साधारण समूह

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बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत'
समूह सिद्धांत
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बुनियादी धारणाएँ
समूह समरूपता
परिमित समूह
परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण
टोपोलॉजिकल और झूठ समूह
बीजगणितीय समूह

गणित में, एक साधारण समूह एक गैर-तुच्छ समूह (गणित) होता है, जिसके केवल सामान्य उपसमूह तुच्छ समूह और स्वयं समूह होते हैं। एक समूह जो सरल नहीं है, उसे दो छोटे समूहों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात् एक गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह और संबंधित भागफल समूह। इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है, और परिमित समूहों के लिए अंततः जॉर्डन-होल्डर प्रमेय द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित सरल समूहों पर पहुंच जाता है।

2004 में पूर्ण परिमित सरल समूहों का पूर्ण वर्गीकरण, गणित के इतिहास में एक प्रमुख मील का पत्थर है।

उदाहरण

परिमित सरल समूह

चक्रीय समूह G = (Z/3Z, +) = Z3 सर्वांगसमता वर्गों का मॉडुलो ऑपरेशन 3 (मॉड्यूलर अंकगणितीय देखें) सरल है। यदि H इस समूह का एक उपसमूह है, तो इसका क्रम (समूह सिद्धांत) (तत्वों की संख्या) G के क्रम का भाजक होना चाहिए जो 3 है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसके केवल भाजक 1 और 3 हैं, इसलिए या तो H G है, या H तुच्छ समूह है। दूसरी ओर, समूह G = ('Z'/12'Z', +) = Z12 सरल नहीं है। 0, 4, और 8 मॉडुलो 12 के सर्वांगसमता वर्ग का सेट H क्रम 3 का एक उपसमूह है, और यह एक सामान्य उपसमूह है क्योंकि एबेलियन समूह का कोई भी उपसमूह सामान्य है। इसी प्रकार, पूर्णांकों का योज्य समूह (Z, +) सरल नहीं है; सम पूर्णांकों का समुच्चय एक गैर-तुच्छ उचित सामान्य उपसमूह है।[1] किसी भी एबेलियन समूह के लिए एक ही तरह के तर्क का उपयोग किया जा सकता है, यह समझने के लिए कि केवल सरल एबेलियन समूह प्रमुख संख्या क्रम के चक्रीय समूह हैं। गैर-अबेलियन सरल समूहों का वर्गीकरण बहुत कम तुच्छ है। सबसे छोटा नॉनबेलियन सरल समूह वैकल्पिक समूह ए है5 क्रम 60 का, और क्रम 60 का प्रत्येक सरल समूह A के लिए समूह समरूपता है5.[2] दूसरा सबसे छोटा नॉनबेलियन सरल समूह ऑर्डर 168 का प्रोजेक्टिव स्पेशल लीनियर ग्रुप PSL(2,7) है, और ऑर्डर 168 का हर सरल समूह PSL(2,7) के लिए आइसोमोर्फिक है।[3][4]


अनंत सरल समूह

अनंत प्रत्यावर्ती समूह, यानी पूर्णांकों के समान रूप से समर्थित क्रमपरिवर्तनों का समूह, A∞ साधारण है। इस समूह को परिमित सरल समूहों A के बढ़ते संघ के रूप में लिखा जा सकता हैn मानक एम्बेडिंग के संबंध में An → An+1. पीएसएल द्वारा अनंत सरल समूहों के उदाहरणों का एक और परिवार दिया गया हैn(एफ), जहां एफ एक अनंत क्षेत्र है और n ≥ 2.

सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत सरल समूहों का निर्माण करना अधिक कठिन है। पहला अस्तित्व परिणाम गैर-स्पष्ट है; यह ग्राहम हिगमैन के कारण है और इसमें हिगमैन समूह के सरल उद्धरण शामिल हैं।[5] स्पष्ट उदाहरण, जो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए जाते हैं, में अनंत थॉम्पसन समूह T और V शामिल हैं। बर्गर और मोज़ेस द्वारा परिमित रूप से प्रस्तुत मरोड़ (बीजगणित) | मरोड़-मुक्त अनंत सरल समूह बनाए गए थे।[6]


वर्गीकरण

सामान्य (अनंत) सरल समूहों के लिए अभी तक कोई ज्ञात वर्गीकरण नहीं है, और ऐसा कोई वर्गीकरण अपेक्षित नहीं है।

परिमित सरल समूह

Main article: list of finite simple groups
Further information: Classification of finite simple groups

परिमित सरल समूहों की सूची महत्वपूर्ण है क्योंकि एक निश्चित अर्थ में वे सभी परिमित समूहों के मूल निर्माण खंड हैं, कुछ हद तक समान हैं जिस तरह से अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के मूल निर्माण खंड हैं। यह जॉर्डन-होल्डर प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है जिसमें कहा गया है कि किसी दिए गए समूह की किन्हीं दो संरचना श्रृंखलाओं की समान लंबाई और समान कारक हैं, क्रमपरिवर्तन और समरूपता तक। एक विशाल सहयोगात्मक प्रयास में, 1983 में डेनियल गोरेंस्टीन द्वारा परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा घोषित किया गया था, हालांकि कुछ समस्याएं सामने आईं (विशेष रूप से क्वासिथिन समूहों के वर्गीकरण में, जिन्हें 2004 में प्लग किया गया था)।

संक्षेप में, परिमित सरल समूहों को 18 परिवारों में से एक या 26 अपवादों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया गया है:

  • झp - प्राइम ऑर्डर का चक्रीय समूह
  • एn - एन ≥ 5 के लिए वैकल्पिक समूह
    वैकल्पिक समूहों को एक तत्व के साथ क्षेत्र में झूठ प्रकार के समूह के रूप में माना जा सकता है, जो इस परिवार को अगले के साथ जोड़ता है, और इस प्रकार गैर-अबेलियन परिमित सरल समूहों के सभी परिवारों को झूठ प्रकार का माना जा सकता है।
  • झूठ प्रकार के समूहों के 16 परिवारों में से एक
    स्तन समूह को आम तौर पर इस रूप में माना जाता है, हालांकि सख्ती से बोलना यह झूठ प्रकार का नहीं है, बल्कि झूठ प्रकार के समूह में सूचकांक 2 है।
  • 26 अपवादों में से एक, छिटपुट समूह, जिनमें से 20 राक्षस समूह के उपसमूह या उपश्रेणी हैं और उन्हें खुशहाल परिवार कहा जाता है, जबकि शेष 6 को पारिया समूह कहा जाता है।

परिमित सरल समूहों की संरचना

वाल्टर फीट और जॉन जी थॉम्पसन के प्रसिद्ध फीट-थॉम्पसन प्रमेय में कहा गया है कि विषम क्रम का प्रत्येक समूह हल करने योग्य समूह है। इसलिए, प्रत्येक परिमित सरल समूह में सम कोटि होती है जब तक कि वह अभाज्य कोटि का चक्रीय न हो।

श्रेयर अनुमान का दावा है कि प्रत्येक परिमित सरल समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का समूह हल करने योग्य है। यह वर्गीकरण प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

परिमित सरल समूहों के लिए इतिहास

परिमित सरल समूहों के इतिहास में दो धागे हैं - विशिष्ट सरल समूहों और परिवारों की खोज और निर्माण, जो 1820 के दशक में गैलोज़ के काम से लेकर 1981 में मॉन्स्टर के निर्माण तक हुआ; और सबूत है कि यह सूची पूर्ण थी, जो 19वीं शताब्दी में शुरू हुई, सबसे महत्वपूर्ण रूप से 1955 से 1983 तक हुई (जब शुरुआत में जीत घोषित की गई थी), लेकिन आम तौर पर केवल 2004 में समाप्त होने पर सहमति हुई थी। As of 2010, सबूतों और समझ को बेहतर बनाने का काम जारी है; देखना (Silvestri 1979) 19वीं सदी के साधारण समूहों के इतिहास के लिए।

