Gδ समुच्चय

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक जी (G_δ ) सेट एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सबसेट है जो खुले सेटों का एक गणनीय प्रतिच्छेदन (सेट थ्योरी) है। नोटेशन की उत्पत्ति जर्मन में G से Gebiet ( जर्मन : क्षेत्र, या पड़ोस) के साथ हुई है, जिसका अर्थ इस मामले में खुला सेट है और δ Durchschnitt ( जर्मन : चौराहा) के लिए है।

ऐतिहासिक रूप से जी (G_δ ) सेट को आंतरिक सीमित सेट भी कहा जाता था, लेकिन वह शब्दावली अब उपयोग में नहीं है।

जी (G_δ ) समुच्चय, और उनका दोहरा, Fσ समुच्चय| F_𝜎 सेट, बोरेल पदानुक्रम का दूसरा स्तर हैं।

परिभाषा

एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक जी (G_δ ) सेट खुले सेटों का एक गणनीय चौराहा (सेट सिद्धांत) है। जी (G_δ ) सेट बिल्कुल स्तर Π हैं⁰
₂ बोरेल पदानुक्रम के सेट।

उदाहरण

• कोई भी खुला सेट तुच्छ रूप से G_δ तय करना।
• अपरिमेय संख्याएँ G_δ वास्तविक संख्या में सेट करें $\mathbb {R}$. उन्हें खुले सेट के गणनीय चौराहे के रूप में लिखा जा सकता है $\{q\}^{c}$ (सुपरस्क्रिप्ट पूरक (सेट सिद्धांत) को दर्शाता है) जहां $q$ परिमेय संख्या है।
• परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {Q}$ है not एक G_δ शुरु होना $\mathbb {R}$. अगर $\mathbb {Q}$ खुले सेटों का चौराहा था $A_{n}$ प्रत्येक $A_{n}$ घना सेट होगा $\mathbb {R}$ क्योंकि $\mathbb {Q}$ में घना है $\mathbb {R}$. हालांकि, ऊपर के निर्माण ने अपरिमेय संख्या को खुले घने उपसमुच्चय के एक गणनीय चौराहे के रूप में दिया। इन दोनों सेटों के प्रतिच्छेदन को लेने से खाली सेट को खुले घने सेटों के गणनीय चौराहे के रूप में मिलता है $\mathbb {R}$, बेयर श्रेणी प्रमेय का उल्लंघन।
• निरंतरता सेट किसी भी वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का निरंतरता सेट एक जी है_δ इसके डोमेन का सबसेट (अधिक सामान्य कथन के लिए गुण अनुभाग देखें)।
• हर जगह अलग-अलग वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के डेरिवेटिव (गणित) का शून्य-सेट $\mathbb {R}$ एक जी _δ तय करना; यह खाली इंटीरियर के साथ एक सघन सेट हो सकता है, जैसा कि पोम्पेई व्युत्पन्न#पोम्पेई के निर्माण|पोम्पेयू के निर्माण द्वारा दिखाया गया है।
• कार्यों का सेट में $C([0,1])$ भीतर किसी भी बिंदु पर भिन्न नहीं [0, 1] एक घना जी (G) सम्मिलित है_δ मीट्रिक स्थान का सबसेट $C([0,1])$. (देखना Weierstrass function § Density of nowhere-differentiable functions.)

गुण

जी की धारणा_δ मीट्रिक स्थान (और टोपोलॉजिकल स्पेस) स्पेस में सेट मेट्रिक स्पेस के पूर्ण मीट्रिक स्थान के साथ-साथ बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा से संबंधित है। नीचे गुणों की सूची में पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के बारे में परिणाम देखें। $\mathrm {G_{\delta }}$ सेट और उनके पूरक भी वास्तविक विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से माप सिद्धांत।

