मिश्रित मूलांक

मिश्रित सूत्र अंक सिस्टम गैर-मानक स्थितिगत संख्याएँ हैं जिनमें संख्यात्मक रेडिक्स स्थिति से स्थिति में भिन्न होता है।इस तरह का संख्यात्मक प्रतिनिधित्व तब लागू होता है जब एक मात्रा में इकाइयों के अनुक्रम का उपयोग करके मात्रा व्यक्त की जाती है जो प्रत्येक अगले छोटे से से कई होती है, लेकिन ही कारक द्वारा नहीं।इस तरह की इकाइयाँ समय को मापने में उदाहरण के लिए आम हैं;32 सप्ताह, 5 दिन, 7 घंटे, 45 मिनट, 15 सेकंड, और 500 मिलीसेकंड का समय मिश्रित-रेडिक्स संकेतन में कई मिनटों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

... 32, 5, 7, 45;15, 500
...,, 7, 24, 60;60, 1000

या के रूप में

३२_∞5₇7₂₄45₆₀.15₆₀500₁₀₀₀

सारणीबद्ध प्रारूप में, अंक उनके आधार के ऊपर लिखे गए हैं, और अर्धविराम रेडिक्स बिंदु को इंगित करता है।अंक प्रारूप में, प्रत्येक अंक में अपना संबद्ध आधार सबस्क्रिप्ट के रूप में जुड़ा हुआ है, और रेडिक्स बिंदु को पूर्ण विराम द्वारा चिह्नित किया गया है।प्रत्येक अंक के लिए आधार इसी इकाइयों की संख्या है जो अगली बड़ी इकाई को बनाते हैं।परिणामस्वरूप पहले (सबसे महत्वपूर्ण) अंक के लिए कोई आधार नहीं है ((के रूप में) नहीं लिखा गया है, क्योंकि यहां अगली बड़ी इकाई मौजूद नहीं है (और ध्यान दें कि कोई भी यूनिट्स के अनुक्रम में महीने या वर्ष की बड़ी इकाई नहीं जोड़ सकता है, क्योंकि वे सप्ताह के पूर्णांक गुणक नहीं हैं)।

उदाहरण

मिश्रित रेडिक्स सिस्टम का सबसे परिचित उदाहरण टाइमकीपिंग और कैलेंडर में है।पश्चिमी समय के गुणों में दशमलव शताब्दियों, दशकों और वर्षों के साथ -साथ डुओडेसिमल महीने, त्रिशंकु (और अप्रत्यक्ष और (फरवरी के लिए) ऑक्टोविगिसिमल और एननेविगिसिमल) दिन शामिल हैं, जो ड्यूक्विनक्वेज़िमल हफ्तों और सात का दिनों के साथ ओवरलैप किए गए हैं।एक वैरिएंट बेस 13 महीने, चतुष्कोपरक संख्या प्रणाली वीक्स और सेप्टेनरी डेज़ का उपयोग करता है।समय को आगे 24 घंटे, साठवाँ मिनट और सेकंड से विभाजित किया जाता है, फिर दशमलव अंश।

तारीखों के लिए मानक रूप 2021-04-10 16:31:15 है जो इस परिभाषा में मिश्रित रेडिक्स नंबर होगा, लेकिन अलग है क्योंकि एक महीने में दिनों की संख्या प्रत्येक महीने और छलांग के वर्षों में भिन्न होती है।

एक मिश्रित रेडिक्स अंक प्रणाली अक्सर सारणीबद्ध सारांश से लाभान्वित हो सकती है।रविवार की आधी रात से शुरू होने वाले सप्ताह के 604800 सेकंड का वर्णन करने के लिए सिस्टम निम्नानुसार चलता है:

Radix	7	24	60	60
Denomination	day	hour	minute	second
Place value (seconds)	86400	3600	60	1

Digit translations …

day	0=Sunday, 1=Monday, 2=Tuesday, 3=Wednesday, 4=Thursday, 5=Friday, 6=Saturday
hour	0 to 23

इस अंक प्रणाली में, मिश्रित रेडिक्स अंक 3₇17₂₄51₆₀57₆₀ सेकंड की व्याख्या बुधवार को 17:51:57 और 0 के रूप में की जाएगी₇0₂₄02₆₀24₆₀ रविवार को 00:02:24 होगा।मिश्रित रेडिक्स अंक प्रणाली के लिए तदर्थ नोटेशन आम हैं।

माया कैलेंडर में विभिन्न गुणकों के कई अतिव्यापी चक्र होते हैं।एक छोटी गिनती tzolk'in आधार 13 गिने दिनों के साथ दिनों के नाम पर विजिटल को ओवरलैप करती है।एक हब 'में विजिटल डेज़, अष्टकोणीय महीने और बेस -52 साल होते हैं जो दौर बनाते हैं।इसके अलावा, विजिटल दिनों की लंबी गिनती, ऑक्टोडेसिमल वाइनल, फिर विजय ट्यून, काटुन, बी'क'टुन, आदि ऐतिहासिक तिथियों को ट्रैक करता है।

वर्तमान उपयोग में मिश्रित रेडिक्स अंक प्रणाली का दूसरा उदाहरण मुद्रा के डिजाइन और उपयोग में है, जहां संप्रदायों का सीमित सेट मुद्रित होता है या किसी भी मौद्रिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम होने के उद्देश्य से खनन किया जाता है;धन की राशि को तब प्रत्येक संप्रदाय के सिक्कों या बैंक नोट्स की संख्या से दर्शाया जाता है।यह तय करते समय कि कौन से संप्रदायों को बनाने के लिए (और इसलिए मिश्रण करने के लिए कौन से पता चलता है), समझौता अलग -अलग संप्रदायों की न्यूनतम संख्या के बीच का उद्देश्य है, और विशिष्ट मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक सिक्के के व्यक्तिगत टुकड़ों की न्यूनतम संख्या।तो, उदाहरण के लिए, यूके में, BankNotes £ 50, £ 20, £ 10 और £ 5 के लिए मुद्रित किया जाता है, और सिक्के £ 2, £ 1, 50p, 20p, 10p, 5p, 2p और 1p के लिए खनन किए जाते हैं।पसंदीदा मान#1-2-5 श्रृंखला | पसंदीदा मूल्यों की 1-2-5 श्रृंखला।