निर्माण

सरल समूहों का अध्ययन कम से कम प्रारंभिक गैल्वा सिद्धांत के बाद से किया गया है, जहां एवरिस्ट गैलोइस ने महसूस किया कि तथ्य यह है कि पांच या अधिक बिंदुओं पर वैकल्पिक समूह सरल हैं (और इसलिए हल करने योग्य नहीं हैं), जिसे उन्होंने 1831 में सिद्ध किया था, यही कारण था कि कोई नहीं कर सका मूलांक में पंचक को हल करें। गाल्वा ने एक प्रमुख परिमित क्षेत्र पर एक विमान के प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह का भी निर्माण किया, PSL(2,p), और टिप्पणी की कि वे p नहीं 2 या 3 के लिए सरल थे। यह शेवेलियर को लिखे उनके अंतिम पत्र में निहित है,[7] और परिमित सरल समूहों का अगला उदाहरण हैं।[8] अगली खोज 1870 में केमिली जॉर्डन द्वारा की गई।[9] जॉर्डन ने प्राइम ऑर्डर के परिमित क्षेत्रों पर सरल मैट्रिक्स समूहों के 4 परिवार पाए थे, जिन्हें अब शास्त्रीय समूहों के रूप में जाना जाता है।

लगभग उसी समय, यह दिखाया गया था कि पाँच समूहों का एक परिवार, जिसे मैथ्यू समूह कहा जाता है और पहली बार 1861 और 1873 में एमिल लियोनार्ड मैथ्यू द्वारा वर्णित किया गया था, वह भी सरल था। चूंकि इन पांच समूहों का निर्माण उन तरीकों से किया गया था जो असीम रूप से कई संभावनाएं पैदा नहीं करते थे, उन्हें विलियम बर्नसाइड ने अपनी 1897 की पाठ्यपुस्तक में छिटपुट समूह कहा था।

बाद में शास्त्रीय समूहों पर जॉर्डन के परिणामों को विल्हेम हत्या द्वारा जटिल सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के बाद, लियोनार्ड डिक्सन द्वारा मनमाना परिमित क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत किया गया। डिक्सन ने टाइप जी के अपवाद समूहों का भी निर्माण किया2 और E6 (गणित)|E6साथ ही, लेकिन F प्रकार का नहीं4, और7, या ई8 (Wilson 2009, p. 2). 1950 के दशक में लाई प्रकार के समूहों पर काम जारी रखा गया था, जिसमें क्लाउड चेवेली ने 1955 के पेपर में शास्त्रीय समूहों और असाधारण प्रकार के समूहों का एक समान निर्माण किया था। इसने कुछ ज्ञात समूहों (प्रक्षेपी एकात्मक समूहों) को छोड़ दिया, जो कि शेवेलली निर्माण को घुमाकर प्राप्त किए गए थे। लाई प्रकार के शेष समूह स्टाइनबर्ग, टिट्स और हर्ज़िग द्वारा निर्मित किए गए (जिन्होंने उत्पादन किया 3डी4(क्यू) और 2</सुप>ई6(क्यू)) और सुजुकी और री (सुजुकी-री समूह) द्वारा।

इन समूहों (लाइ प्रकार के समूह, चक्रीय समूहों, वैकल्पिक समूहों और पांच असाधारण मैथ्यू समूहों के साथ) को एक पूरी सूची माना जाता था, लेकिन 1964 में मैथ्यू के काम के बाद से लगभग एक सदी की खामोशी के बाद, पहले जांको समूह की खोज की गई थी, और शेष 20 छिटपुट समूहों की खोज या अनुमान 1965-1975 में लगाया गया था, जिसका समापन 1981 में हुआ, जब रॉबर्ट ग्रिस ने घोषणा की कि उन्होंने बर्न फिशर (गणितज्ञ) के मॉन्स्टर समूह का निर्माण किया था। द मॉन्स्टर 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 के ऑर्डर वाला सबसे बड़ा छिटपुट सरल समूह है। द मॉन्स्टर का 196,884-आयामी ग्रिज बीजगणित में एक वफादार 196,883-आयामी प्रतिनिधित्व है, जिसका अर्थ है कि राक्षस के प्रत्येक तत्व को 196,883 गुणा 196,883 मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

