हेविसाइड चरण फलन

हेविसाइड स्टेप
अर्ध-अधिकतम परिपाटी का उपयोग करते हुए हीविसाइड स्टेप फंक्शन
General information
सामान्य परिभाषा	$$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}$$
आवेदन के क्षेत्र	परिचालन गणना

हेविसाइड स्टेप फंक्शन, या यूनिट स्टेप फंक्शन, जिसे सामान्यतः H या θ से निरूपित किया जाता है (लेकिन कभी कभी u, 1 या 𝟙), एक स्टेप फ़ंक्शन है, जिसका नाम ओलिवर हेविसाइड (1850-1925) के नाम पर रखा गया है, जिसका मान ऋणात्मक तर्कों के लिए 0 (संख्या) और सकारात्मक तर्कों के लिए 1 (संख्या) है।46>Zhang, Weihong; Zhou, Ying (2021). "स्तर-सेट फ़ंक्शन और पैरामीट्रिक फ़ंक्शन". संरचनात्मक अनुकूलन के लिए सुविधा-चालित विधि. Elsevier. pp. 9–46. doi:10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x. हेविसाइड फ़ंक्शन, जिसे हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन भी कहा जाता है, एक असंतोषजनक फ़ंक्शन है।जैसा कि अंजीर में चित्रित किया गया है। 2.13, यह नकारात्मक इनपुट के लिए शून्य और एक नॉनगेटिव इनपुट के लिए एक है।</ref> यह चरण कार्यों के सामान्य वर्ग का उदाहरण है, जिनमें से सभी को इस एक के अनुवादों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फ़ंक्शन मूल रूप से अंतर समीकरणों के समाधान के लिए परिचालन कलन में विकसित किया गया था, जहां यह संकेत का प्रतिनिधित्व करता है जो एक निर्दिष्ट समय पर स्विच करता है और अनिश्चित काल के लिए स्विच करता है। ओलिवर हेविसाइड, जिन्होंने टेलीग्राफिक संचार के विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में परिचालन कैलकुलस विकसित किया, ने 1 के रूप में कार्य का प्रतिनिधित्व किया।

हेविसाइड फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है:

• एक टुकड़ा फ़ंक्शन:
  $$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}$$
• इवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करना:
  $$H(x):=[x>0]$$
• एक संकेतक समारोह:
  $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$$
• रैंप समारोह का व्युत्पन्न:
  $$H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$$

डीआईआरएसी डेल्टा फ़ंक्शन हेविसाइड फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

$$\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)$$

इसलिए हेविसाइड फ़ंक्शन को डीआईआरएसी डेल्टा फ़ंक्शन का अभिन्न माना जा सकता है। यह कभी -कभी लिखा जाता है

$$H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds$$

यह विस्तार x = 0 के लिए हो सकता है (या यहां तक कि समझ में नहीं आता), इस पर निर्भर करता है कि किस औपचारिकता का उपयोग δ से जुड़े इंटीग्रल को अर्थ देने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, हीविसाइड फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन है जो लगभग निश्चित रूप से 0 है। (निरंतर यादृच्छिक चर देखें।)

परिचालन कलन में, उपयोगी उत्तर शायद ही कभी इस बात पर निर्भर करते हैं कि H(0) के लिए किस मूल्य का उपयोग किया जाता है , क्योंकि H ज्यादातर एक वितरण (गणित) के रूप में उपयोग किया जाता है।चूँकि, विकल्प कार्यात्मक विश्लेषण और खेल सिद्धांत में कुछ महत्वपूर्ण परिणाम हो सकते हैं, जहां निरंतरता के अधिक सामान्य रूपों पर विचार किया जाता है। कुछ सामान्य विकल्पों को 0 तर्क देखा जा सकता है।

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के लिए सन्निकटन बायोकेमिस्ट्री और न्यूरोसाइंस में उपयोग किए जाते हैं, जहां रासायनिक संकेतों के उत्तर में स्टेप फ़ंक्शंस (जैसे कि हिल और माइकलिस-मेंटेन समीकरण) के लॉजिस्टिक फ़ंक्शन सन्निकटन का उपयोग लगभग बाइनरी सेल्युलर स्विच के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक सन्निकटन

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
के रूप में चरण फ़ंक्शन के पास पहुंचता है k → ∞।