पाउंड स्टर्लिंग#दशमलव से पहले, यूके में मौद्रिक मात्रा को पाउंड, शिलिंग और पेंस के संदर्भ में वर्णित किया गया था, जिसमें 12 पेंस प्रति शिलिंग और 20 शिलिंग प्रति पाउंड, ताकि £ 1 7s 6d, उदाहरण के लिए, मिश्रित के अनुरूप हो-रेडिक्स अंक 1_∞7₂₀6₁₂।

यूनाइटेड स्टेट्स कस्टमरी यूनिट्स आम तौर पर मिश्रित-रेडिक्स सिस्टम होते हैं, जिसमें मल्टीप्लायर आकार की इकाई से अगले तरीके से उसी तरह से भिन्न होते हैं जो समय की इकाइयाँ करती हैं।

मिश्रित-रेडिक्स प्रतिनिधित्व Cooley-Tukey FFT एल्गोरिथ्म के मिश्रित-रेडिक्स संस्करणों के लिए भी प्रासंगिक है, जिसमें मिश्रित-रेडिक्स प्रतिनिधित्व में इनपुट मूल्यों के सूचकांकों का विस्तार किया जाता है, आउटपुट मानों के सूचकांकों को समान मिश्रित में विस्तारित किया जाता है-आधारों और अंकों के क्रम के साथ रेडिक्स प्रतिनिधित्व उलट, और प्रत्येक उपप्रकार को शेष अंकों के सभी मूल्यों के लिए अंक में फूरियर रूपांतरण के रूप में माना जा सकता है।

हेरफेर

एक ही आधार के मिश्रित-रेडिक्स संख्या को मैनुअल अंकगणित एल्गोरिदम के सामान्यीकरण का उपयोग करके हेरफेर किया जा सकता है।एक मिश्रित आधार से दूसरे में मूल्यों का रूपांतरण पहले प्रणाली के स्थान मूल्यों को दूसरे में परिवर्तित करके आसानी से पूरा किया जाता है, और फिर इन के खिलाफ प्रणाली से अंकों को लागू करता है।

एपीएल प्रोग्रामिंग भाषा और जे प्रोग्रामिंग भाषा में मिश्रित-रेडिक्स सिस्टम से और में कन्वर्ट करने के लिए ऑपरेटर शामिल हैं।

फैक्टरियल नंबर सिस्टम

Main article: Factorial number system

एक अन्य प्रस्ताव तथाकथित कारख़ाने का नंबर सिस्टम है:

Radix	8	7	6	5	4	3	2	1
Place value	7!	6!	5!	4!	3!	2!	1!	0!
Place value in decimal	5040	720	120	24	6	2	1	1
Highest digit allowed	7	6	5	4	3	2	1	0

उदाहरण के लिए, सबसे बड़ी संख्या जिसे छह अंकों के साथ दर्शाया जा सकता है, वह 543210 होगी जो दशमलव में 719 के बराबर है: 5 और बार; 5!+ 4 और बार; 4!+ 3 और बार; 3!+ 2 और बार; 2!+ 1 और बार; 1!यह पहली नजर में स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन फैक्टरियल आधारित नंबरिंग सिस्टम असंदिग्ध और पूर्ण है।प्रत्येक संख्या को और केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है क्योंकि सूचकांक द्वारा गुणा किए गए संबंधित फैक्टरियल्स का योग हमेशा अगला फैक्टरियल माइनस होता है:

$\sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1$

पूर्णांक 0, ..., n! & Nbsp; & minus; & nbsp; 1 और लेक्सिकोग्राफिक क्रम में n तत्वों के क्रमपरिवर्तन के बीच प्राकृतिक मानचित्रण है, जो पूर्णांक के फैक्टरियल प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है, इसके बाद क्रम के रूप में व्याख्या#नंबरिंग के रूप में।क्रमपरिवर्तन।

उपरोक्त समीकरण किसी भी रेडिक्स (या तो मानक या मिश्रित) आधार प्रतिनिधित्व के लिए निम्नलिखित सामान्य नियम का विशेष मामला है जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि कोई भी रेडिक्स (या तो मानक या मिश्रित) आधार प्रतिनिधित्व असंदिग्ध और पूर्ण है।प्रत्येक संख्या को और केवल ही तरीके से दर्शाया जा सकता है क्योंकि सूचकांक द्वारा गुणा किए गए संबंधित भार का योग हमेशा अगले वजन वाले माइनस होता है:

$\sum _{i=0}^{n}(m_{i+1}-1)\cdot M_{i}=M_{n+1}-1$, कहाँ पे $M_{i}=\prod _{j=1}^{i}m_{j},m_{j}>1,M_{0}=1$,

जिसे आसानी से गणितीय प्रेरण के साथ साबित किया जा सकता है।

संदर्भ

• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Pages 65–66, 208–209, and 290.
• Georg Cantor. Über einfache Zahlensysteme, Zeitschrift für Math. und Physik 14(1869), 121–128.

बाहरी कड़ियाँ

• Mixed Radix Calculator — Mixed Radix Calculator in C#