अंशों का क्षेत्र

"Quotient field" redirects here. Not to be confused with Quotient ring.

सार बीजगणित में, एक अभिन्न डोमेन के अंशों का क्षेत्र सबसे छोटा क्षेत्र (गणित) है जिसमें इसे एम्बेडिंग किया जा सकता है। अंशों के क्षेत्र का निर्माण पूर्णांकों के अभिन्न डोमेन और परिमेय संख्याओं के क्षेत्र के बीच के संबंध पर आधारित है। सहज रूप से, इसमें अभिन्न डोमेन तत्वों के बीच अनुपात होते हैं।

के अंशों का क्षेत्र $R$ कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है $\operatorname {Frac} (R)$ या $\operatorname {Quot} (R)$, और रचना को कभी-कभी भिन्न क्षेत्र, भागफल का क्षेत्र, या भागफल का क्षेत्र भी कहा जाता है $R$. सभी चार सामान्य उपयोग में हैं, लेकिन भागफल की अंगूठी के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो एक बहुत ही अलग अवधारणा है। एक क्रमविनिमेय अंगूठी के लिए जो एक अभिन्न डोमेन नहीं है, अनुरूप निर्माण को स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) या भागफल की अंगूठी कहा जाता है।

परिभाषा

एक अभिन्न डोमेन दिया और दे रहा है $R^{*}=R\setminus \{0\}$, हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं $R\times R^{*}$ जैसे भी हो $(n,d)\sim (m,b)$ जब कभी भी $nb=md$. हम के समतुल्य वर्ग को निरूपित करते हैं $(n,d)$ द्वारा ${\frac {n}{d}}$. तुल्यता की यह धारणा परिमेय संख्याओं से प्रेरित है $\mathbb {Q}$, जिनके पास अंतर्निहित अंगूठी (गणित) के संबंध में समान संपत्ति है $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का।

तब भिन्न का क्षेत्र समुच्चय होता है ${\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim$ द्वारा दिए गए जोड़ के साथ

${\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}$ और गुणा द्वारा दिया गया

${\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.$

कोई जांच कर सकता है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं और किसी भी अभिन्न डोमेन के लिए $R$, ${\text{Frac}}(R)$ वास्तव में एक क्षेत्र है। विशेष रूप से, के लिए $n,d\neq 0$, का गुणक प्रतिलोम ${\frac {n}{d}}$ उम्मीद के मुताबिक है: ${\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1$.

की एम्बेडिंग $R$ में $\operatorname {Frac} (R)$ नक्शे प्रत्येक $n$ में $R$ अंश को ${\frac {en}{e}}$ किसी भी शून्य के लिए $e\in R$ (तुल्यता वर्ग पसंद से स्वतंत्र है $e$). यह पहचान पर आधारित है ${\frac {n}{1}}=n$.

के अंशों का क्षेत्र $R$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता है:

अगर $h:R\to F$ से एक इंजेक्शन रिंग समरूपता है $R$ एक मैदान में $F$, तो वहाँ एक अद्वितीय वलय समरूपता मौजूद है $g:\operatorname {Frac} (R)\to F$ जो फैलता है $h$.

इस निर्माण की एक श्रेणी सिद्धांत व्याख्या है। होने देना $\mathbf {C}$ अभिन्न डोमेन और इंजेक्शन रिंग मैप्स की श्रेणी (गणित) बनें। से ऑपरेटर $\mathbf {C}$ क्षेत्रों की श्रेणी के लिए जो प्रत्येक अभिन्न डोमेन को उसके अंश क्षेत्र में ले जाता है और प्रत्येक समरूपता को क्षेत्रों पर प्रेरित मानचित्र (जो सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा मौजूद है) के लिए क्षेत्रों की श्रेणी से समावेशन फ़ंक्टर का आसन्न फ़ंक्टर है $\mathbf {C}$. इस प्रकार फ़ील्ड्स की श्रेणी (जो एक पूर्ण उपश्रेणी है) की एक चिंतनशील उपश्रेणी है $\mathbf {C}$.

अभिन्न डोमेन की भूमिका के लिए गुणक पहचान की आवश्यकता नहीं है; यह निर्माण किसी भी शून्य रिंग कम्यूटेटिव आरएनजी (बीजगणित) पर लागू किया जा सकता है $R$ शून्येतर शून्य विभाजक के बिना। एम्बेडिंग द्वारा दिया गया है $r\mapsto {\frac {rs}{s}}$ किसी भी शून्य के लिए $s\in R$.

उदाहरण

• पूर्णांक # बीजीय_गुणों के वलय के अंशों का क्षेत्र परिमेय संख्या का क्षेत्र है: $\mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )$.
• होने देना $R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ गॉसियन पूर्णांकों का वलय हो। तब $\operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}$, गॉसियन परिमेय का क्षेत्र।
• किसी क्षेत्र के अंशों का क्षेत्र कैनोनिक रूप से क्षेत्र के लिए समरूपता है।
• एक क्षेत्र दिया $K$, एक अनिश्चित में बहुपद अंगूठी के अंशों का क्षेत्र $K[X]$ (जो एक अभिन्न डोमेन है), कहा जाता हैfield of rational functions, परिमेय भिन्नों का क्षेत्र, या परिमेय व्यंजकों का क्षेत्र और निरूपित किया जाता है $K(X)$.

सामान्यीकरण

स्थानीयकरण

Main article: Localization (commutative algebra)

किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी के लिए $R$ और कोई गुणक सेट $S$ में $R$, एक अंगूठी का स्थानीयकरण $S^{-1}R$ क्रमविनिमेय वलय है जिसमें भिन्न होते हैं

${\frac {r}{s}}$

साथ $r\in R$ और $s\in S$, अब किधर $(r,s)$ के बराबर है $(r',s')$ अगर और केवल अगर मौजूद है $t\in S$ ऐसा है कि $t(rs'-r's)=0$.

इसके दो विशेष मामले उल्लेखनीय हैं:

• अगर $S$ एक प्रमुख आदर्श का पूरक है $P$, तब $S^{-1}R$ भी अंकित किया जाता है $R_{P}$
  कब $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $P$ शून्य आदर्श है, $R_{P}$ के अंशों का क्षेत्र है $R$.
• अगर $S$ में गैर-शून्य-भाजक का सेट है $R$, तब $S^{-1}R$ को कुल भागफल वलय कहा जाता है।
  एक अभिन्न डोमेन का कुल भागफल वलय इसके अंशों का क्षेत्र होता है, लेकिन कुल भागफल वलय को किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए परिभाषित किया जाता है।

ध्यान दें कि इसकी अनुमति है $S$ 0 शामिल करने के लिए, लेकिन उस स्थिति में $S^{-1}R$ तुच्छ अंगूठी होगी।

अंशों का अर्धक्षेत्र

शून्य विभाजक के साथ एक [[क्रमविनिमेय मोटी हो जाओ]] के अंशों का सेमीफ़ील्ड सबसे छोटा सेमीफ़ील्ड है जिसमें यह एंबेडिंग हो सकता है।

कम्यूटेटिव सेमिरिंग के अंशों के सेमीफ़ील्ड के तत्व $R$ तुल्यता वर्ग के रूप में लिखे गए हैं

${\frac {a}{b}}$

साथ $a$ और $b$ में $R$.

यह भी देखें

• अयस्क की स्थिति; गैर क्रमविनिमेय मामले में अंशों के निर्माण से संबंधित शर्त।
• एक रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन; वैकल्पिक संरचना अभिन्न डोमेन तक सीमित नहीं है।
• अंशों का कुल वलय