चरण फ़ंक्शन के लिए चिकनी फ़ंक्शन सन्निकटन के लिए, कोई लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का उपयोग कर सकता है

$$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$$

जहां बड़ा k, x = 0 पर तीव्र संक्रमण के संगत है। यदि हम लेते हैं H(0) = 1/2, समानता सीमा में है:

$$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$$

स्टेप फ़ंक्शन के लिए कई अन्य सहज, विश्लेषणात्मक सन्निकटन हैं। संभावनाओं में से हैं:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

ये सीमाएँ बिंदुवार और वितरण (गणित) के अर्थ में हैं। सामान्य तौर पर, चूँकि, पॉइंटवाइज कन्वर्जेंस को वितरणात्मक अभिसरण की आवश्यकता नहीं है, और इसके विपरीत वितरणात्मक अभिसरण को इंगित करने की आवश्यकता नहीं होती है।(चूँकि, यदि फ़ंक्शंस के पॉइंटवाइज कन्वर्जेंट अनुक्रम के सभी सदस्य समान रूप से कुछ अच्छे फ़ंक्शन से बंधे होते हैं, तो अभिसरण भी वितरण के अर्थ में होता है।)

सामान्य तौर पर, निरंतर वितरण संभावना वितरण का कोई भी संचयी वितरण फ़ंक्शन जो शून्य के आसपास होता है और इसमें पैरामीटर होता है जो विचरण के लिए नियंत्रण करता है, एक अनुमान के रूप में काम कर सकता है, सीमा में विचरण शून्य तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त सभी तीनों सन्निकटन सामान्य संभावना वितरण के संचयी वितरण कार्य हैं: क्रमशः लॉजिस्टिक वितरण, कॉची वितरण और सामान्य वितरण वितरण।

अभिन्न प्रतिनिधित्व

अधिकतर एकीकरण (गणित) हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व उपयोगी होता है:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$$

जहां दूसरा प्रतिनिधित्व पहले से कम करना आसान है, यह देखते हुए कि चरण फ़ंक्शन वास्तविक है और इस प्रकार इसका अपना जटिल संयुग्म है।

शून्य तर्क

H सामान्यतः एकीकरण में उपयोग किया जाता है, और एक ही बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्य इसके अभिन्न को प्रभावित नहीं करता है, यह शायद ही कभी अर्थ रखता है कि H(0) का विशेष मान क्या चुना जाता है।वास्तव में जब H एक वितरण (गणित) या एक तत्व के रूप में माना जाता है L^∞ (L^p अंतरिक्ष देखें) यह भी शून्य पर मान की बात करने का कोई अर्थ नहीं बनता है, क्योंकि ऐसी वस्तुओं को केवल हर जगह लगभग परिभाषित किया जाता है। यदि कुछ विश्लेषणात्मक सन्निकटन (जैसा कि ऊपर के उदाहरणों में) का उपयोग किया जाता है, तो अधिकांशतः जो कुछ भी होता है वह शून्य पर प्रासंगिक सीमा का उपयोग किया जाता है।

किसी विशेष मूल्य को चुनने के विभिन्न कारण उपस्थित हैं।

• H(0) = 1/2 का उपयोग अधिकांशतः फ़ंक्शन के ग्राफ के बाद से किया जाता है, फिर घूर्णी समरूपता होती है; दूसरे विधि से रखो, H − 1/2 तब एक विषम कार्य है। इस स्थिति में हस्ताक्षर समारोह के साथ निम्नलिखित संबंध सभी के लिए है x:
  $$H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).$$
• H(0) = 1 जब उपयोग किया जाता है H दाएं-निरंतर होने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, संचयी वितरण कार्यों को सामान्यतः सही निरंतर होने के लिए लिया जाता है, क्योंकि लेबेसग्यू -स्टिल्टजेस एकीकरण के विपरीत एकीकृत कार्य हैं। इस स्थिति में H बंद सेट अर्ध-अनंत अंतराल का संकेतक फ़ंक्शन है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).$$
  इसी संभावना वितरण में पतित वितरण है।
• H(0) = 0 जब उपयोग किया जाता है H बचे रहने की आवश्यकता है। इस स्थिति में H खुले सेट अर्ध-अनंत अंतराल का एक संकेतक फ़ंक्शन है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).$$
• ऑप्टिमाइज़ेशन और गेम थ्योरी से कार्यात्मक-विश्लेषण संदर्भों में, यह अधिकांशतः उपयोगी होता है कि बहुउद्देशीय फ़ंक्शन के रूप में हेविसाइड फ़ंक्शन को परिभाषित करना। सीमित कार्यों की निरंतरता को संरक्षित करने और कुछ समाधानों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए सेट-मूल्यवान फ़ंक्शन। इन स्थितियों में, हेविसाइड फ़ंक्शन संभावित समाधानों का एक पूरा अंतराल लौटाता है, H(0) = [0,1]।

