर होता है जो विचरण के लिए नियंत्रण करता है, एक अनुमान के रूप में काम कर सकता है, सीमा में विचरण शून्य तक पहुंचता है।उदाहरण के लिए, उपरोक्त सभी तीनों सन्निकटन सामान्य संभावना वितरण के संचयी वितरण कार्य हैं: लॉजिस्टिक वितरण, कॉची वितरण और सामान्य वितरण वितरण, क्रमशः।

अभिन्न प्रतिनिधित्व

अक्सर एकीकरण (गणित) हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व उपयोगी होता है:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$$

जहां दूसरा प्रतिनिधित्व पहले से कम करना आसान है, यह देखते हुए कि चरण फ़ंक्शन वास्तविक है और इस प्रकार इसका अपना जटिल संयुग्म है।

शून्य तर्क

तब से H आमतौर पर एकीकरण में उपयोग किया जाता है, और एक ही बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्य इसके अभिन्न को प्रभावित नहीं करता है, यह शायद ही कभी मायने रखता है कि विशेष मूल्य किस विशेष मूल्य को चुना जाता है H(0)।वास्तव में जब H एक वितरण (गणित) या एक तत्व के रूप में माना जाता है L^∞ (एलपी स्पेस देखें |L^p अंतरिक्ष) यह भी शून्य पर मूल्य की बात करने के लिए समझ में नहीं आता है, क्योंकि ऐसी वस्तुओं को केवल हर जगह लगभग परिभाषित किया जाता है।यदि कुछ विश्लेषणात्मक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है (जैसा कि #Analytic अनुमानों में) है, तो अक्सर जो कुछ भी होता है वह शून्य पर प्रासंगिक सीमा का उपयोग किया जाता है।

किसी विशेष मूल्य को चुनने के विभिन्न कारण मौजूद हैं।

• H(0) = 1/2 का उपयोग अक्सर फ़ंक्शन के ग्राफ के बाद से किया जाता है, फिर घूर्णी समरूपता होती है;दूसरे तरीके से रखो, H − 1/2 तब एक विषम कार्य है।इस मामले में हस्ताक्षर समारोह के साथ निम्नलिखित संबंध सभी के लिए है x:
  $$H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).$$
• H(0) = 1 जब उपयोग किया जाता है H दाएं-निरंतर होने की आवश्यकता है।उदाहरण के लिए, संचयी वितरण कार्यों को आमतौर पर सही निरंतर होने के लिए लिया जाता है, क्योंकि लेबेसग्यू -स्टिल्टजेस एकीकरण के खिलाफ एकीकृत कार्य हैं।इस मामले में H बंद सेट अर्ध-अनंत अंतराल का संकेतक फ़ंक्शन है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).$$
  इसी संभावना वितरण में पतित वितरण है।
• H(0) = 0 जब उपयोग किया जाता है H बचे रहने की जरूरत है।इस मामले में H खुले सेट अर्ध-अनंत अंतराल का एक संकेतक फ़ंक्शन है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).$$
• ऑप्टिमाइज़ेशन और गेम थ्योरी से कार्यात्मक-विश्लेषण संदर्भों में, यह अक्सर उपयोगी होता है कि बहुउद्देशीय फ़ंक्शन के रूप में हेविसाइड फ़ंक्शन को परिभाषित करना। सीमित कार्यों की निरंतरता को संरक्षित करने और कुछ समाधानों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए सेट-मूल्यवान फ़ंक्शन।इन मामलों में, हेविसाइड फ़ंक्शन संभावित समाधानों का एक पूरा अंतराल लौटाता है, H(0) = [0,1]।

असतत रूप

यूनिट चरण का एक वैकल्पिक रूप, फ़ंक्शन के रूप में इसके बजाय परिभाषित किया गया H : ℤ → ℝ (अर्थात, असतत चर में ले जाना n), है:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$$

या आधे-अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करना:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}$$

कहाँ पे n एक पूर्णांक है।यदि n पूर्णांक है, तो n < 0 इसका मतलब यह होना चाहिए n ≤ −1, जबकि n > 0 इसका मतलब यह होना चाहिए कि फ़ंक्शन एकता को प्राप्त करता है n = 1।इसलिए स्टेप फ़ंक्शन के डोमेन पर रैंप जैसा व्यवहार प्रदर्शित करता है [−1, 1], और आधे-अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करके प्रामाणिक रूप से एक कदम फ़ंक्शन नहीं हो सकता है।

निरंतर मामले के विपरीत, की परिभाषा H[0] महत्वपूर्ण है।

असतत-समय इकाई आवेग असतत-समय कदम का पहला अंतर है

$$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$$

यह फ़ंक्शन क्रोनकर डेल्टा का संचयी योग है:

$$H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]$$

कहाँ पे

$$\delta [k]=\delta _{k,0}$$

पतित वितरण है।

antiderivative और व्युत्पन्न

रैंप फ़ंक्शन हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का एक एंटिवाइवेटिव है:

$$\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.$$

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का वितरण व्युत्पन्न DIRAC डेल्टा फ़ंक्शन है:

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.$$

फूरियर ट्रांसफॉर्म

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण एक वितरण है।हमारे पास फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषा के लिए स्थिरांक की पसंद का उपयोग करना

$${\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).$$

यहां p.v.1/s वितरण (गणित) है जो एक परीक्षण फ़ंक्शन लेता है φ के cauchy प्रमुख मूल्य के लिए $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds$।अभिन्न में दिखाई देने वाली सीमा भी (तड़के) वितरण के अर्थ में ली गई है।

एकतरफा लाप्लास ट्रांसफॉर्म

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का लाप्लास रूपांतरण एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है।एकतरफा लाप्लास ट्रांसफॉर्म का उपयोग करना हमारे पास है:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}$$

जब द्विपक्षीय परिवर्तन का उपयोग किया जाता है, तो अभिन्न को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है और परिणाम समान होगा।

अन्य भाव

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन को हाइपरफंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).$$

कहाँ पे log z का जटिल लॉगरिदम#प्रमुख मूल्य है z।

इसके लिए भी व्यक्त किया जा सकता है x ≠ 0 के रूप में निरपेक्ष मूल्य फ़ंक्शन के संदर्भ में

$$H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.$$

यह भी देखें

• Dirac डेल्टा फ़ंक्शन
• संकेतक समारोह
• आइवरसन ब्रैकेट
• लाप्लास ट्रांसफॉर्म
• संकेतक के लाप्लासियन
• गणितीय कार्यों की सूची
• मैकाउले ब्रैकेट
• ऋणात्मक संख्या
• आयताकार समारोह
• साइन फंक्शन
• साइन इंटीग्रल
• कदम की प्रतिक्रिया

बाहरी कड़ियाँ

• Digital Library of Mathematical Functions, NIST, [1].
• Berg, Ernst Julius (1936). "Unit function". Heaviside's Operational Calculus, as applied to Engineering and Physics. McGraw-Hill Education. p. 5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral". University of Denver.
• Davies, Brian (2002). "Heaviside step function". Integral Transforms and their Applications (3rd ed.). Springer. p. 28.
• Duff, George F. D.; Naylor, D. (1966). "Heaviside unit function". Differential Equations of Applied Mathematics. John Wiley & Sons. p. 42.