ज्यामितीय समूह सिद्धांत

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दो जनरेटर के साथ एक मुक्त समूह का केली ग्राफ। यह एक अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है जिसकी ग्रोमोव सीमा एक कैंटर सेट है। अतिशयोक्तिपूर्ण समूह और उनकी सीमाएं ज्यामितीय समूह सिद्धांत में महत्वपूर्ण विषय हैं, जैसा कि केली ग्राफ हैं।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत गणित में एक ऐसा क्षेत्र है जो ऐसे समूह (गणित) के बीजगणितीय गुणों और रिक्त स्थान के टोपोलॉजी और ज्यामिति गुणों के बीच संबंधों की खोज के माध्यम से अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिस पर ये समूह समूह क्रिया (गणित) (अर्थात, जब विचाराधीन समूहों को ज्यामितीय समरूपता या कुछ स्थानों के निरंतर परिवर्तन के रूप में महसूस किया जाता है)।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक अन्य महत्वपूर्ण विचार यह है कि सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों को स्वयं ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में माना जाए। यह आमतौर पर समूहों के केली ग्राफ़ का अध्ययन करके किया जाता है, जो ग्राफ़ (असतत गणित) संरचना के अतिरिक्त, तथाकथित शब्द मीट्रिक द्वारा दिए गए मीट्रिक स्थान की संरचना के साथ संपन्न होते हैं।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत, एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में, अपेक्षाकृत नया है, और 1980 के दशक के अंत और 1990 के दशक की शुरुआत में गणित की स्पष्ट रूप से पहचान योग्य शाखा बन गया। ज्यामितीय समूह सिद्धांत निम्न-आयामी टोपोलॉजी, हाइपरबोलिक ज्यामिति, बीजगणितीय टोपोलॉजी, कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत और अंतर ज्यामिति के साथ निकटता से संपर्क करता है। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत, गणितीय तर्क, झूठ समूहों के अध्ययन और उनके असतत उपसमूहों, गतिशील प्रणालियों, संभाव्यता सिद्धांत, के-सिद्धांत और गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ भी पर्याप्त संबंध हैं।

हार्प स्टोन ने अपनी पुस्तक टॉपिक्स इन ज्योमेट्रिक ग्रुप थ्योरी के परिचय में लिखा है: मेरी व्यक्तिगत मान्यताओं में से एक यह है कि समरूपता और समूहों के साथ आकर्षण जीवन की सीमाओं की कुंठाओं से निपटने का एक तरीका है: हम समरूपता को पहचानना पसंद करते हैं जो हमें जो हम देख सकते हैं उससे अधिक पहचानने की अनुमति देते हैं। इस अर्थ में ज्यामितीय समूह सिद्धांत का अध्ययन संस्कृति का एक हिस्सा है, और मुझे कई चीजों की याद दिलाता है जो गेर्गेस डी रहम ने कई अवसरों पर अभ्यास किया, जैसे कि गणित पढ़ाना, स्टीफन मल्लार्मे का पाठ करना या किसी मित्र का अभिवादन करना।[1]: 3 


इतिहास

ज्योमेट्रिक समूह सिद्धांत संयोजी समूह सिद्धांत से विकसित हुआ, जिसने समूह की प्रस्तुति का विश्लेषण करके असतत समूहों के गुणों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया, जो समूहों को मुक्त समूहों के भागफल समूह के रूप में वर्णित करता है; 1880 के दशक की शुरुआत में फेलिक्स क्लेन के छात्र वाल्थर वॉन डाइक द्वारा पहली बार इस क्षेत्र का व्यवस्थित अध्ययन किया गया था।[2] जबकि एक प्रारंभिक रूप विलियम रोवन हैमिल्टन के 1856 के आइकोसियन कैलकुलस में पाया जाता है, जहां उन्होंने द्वादशफ़लक के किनारे के ग्राफ के माध्यम से आईकोसाहेड्रल समरूपता समूह का अध्ययन किया। वर्तमान में संयोजी समूह सिद्धांत एक क्षेत्र के रूप में काफी हद तक ज्यामितीय समूह सिद्धांत द्वारा समाहित है। इसके अलावा, ज्यामितीय समूह सिद्धांत शब्द में प्रायिकता, माप सिद्धांत | माप-सैद्धांतिक, अंकगणित, विश्लेषणात्मक और अन्य दृष्टिकोणों का उपयोग करते हुए असतत समूहों का अध्ययन करना शामिल है जो पारंपरिक संयोजी समूह सिद्धांत शस्त्रागार के बाहर हैं।