असतत रूप

यूनिट चरण का एक वैकल्पिक रूप, फ़ंक्शन के रूप में इसके अतिरिक्त परिभाषित किया गया H : ℤ → ℝ (अर्थात, असतत चर में ले जाना n), है:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$$

या आधे-अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करना:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}$$

जहाँ पर n एक पूर्णांक है। यदि n पूर्णांक है, तो n < 0 इसका तात्पर्य यह होना चाहिए n ≤ −1, जबकि n > 0 इसका तात्पर्य यह होना चाहिए कि फ़ंक्शन एकता को प्राप्त करता है n = 1। इसलिए स्टेप फ़ंक्शन के डोमेन पर रैंप जैसा व्यवहार प्रदर्शित करता है [−1, 1], और आधे-अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करके प्रामाणिक रूप से एक कदम फ़ंक्शन नहीं हो सकता है।

निरंतर स्थिति के विपरीत, की परिभाषा H[0] महत्वपूर्ण है।

असतत-समय इकाई आवेग असतत-समय कदम का पहला अंतर है

$$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$$

यह फ़ंक्शन क्रोनकर डेल्टा का संचयी योग है:

$$H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]$$

जहाँ पर

$$\delta [k]=\delta _{k,0}$$

पतित वितरण है।

एंटीडेरीवेटिव और व्युत्पन्न

रैंप फ़ंक्शन हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का एक एंटिवाइवेटिव है:

$$\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.$$

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का वितरण व्युत्पन्न डीआईआरएसी डेल्टा फ़ंक्शन है:

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.$$

फूरियर ट्रांसफॉर्म

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण एक वितरण है। हमारे पास फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषा के लिए स्थिरांक की पसंद का उपयोग करना

$${\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).$$

यहां p.v.1/s वितरण (गणित) है जो एक परीक्षण फ़ंक्शन लेता है φ के कौची प्रमुख मूल्य के लिए $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds$।अभिन्न में दिखाई देने वाली सीमा भी (तड़के) वितरण के अर्थ में ली गई है।

एकतरफा लाप्लास ट्रांसफॉर्म

हेविसाइड चरण फ़ंक्शन का लाप्लास रूपांतरण एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। एक ओर लाप्लास ट्रांसफॉर्म का उपयोग करना हमारे पास है:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}$$

जब द्विपक्षीय परिवर्तन का उपयोग किया जाता है, तो अभिन्न को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है और परिणाम समान होगा।

अन्य भाव

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन को हाइपरफंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).$$

जहाँ log z, z के जटिल लघुगणक का मुख्य मान है।

इस x ≠ 0 के लिए निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है के रूप में निरपेक्ष मूल्य फ़ंक्शन के संदर्भ में

$$H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.$$

यह भी देखें

• Dirac डेल्टा फ़ंक्शन
• संकेतक समारोह
• आइवरसन ब्रैकेट
• लाप्लास ट्रांसफॉर्म
• संकेतक के लाप्लासियन
• गणितीय कार्यों की सूची
• मैकाउले ब्रैकेट
• ऋणात्मक संख्या
• आयताकार समारोह
• साइन फंक्शन
• साइन इंटीग्रल
• कदम की प्रतिक्रिया

बाहरी कड़ियाँ

• Digital Library of Mathematical Functions, NIST, [1].
• Berg, Ernst Julius (1936). "Unit function". Heaviside's Operational Calculus, as applied to Engineering and Physics. McGraw-Hill Education. p. 5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral". University of Denver.
• Davies, Brian (2002). "Heaviside step function". Integral Transforms and their Applications (3rd ed.). Springer. p. 28.
• Duff, George F. D.; Naylor, D. (1966). "Heaviside unit function". Differential Equations of Applied Mathematics. John Wiley & Sons. p. 42.