कोहोलॉजिकल आयाम

अमूर्त बीजगणित में, कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन एक समूह (गणित) का एक अपरिवर्तनीय है जो इसके अभ्यावेदन की समरूप जटिलता को मापता है। इसमें ज्यामितीय समूह सिद्धांत, टोपोलॉजी और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

एक समूह का कोहोलॉजिकल आयाम

अधिकांश कोहोमोलॉजिकल इनवेरिएंट्स के रूप में, कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन में गुणांक R की एक अंगूठी का विकल्प शामिल होता है, जिसमें R = 'Z', पूर्णांकों की अंगूठी द्वारा दिया गया एक प्रमुख विशेष मामला होता है। G को एक असतत समूह होने दें, R एक गैर-शून्य वलय (गणित) एक इकाई के साथ, और RG समूह वलय। समूह G में 'कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन कम या n के बराबर' है, जिसे cd के रूप में दर्शाया गया है_R(जी) ≤ एन, यदि तुच्छ आरजी-मॉड्यूल आर में लंबाई एन का प्रक्षेपी संकल्प है, यानी प्रक्षेपी मॉड्यूल आरजी-मॉड्यूल पी हैं₀, ..., पी_n और आरजी-मॉड्यूल समरूपता डी_k: पी_k$\to$P_k − 1 (के = 1, ..., एन) और डी₀: पी₀$\to$आर, जैसे कि डी की छवि_k d के कर्नेल के साथ मेल खाता है_k − 1 k = 1, ..., n और d की गिरी के लिए_n तुच्छ है।

समतुल्य रूप से, कोहोलॉजिकल आयाम एन से कम या उसके बराबर है यदि एक मनमाना आरजी-मॉड्यूल एम के लिए, एम में गुणांक वाले जी का समूह कोहोलॉजी डिग्री के> एन, यानी एच में गायब हो जाता है^k(G,M) = 0 जब भी k > n. अभाज्य p के लिए p-cohomological आयाम समान रूप से p-torsion समूहों H के संदर्भ में परिभाषित किया गया है^{कश्मीर}(जी,एम){p}. सबसे छोटा n ऐसा है कि G का कोहोलॉजिकल आयाम n से कम या उसके बराबर है, G का 'कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन' है (गुणांक R के साथ), जिसे निरूपित किया जाता है $n=\operatorname {cd} _{R}(G)$.

का एक मुक्त संकल्प $\mathbb {Z}$ एक अनुबंधित स्थान X पर समूह G की एक मुक्त कार्रवाई से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि X एक असतत समूह G की मुक्त कार्रवाई के साथ आयाम n का एक अनुबंधित CW परिसर है जो कोशिकाओं को क्रमबद्ध करता है, तो $\operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n$.

उदाहरण

उदाहरणों के पहले समूह में, गुणांकों की वलय R होने दें $\mathbb {Z}$.

• एक स्वतंत्र समूह का कोहोमोलॉजिकल आयाम एक होता है। जैसा कि जॉन स्टालिंग्स (अंतिम रूप से उत्पन्न समूह के लिए) और रिचर्ड स्वान (पूर्ण सामान्यता में) द्वारा दिखाया गया है, यह गुण मुक्त समूहों की विशेषता है। इस परिणाम को स्टालिंग्स-स्वान प्रमेय के रूप में जाना जाता है। समूह G के लिए स्टैलिंग्स-स्वान प्रमेय कहता है कि G मुक्त है यदि और केवल यदि G द्वारा एबेलियन कर्नेल के साथ प्रत्येक समूह विस्तार को विभाजित किया गया है।
• एक कॉम्पैक्ट जगह, जुड़ा हुआ स्थान, उन्मुखता रीमैन सतह के गोले के अलावा अन्य मौलिक समूह में कोहोलॉजिकल आयाम दो हैं।
• अधिक आम तौर पर, एक बंद, जुड़ा हुआ, ओरिएंटेबल एस्फेरिकल स्पेस कई गुना ऑफ़ डायमेंशन n के मूलभूत समूह में कोहोलॉजिकल डायमेंशन n होता है। विशेष रूप से, एक बंद ओरिएंटेबल हाइपरबॉलिक एन-मैनिफोल्ड के मौलिक समूह में कोहोलॉजिकल आयाम एन है।
• गैर-तुच्छ परिमित समूहों में अनंत कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन ओवर है $\mathbb {Z}$. अधिक आम तौर पर, गैर-तुच्छ मरोड़ (बीजगणित) वाले समूहों के लिए भी यही सच है।

अब एक सामान्य वलय R के मामले पर विचार करें।

• एक समूह G का कोहोमोलॉजिकल आयाम 0 है यदि और केवल यदि इसका समूह रिंग RG सेमीसिम्पल बीजगणित है। इस प्रकार एक परिमित समूह में कोहोलॉजिकल आयाम 0 है यदि और केवल यदि इसका क्रम (या, समतुल्य, इसके तत्वों के क्रम) आर में व्युत्क्रमणीय है।
• स्टैलिंग्स-स्वान प्रमेय का सामान्यीकरण $R=\mathbb {Z}$, मार्टिन डनवुडी ने साबित किया कि एक समूह के मनमाना रिंग R पर अधिक से अधिक एक कोहोमोलॉजिकल आयाम होता है, अगर और केवल अगर यह समूहों के एक जुड़े हुए ग्राफ का मौलिक समूह है, जिनके आदेश R में उलटे हैं।

एक क्षेत्र का कोहोलॉजिकल आयाम

एक क्षेत्र K का p-cohomological आयाम, K के एक वियोज्य बंद होने के Galois समूह का p-cohomological आयाम है। K का कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन सभी अभाज्य p पर p-कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन का सर्वोच्च है।

उदाहरण

• किसी क्षेत्र p की गैर-शून्य विशेषता वाले प्रत्येक क्षेत्र में अधिक से अधिक 1 p-cohomological आयाम होता है।
• प्रत्येक परिमित क्षेत्र में पूर्ण गैलोज समूह समरूपी होता है $\mathbf {\hat {Z}}$ और इसलिए कोहोलॉजिकल डायमेंशन 1 है।
• औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का क्षेत्र $k((t))$ गैर-शून्य विशेषता के एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर भी निरपेक्ष गैलोज़ समूह आइसोमोर्फिक है $\mathbf {\hat {Z}}$ और इसलिए कोहोमोलॉजिकल डायमेंशन 1।

यह भी देखें

• ईलेनबर्ग-गैनिया अनुमान
• ग्रुप कोहोलॉजी
• वैश्विक आयाम

संदर्भ

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