20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में, मैक्स डेहन, जैकब नीलसन (गणितज्ञ), कर्ट रिडेमिस्टर और ओटो श्रेयर, जे.एच.सी. व्हाइटहेड, एगबर्ट वैन कम्पेन, के अग्रणी कार्य ने असतत समूहों के अध्ययन में कुछ सामयिक और ज्यामितीय विचारों को पेश किया।[3] ज्यामितीय समूह सिद्धांत के अन्य अग्रदूतों में लघु रद्दीकरण सिद्धांत और बास-सेरे सिद्धांत शामिल हैं। 1960 के दशक में मार्टिन ग्रिंडलिंगर द्वारा छोटा रद्दीकरण सिद्धांत पेश किया गया था[4][5] और आगे रोजर लिंडन और पॉल शूप द्वारा विकसित किया गया।[6] यह वैन कम्पेन आरेखों का अध्ययन करता है, परिमित समूह प्रस्तुतियों के अनुरूप, संयोजी वक्रता स्थितियों के माध्यम से और इस तरह के विश्लेषण से समूहों के बीजगणितीय और एल्गोरिथम गुणों को प्राप्त करता है। बास-सेरे सिद्धांत, 1977 में सेरे की पुस्तक में पेश किया गया,[7] ट्री (ग्राफ सिद्धांत) पर समूह क्रियाओं का अध्ययन करके समूहों के बारे में संरचनात्मक बीजगणितीय जानकारी प्राप्त करता है। ज्यामितीय समूह सिद्धांत के बाहरी अग्रदूतों में झूठ समूहों में जाली का अध्ययन, विशेष रूप से मोस्टो की कठोरता प्रमेय, क्लेनियन समूहों का अध्ययन, और 1970 के दशक और 1980 के दशक की शुरुआत में निम्न-आयामी टोपोलॉजी और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में प्राप्त प्रगति, विशेष रूप से, शामिल हैं। विलियम थर्स्टन के ज्यामितिक अनुमान द्वारा।

गणित के एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय समूह सिद्धांत का उद्भव आमतौर पर 1980 के दशक के अंत और 1990 के दशक के प्रारंभ में हुआ। यह 1987 में मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) हाइपरबॉलिक समूहों के मोनोग्राफ <रेफ नाम = एम. ग्रोमोव, 1987, पीपी। ), एमएसआरआई पब्लिक। 8, 1987, पीपी. 75-263.</ref> जिसने एक अतिपरवलयिक समूह (जिसे शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण या ग्रोमोव-अतिशयोक्तिपूर्ण या नकारात्मक रूप से घुमावदार समूह के रूप में भी जाना जाता है) की धारणा पेश की, जो बड़े आकार वाले एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह के विचार को पकड़ता है -स्केल नकारात्मक वक्रता, और उसके बाद के मोनोग्राफ अनंत समूहों के स्पर्शोन्मुख आक्रमणकारियों द्वारा, रेफरी>मिखाइल ग्रोमोव, जियोमेट्रिक ग्रुप थ्योरी, वॉल्यूम में अनंत समूहों के असिम्प्टोटिक इनवेरिएंट्स। 2 (ससेक्स, 1991), लंदन मैथमैटिकल सोसाइटी लेक्चर नोट सीरीज़, 182, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 1993, पीपी। 1–295। #Q|क्वैसी-आइसोमेट्री। ग्रोमोव के काम का असतत समूहों के अध्ययन पर परिवर्तनकारी प्रभाव पड़ा रेफरी>इलिया कपोविच और नादिया बेनकली। अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों की सीमाएं। संयोजी और ज्यामितीय समूह सिद्धांत (न्यूयॉर्क, 2000/होबोकन, एनजे, 2001), पीपी। 39-93, समकालीन। मठ., 296, आमेर. गणित। समाज, प्रोविडेंस, आरआई, 2002। परिचय से: पिछले पंद्रह वर्षों में ज्यामितीय समूह सिद्धांत ने तेजी से विकास और तेजी से बढ़ते प्रभाव का आनंद लिया है। इस प्रगति में से अधिकांश एमएल ग्रोमोव [समूह सिद्धांत में निबंध, 75-263, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 1987; ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, वॉल्यूम। 2 (ससेक्स, 1991), 1–295, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी। प्रेस, कैम्ब्रिज, 1993], जिन्होंने शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत को आगे बढ़ाया है (जिसे ग्रोमोव-अतिशयोक्तिपूर्ण या नकारात्मक घुमावदार समूह भी कहा जाता है)। </रेफरी>[8][9] और वाक्यांश ज्यामितीय समूह सिद्धांत इसके तुरंत बाद दिखाई देने लगा। (उदाहरण के लिए देखें[10]).

