प्रभाव सिद्धांत

गणित में, प्रभाव सिद्धांत क्रिया रिक्त स्थान पर रैखिक प्रभाव का अध्ययन है, जो अंतर प्रभाव और अभिन्न प्रभाव से शुरू होता है। प्रभाव को उनकी विशेषताओं, जैसे बाध्य रैखिक प्रभाव या बंद प्रभाव द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है और गैर-रैखिक प्रभाव को विचार दिया जा सकता है। अध्ययन, जो कार्य स्थान की सांस्थिति पर अधिक निर्भर करता है जो कार्यात्मक विश्लेषण की एक शाखा है।

यदि संकारक का संग्रह किसी क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है, तो यह संकारक बीजगणित है। प्रभाव बीजगणित का विवरण प्रभाव सिद्धांत का हिस्सा है।

एकल प्रभाव सिद्धांत

एकल प्रभाव सिद्धांत प्रभाव के गुण और वर्गीकरण से संबंधित है, जिन्हें एक समय में एक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक प्रभाव के स्पेक्ट्रम के स्थितियमें सामान्य प्रभाव का वर्गीकरण इस श्रेणी में आता है।

प्रभाव का स्पेक्ट्रम

Main article: Spectral theorem

स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक प्रभाव या मैट्रिक्स (गणित) के बारे में कई परिणाम में से एक है। व्यापक शब्द में वर्णक्रमीय प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके अनुसार एक प्रभाव (गणित) या एक मैट्रिक्स [[विकर्ण मैट्रिक्स]] हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है)। परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए विकर्णकरण की यह अवधारणा अपेक्षाकृत सरल है, किन्तु अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर प्रभाव के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्यतः, स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक प्रभाव के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन प्रभाव द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय C*-algebras के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।

प्रभाव के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय लागू होता है वे स्व-संबद्ध प्रभाव या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः सामान्य प्रभाव होते हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय भी एक विहित रूप अपघटन प्रदान करता है, जिसे वर्णक्रमीय अपघटन, ईजेनवैल्यू अपघटन, या एक मैट्रिक्स का ईजेन्डेकम्पोजीशन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर प्रभाव कार्य करता है।

सामान्य प्रभाव

Main article: Normal operator

एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक सामान्य प्रभाव एक निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक प्रभाव एन : एच → एच है जो कम्यूटेटर अपने हर्मिटियन के साथ एन*' ', अर्थात: एनएन* = एन*एन। सामान्य संकारक महत्वपूर्ण हैं क्यकि वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य है। आज सामान्य संचालक की क्लास अच्छी तरह समझ में आ रही है। सामान्य प्रभाव के उदाहरण हैं

• एकात्मक संचालक: एन * = एन^-1
• हर्मिटियन प्रभाव्स (अर्थात, सेल्फ़एडज्वाइंट प्रभाव्स: N* = N; साथ ही, एंटी-सेल्फ़एडजॉइंट प्रभाव्स: N* = -N)
• सकारात्मक संकारक: N = MM*
• सामान्य मैट्रिक्स को सामान्य प्रभाव के रूप में देखा जा सकता है यदि कोई हिल्बर्ट स्थान को सी लेता है^एन.

वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। A को परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक प्रभाव होने दें। A को सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है यदि A^* ए = ए ए^{*</सुप>. कोई दिखा सकता है कि ए सामान्य है यदि और केवल यदि यह एकात्मक रूप से विकर्ण है: शूर अपघटन द्वारा, हमारे पास ए = यू टी यू है*, जहां U एकात्मक है और T ऊपरी-त्रिकोणीय है। चूँकि A सामान्य है, T T*</सुप> = टी* टी। इसलिए, टी को विकर्ण होना चाहिए क्यकि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण होते हैं। उलटा स्पष्ट है।}

दूसरे शब्द में, ए सामान्य है यदि और केवल यदि एक एकात्मक मैट्रिक्स यू उपस्तिथ है जैसे कि

$$A=UDU^{*}$$

जहां डी एक विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, डी के विकर्ण की प्रविष्टियाँ ए के eigenvalue हैं। यू के कॉलम वैक्टर ए के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन स्थितियके विपरीत, D की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन

Main article: Polar decomposition

जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक प्रभाव ए का ध्रुवीय अपघटन एक आंशिक आइसोमेट्री और एक गैर-नकारात्मक प्रभाव के उत्पाद के रूप में एक विहित गुणनखंड है। मेट्रिसेस के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि A एक परिबद्ध रैखिक संकारक है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का एक अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U एक आंशिक आइसोमेट्री है, P एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।

निम्नलिखित मुद्द के कारण प्रभाव यू को एकात्मक के अतिरिक्त एक आंशिक आइसोमेट्री के लिए कमजोर होना चाहिए। यदि ए शिफ्ट प्रभाव है | एल पर एक तरफा शिफ्ट²(एन), फिर |ए| = (ए * ए)^1/2 = I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:

Lemma — If A, B are bounded operators on a Hilbert space H, and A*A ≤ B*B, then there exists a contraction C such that A = CB. Furthermore, C is unique if Ker(B*) ⊂ Ker(C).