वर्गीकरण

पूर्ण वर्गीकरण को आम तौर पर 1962-63 के फीट-थॉम्पसन प्रमेय से शुरू होने के रूप में स्वीकार किया जाता है, जो मोटे तौर पर 1983 तक चलता है, लेकिन केवल 2004 में समाप्त हो रहा है।

1981 में मॉन्स्टर के निर्माण के तुरंत बाद, 10,000 से अधिक पृष्ठों का एक प्रमाण प्रदान किया गया था कि समूह सिद्धांतकारों ने 1983 में डैनियल गोरेनस्टीन द्वारा घोषित जीत के साथ परिमित सरल समूहों की सूची सफलतापूर्वक बनाई थी। यह समय से पहले था - कुछ अंतराल बाद में खोजे गए, विशेष रूप से क्वासिथिन समूहों के वर्गीकरण में, जिन्हें अंततः 2004 में क्वासिथिन समूहों के 1,300 पृष्ठ वर्गीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे अब आम तौर पर पूर्ण रूप से स्वीकार किया जाता है।

सरलता के लिए टेस्ट

साइलो प्रमेय # उदाहरण अनुप्रयोग | साइलो का परीक्षण: चलो n एक सकारात्मक पूर्णांक है जो अभाज्य नहीं है, और p को n का एक प्रधान भाजक होने दें। यदि 1 n का एकमात्र विभाजक है जो 1 सापेक्ष p के अनुरूप है, तो क्रम n का एक साधारण समूह मौजूद नहीं है।

प्रमाण: यदि n एक प्रधान-शक्ति है, तो क्रम n के समूह में एक गैर-तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) है[10] और इसलिए सरल नहीं है। यदि n एक प्रमुख शक्ति नहीं है, तो प्रत्येक साइलो उपसमूह उचित है, और, साइलो प्रमेय | साइलो के तीसरे प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि क्रम n के समूह के साइलो पी-उपसमूहों की संख्या 1 मॉड्यूलो पी के बराबर है और एन को विभाजित करती है . चूंकि 1 एकमात्र ऐसी संख्या है, साइलो पी-उपसमूह अद्वितीय है, और इसलिए यह सामान्य है। चूंकि यह एक उचित, गैर-पहचान उपसमूह है, समूह सरल नहीं है।

बर्नसाइड: एक गैर-एबेलियन परिमित सरल समूह का क्रम कम से कम तीन अलग-अलग प्राइम्स से विभाज्य है। यह बर्नसाइड के प्रमेय से आता है।

यह भी देखें

संदर्भ

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Knapp (2006), p. 170
  2. ↑ Rotman (1995), p. 226
  3. ↑ Rotman (1995), p. 281
  4. ↑ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
  5. ↑ Higman, Graham (1951), "A finitely generated infinite simple group", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 26 (1): 61–64, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN 0024-6107, MR 0038348
  6. ↑ Burger, M.; Mozes, S. (2000). "Lattices in product of trees". Publ. Math. IHES. 92: 151–194. doi:10.1007/bf02698916.
  7. ↑ Galois, Évariste (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI: 408–415, retrieved 2009-02-04, PSL(2,p) and simplicity discussed on p. 411; exceptional action on 5, 7, or 11 points discussed on pp. 411–412; GL(ν,p) discussed on p. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
  8. ↑ Wilson, Robert (October 31, 2006), "Chapter 1: Introduction", The finite simple groups
  9. ↑ Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques
  10. ↑ See the proof in p-group, for instance.


पाठ्यपुस्तकें

  • Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
  • Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics, vol. 148, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
  • Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series (2 ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8


कागजात

  • Silvestri, R. (September 1979), "Simple groups of finite order in the nineteenth century", Archive for History of Exact Sciences, 20 (3–4): 313–356, doi:10.1007/BF00327738

श्रेणी:समूहों के गुण

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