बुनियादी गुण

• जी का पूरक (सेट सिद्धांत)।_δ समुच्चय एक Fσ समुच्चय है|F_σसेट और इसके विपरीत।
• गिने-चुने कई जी का प्रतिच्छेदन_δ सेट एक जी G_δ तय करना।
• का संघ finitely कई जी_δ सेट एक जी G_δ तय करना।
• जी का एक गणनीय संघ_δ सेट (जिसे जी कहा जाएगा_δσ सेट) जी नहीं है_δ सामान्य रूप से सेट करें। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ जी मत बनाओ_δ शुरु होना $\mathbb {R}$.
• एक टोपोलॉजिकल स्पेस में, प्रत्येक वास्तविक मूल्यवान निरंतर कार्य का शून्य सेट $f$ एक (बंद) जी G_δ सेट, के बाद से $f^{-1}(0)$ खुले सेटों का चौराहा है $\{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}$, $(n=1,2,\ldots )$.
• metrizable स्पेस में, प्रत्येक बंद सेट एक जी है_δ सेट और, दो तरह से, हर खुला सेट एक एफ है_σ तय करना। दरअसल, एक बंद सेट $F\subseteq X$ निरंतर कार्य का शून्य सेट है $f(x)=d(x,F)$, कहाँ $d$ एक सेट की दूरी को इंगित करता है। स्यूडोमेट्रिजेबल स्पेस में भी ऐसा ही होता है।
• पहले गणनीय T1 स्थान में|T₁ अंतरिक्ष, हर सिंगलटन (गणित) एक जी है_δ सेट।
• पूरी तरह से मेट्रिजेबल स्पेस का एक टोपोलॉजिकल सबस्पेस $X$ अगर और केवल अगर यह एक G है तो यह खुद पूरी तरह से मेट्रिजेबल है_δ शुरु होना $X$.
• पोलिश अंतरिक्ष का एक उप-स्थान $X$ स्वयं पोलिश है यदि और केवल यदि वह G_δ शुरु होना $X$. यह पिछले परिणाम से पूरी तरह से मेट्रिजेबल सबस्पेस के बारे में है और तथ्य यह है कि एक वियोज्य मीट्रिक स्पेस के प्रत्येक सबस्पेस वियोज्य है।
• एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ पोलिश है अगर और केवल अगर यह जी के लिए होमियोमॉर्फिक है_δ कॉम्पैक्ट जगह मेट्रिक स्पेस का सबसेट।

वास्तविक मूल्यवान कार्यों का निरंतरता सेट

उन बिंदुओं का समूह जहां एक फ़ंक्शन होता है $f$ टोपोलॉजिकल स्पेस से मेट्रिक स्पेस तक निरंतर कार्य होता है $\mathrm {G_{\delta }}$ तय करना। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बिंदु पर निरंतरता $p$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $\Pi _{2}^{0}$ सूत्र, अर्थात् सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n,$ एक खुला सेट है $U$ युक्त $p$ ऐसा है कि $d(f(x),f(y))<1/n$ सबके लिए $x,y$ में $U$. यदि इसका मान $n$ तय है, का सेट $p$ जिसके लिए इस तरह का एक समान खुला $U$ अपने आप में एक खुला सेट है (खुले सेटों का एक संघ होने के नाते), और सार्वभौमिक क्वांटिफायर चालू है $n$ इन सेटों के (गणनीय) चौराहे से मेल खाती है। परिणामस्वरूप, जबकि अपरिमेय के लिए एक फ़ंक्शन के निरंतरता बिंदुओं का सेट होना संभव है (पॉपकॉर्न समारोह देखें), एक फ़ंक्शन का निर्माण करना असंभव है जो केवल परिमेय संख्याओं पर निरंतर हो।

वास्तविक रेखा में विलोम भी धारण करता है कि किसी भी जी G_δ सबसेट के लिए $A$ वास्तविक रेखा का एक कार्य है $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ यह बिल्कुल बिंदुओं पर निरंतर है $A$.

जी_δ अंतरिक्ष

जी (G_δ ) अंतरिक्ष एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें हर बंद सेट एक जी G_δ सेट (Johnson 1970) है। एक सामान्य स्थान जो कि G_δ अंतरिक्ष को बिल्कुल सामान्य स्थान कहा जाता है। उदाहरण के लिए प्रत्येक मेट्रिजेबल स्पेस पूरी तरह से सामान्य है।

यह भी देखें

• एफσ सेट | एफ_σ सेट, द्वैत (गणित) अवधारणा; ध्यान दें कि G जर्मन है (विकट:Gebiet#जर्मन) और F फ्रेंच है (विकट:fermé#French|fermé)।
• पी-स्पेस | पी-स्पेस, कोई भी स्पेस जिसमें संपत्ति है कि हर जी_δ सेट खुला है

संदर्भ

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1955). General topology. van Nostrand. p. 134.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
• Fremlin, D.H. (2003) [2003]. "4, General Topology". Measure Theory, Volume 4. Petersburg, England: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-4. Archived from the original on 1 November 2010. Retrieved 1 April 2011.
• Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
• Johnson, Roy A. (1970). "A Compact Non-Metrizable Space Such That Every Closed Subset is a G-Delta". The American Mathematical Monthly. 77 (2): 172–176. doi:10.2307/2317335. JSTOR 2317335.