प्रभाव सी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है C(Bh) = Ah, रैन (बी) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा Ran(B). प्रभाव सी तब से अच्छी तरह से परिभाषित है A*A ≤ B*B तात्पर्य Ker(B) ⊂ Ker(A). लेम्मा इसके बाद आता है।

विशेष रूप से, यदि A*A = B*B, तो C एक आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि Ker(B*) ⊂ Ker(C). सामान्यतः, किसी भी बाध्य प्रभाव ए के लिए,

$$A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},$$

कहाँ (ए * ए)^1/2 सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया A*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है

$$A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$$

कुछ आंशिक आइसोमेट्री U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A) ⊂ Ker(U). (टिप्पणी Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*), कहाँ B = B* = (A*A)^1/2.) P को (A*A) मान लीजिए^1/2 और एक ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि एक समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जा सकता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' एक आंशिक सममिति है।

जब एच परिमित आयामी है, तो यू को एकात्मक प्रभाव तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मूल्य अपघटन # बाउंडेड प्रभाव के प्रभाव संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |ए| ए द्वारा उत्पन्न सी*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान किन्तु कमजोर बयान लागू होता है: ध्रुवीय भाग यू ए द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि ए व्युत्क्रमणीय है, तो यू सी*-बीजगणित में होगा ए द्वारा भी उत्पन्न किया गया है।

जटिल विश्लेषण के साथ संबंध

अध्ययन किए गए कई प्रभाव होलोमोर्फिक कार्य के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर प्रभाव हैं, और अध्ययन प्रभाव का कार्य सिद्धांत में प्रश्न से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, बेर्लिंग का प्रमेय आंतरिक कार्य के संदर्भ में एकतरफा बदलाव के अपरिवर्तनीय उप-स्थान का वर्णन करता है, जो सर्कल पर लगभग हर जगह यूनिमॉड्यूलर सीमा मान के साथ यूनिट डिस्क पर होलोमॉर्फिक क्रिया से घिरा होता है। बर्लिंग ने एकतरफा बदलाव को हार्डी स्पेस पर स्वतंत्र चर द्वारा गुणन के रूप में व्याख्या की। गुणन प्रभाव का अध्ययन करने में सफलता, और अधिक सामान्यतः Toeplitz प्रभाव (जो गुणन हैं, हार्डी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण के बाद) ने बर्गमैन अंतरिक्ष जैसे अन्य स्थान पर इसी तरह के प्रश्न के अध्ययन को प्रेरित किया है।

प्रभाव बीजगणित

प्रभाव बीजगणित का सिद्धांत सी * - बीजगणित जैसे प्रभाव के क्षेत्र में बीजगणित को सामने लाता है।

सी * - बीजगणित

Main article: C*-algebra

ए सी*-बीजगणित, ए, एक नक्शा (गणित) के साथ जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एक बानाच बीजगणित है * : A → A. A के अवयव x के प्रतिबिम्ब के लिए x* लिखते हैं। मानचित्र * में निम्नलिखित गुण हैं:

• यह ए में प्रत्येक एक्स के लिए, इनवोल्यूशन वाला एक सेमीग्रुप है
  $$x^{**}=(x^{*})^{*}=x$$
• ए में सभी एक्स, वाई के लिए:
  $$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$$
  $$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$$
• C में प्रत्येक λ और A में प्रत्येक x के लिए:
  $$(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$$
• ए में सभी एक्स के लिए:
  $$\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$$

टिप्पणी। पहली तीन सर्वसमिकाएँ कहती हैं कि A एक *-बीजगणित है। अंतिम पहचान को सी * पहचान कहा जाता है और इसके बराबर है:

$$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$$

सी*-पहचान एक बहुत मजबूत आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ, इसका तात्पर्य है कि सी * -नोर्म विशिष्ट रूप से बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है:

$$\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.$$

यह भी देखें

• अपरिवर्तनीय उप-स्थान
• कार्यात्मक गणना
• वर्णक्रमीय सिद्धांत
  • संकल्प औपचारिकता
• कॉम्पैक्ट प्रभाव
  • अभिन्न समीकरण का फ्रेडहोम सिद्धांत
    • इंटीग्रल प्रभाव
    • फ्रेडहोम प्रभाव
• स्व-आसन्न प्रभाव
• असीमित प्रभाव
  • विभेदक प्रभाव
• उम्ब्रल कैलकुलस
• संकुचन मानचित्रण
• हिल्बर्ट स्पेस पर सकारात्मक प्रभाव
• पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय# एक आदेशित सदिश स्थान पर भी देखें

अग्रिम पठन

• Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
• Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

बाहरी संबंध

• History of Operator Theory