पूर्णतः असंबद्ध

Not to be confused with extremally disconnected space.

संस्थितिविज्ञान और गणित की संबंधित शाखाओं में, पूर्णता वियोजित अंतर एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें उपसमुच्चय के रूप में जुड़ा हुआ स्थान, एकल होता है। प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस में, एकल समुच्चय सदैव जुड़े होते हैं और पूर्णता वियोजित अंतर में, ये एकमात्र सम्बद्ध उपसमुच्चय होता हैं।

पूर्णता वियोजित अंतर का एक महत्वपूर्ण उदाहरण कैंटर समुच्चय है, जो पी-एडिक पूर्णांकों के समुच्चय के समरूपी है। अन्य उदाहरण, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में पी-एडिक पूर्णांकों Q_p का क्षेत्र है।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस X पूर्णता वियोजित अंतर है यदि सम्बद्ध घटक X एकल-बिन्दु समुच्चय के भीतर हैं। तुलनात्मक रूप से अगर सभी घटक पथ एक-बिंदु समुच्चय हैं तो टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ पूर्णतः असंबद्ध हों जाएगा।

पूर्णतया अलग स्थान की एक और निकट संबंधित धारणा की है, यानी एक ऐसा स्थान जहां अर्ध-घटक एकल हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस X पूर्णता वियोजित अंतर है यदि सभी $x\in X$ के लिए $x$ एकल है समान रूप से, अलग-अलग बिंदुओं के प्रत्येक युग्मों के लिए $x,y\in X$, निकटवर्ती $U,V$ का $x,y$ ऐसा युग्म है कि $X=U\sqcup V$.

सभी पूर्णतया अलग स्थान स्पष्ट रूप से पूरी तरह से विच्छेदित है,परंतु इसका विपरीत मीट्रिक स्थान के लिए भी असंगत है। उदाहरण के लिए, यदि $X$ को कैंटर टीपी मान लिया जाए जो कि नस्टर-कुराटोस्की पंखा है, जिसके शीर्ष को हटा दिया गया है। तब $X$ पूरी तरह से विच्छेदित हो गया है, परंतु इसके अर्ध-घटक एकल नहीं हैं। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए दो धारणाएं समकक्ष हैं।

दुर्भाग्य से साहित्य में , पूर्णता वियोजित अंतर को कभी-कभी वंशानुगत रूप से विच्छेदित किया जाता है, जबकि 'पूर्णता वियोजित अंतर' शब्दावली का उपयोग पूरी तरह से विच्छेदित स्थानों के लिए किया जाता है।

उदाहरण

निम्नलिखित पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए रिक्त स्थान के उदाहरण हैं:

• असतत रिक्त स्थान
• परिमेय संख्याएँ
• अपरिमेय संख्याएँ
• पी-एडिक नंबर; अधिक आम तौर पर, सभी अनंत समूह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाते हैं।
• कैंटर समुच्चय और कैंटर स्पेस
• बायर स्पेस (समुच्चय थ्योरी)
• सोरगेनफ्रे लाइन
• छोटे आगमनात्मक आयाम 0 का प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है
• एर्डोस अंतरिक्ष ℓ^{2</उप>$\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$ एक पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया हौसडॉर्फ स्पेस है जिसमें छोटा आगमनात्मक आयाम 0 नहीं है।}
• अत्यधिक डिस्कनेक्ट किया गया स्थान हौसडॉर्फ रिक्त स्थान
• पत्थर की जगह
• Knaster-Kuratowski पंखा एक जुड़े हुए स्थान का एक उदाहरण प्रदान करता है, जैसे कि एक बिंदु को हटाने से पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान उत्पन्न होता है।

गुण

• सबस्पेस (टोपोलॉजी), उत्पाद टोपोलॉजी, और पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए रिक्त स्थान के विसंधित संघ (टोपोलॉजी) पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गए हैं।
• पूरी तरह से डिस्कनेक्ट स्पेस T1 स्पेस हैं|T₁ रिक्त स्थान, चूंकि एकल बंद हैं।
• पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए रिक्त स्थान की निरंतर छवियां पूरी तरह से डिस्कनेक्ट नहीं होती हैं, वास्तव में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट जगह मीट्रिक स्पेस कैंटर समुच्चय की निरंतर छवि होती है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस में छोटा आगमनात्मक आयाम 0 है अगर और केवल अगर यह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो।
• हर पूरी तरह से डिस्कनेक्ट कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस असतत रिक्त स्थान के एक गणनीय उत्पाद के सबसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है।
• यह आम तौर पर सच नहीं है कि पूर्णता वियोजित अंतर में हर खुला समुच्चय भी बंद है।
• यह आम तौर पर सच नहीं है कि पूर्णता वियोजित अंतर में हर खुले समुच्चय का बंद होना खुला है, यानी हर पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया हौसडॉर्फ स्पेस एक्सट्रीमली डिस्कनेक्टेड स्पेस नहीं है।

== किसी दिए गए स्थान == के पूरी तरह से डिस्कनेक्ट भागफल स्थान का निर्माण करना होने देना $X$ एक मनमाना सामयिक स्थान हो। होने देना $x\sim y$ अगर और केवल अगर $y\in \mathrm {conn} (x)$ (कहाँ $\mathrm {conn} (x)$ सबसे बड़े जुड़े हुए उपसमुच्चय को दर्शाता है $x$). यह स्पष्ट रूप से एक तुल्यता संबंध है जिसके तुल्यता वर्ग जुड़े हुए घटक हैं $X$. प्रदान करना $X/{\sim }$ भागफल टोपोलॉजी के साथ, यानी मानचित्र बनाने वाली बेहतरीन टोपोलॉजी $m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)$ निरंतर। थोड़े से प्रयास से हम इसे देख सकते हैं $X/{\sim }$ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है।

वास्तव में यह स्थान न केवल कुछ पूरी तरह से असंबद्ध भागफल है बल्कि एक निश्चित अर्थ में सबसे बड़ा है: निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण धारण करता है: किसी भी पूरी तरह से असंबद्ध स्थान के लिए $Y$ और कोई भी निरंतर मानचित्र $f:X\rightarrow Y$, एक अनूठा सतत नक्शा मौजूद है ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ साथ $f={\breve {f}}\circ m$.

यह भी देखें

• अत्यधिक डिस्कनेक्ट किया गया स्थान
• पूरी तरह से अलग समूह

संदर्भ

• Willard, Stephen (2004), General topology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350 (reprint of the 1970 original, MR0264581)