आधुनिक विषय और विकास

1990 और 2000 के दशक में ज्यामितीय समूह सिद्धांत में उल्लेखनीय विषयों और विकास में शामिल हैं:

  • ग्रोमोव का कार्यक्रम समूहों के अर्ध-सममितीय गुणों का अध्ययन करने के लिए।
क्षेत्र में एक विशेष रूप से प्रभावशाली व्यापक विषय मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) का कार्यक्रम है[11] किसी समूह के जनरेटिंग सेट को वर्गीकृत करने के लिए उनके बड़े पैमाने पर ज्यामिति के अनुसार अंतिम रूप से उत्पन्न समूह। औपचारिक रूप से, इसका अर्थ है रिमेंनियन की शब्दावली और मीट्रिक ज्यामिति #Q|quasi-isometry तक उनके शब्द मीट्रिक के साथ अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों को वर्गीकृत करना। इस कार्यक्रम में शामिल हैं:
  1. क्वैसी-आइसोमेट्री के तहत अपरिवर्तनीय गुणों का अध्ययन। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों के ऐसे गुणों के उदाहरणों में शामिल हैं: एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह की वृद्धि दर (समूह सिद्धांत); देह फलन#आइसोपेरिमेट्रिक फलन या सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह का वैन कम्पेन आरेख; अंत की संख्या (टोपोलॉजी) # रेखांकन और समूहों के अंत; अतिशयोक्तिपूर्ण समूह; हाइपरबॉलिक समूह की ग्रोमोव सीमा का होमियोमोर्फिज्म प्रकार;[12] अति सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों की सीमाएँ (उदाहरण के लिए देखें[13][14]); एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह का उत्तरदायी समूह; वस्तुतः एबेलियन समूह होना (अर्थात, एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का एबेलियन उपसमूह होना); वस्तुतः निलपोटेंट समूह होने के नाते; वस्तुतः मुक्त समूह होना; अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह; समूहों के लिए हल करने योग्य शब्द समस्या के साथ एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत करने योग्य समूह होना; और दूसरे।
  2. प्रमेय जो समूहों के बारे में बीजगणितीय परिणामों को साबित करने के लिए अर्ध-आइसोमेट्री इनवेरिएंट का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए: बहुपद विकास के समूहों पर ग्रोमोव का प्रमेय|ग्रोमोव का बहुपद विकास प्रमेय; समूहों के सिरों के बारे में स्टॉलिंग्स प्रमेय | स्टॉलिंग्स प्रमेय समाप्त करता है; मोस्टो कठोरता प्रमेय।
  3. अर्ध-सममितीय कठोरता प्रमेय, जिसमें कोई बीजगणितीय रूप से सभी समूहों को वर्गीकृत करता है जो किसी दिए गए समूह या मीट्रिक स्थान के लिए अर्ध-सममितीय हैं। इस दिशा की शुरुआत रिचर्ड श्वार्ट्ज (गणितज्ञ) द्वारा रैंक-वन लैटिस की अर्ध-सममितीय कठोरता पर की गई थी।[15] और बॉम्सलैग-सोलिटर समूहों की अर्ध-सममितीय कठोरता पर बेंसन रंग और ली मोशर का कार्य।[16]
  • अतिपरवलयिक समूह का सिद्धांत|शब्द-अतिपरवलयिक और अपेक्षाकृत अतिपरवलयिक समूह समूह। यहां एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण विकास 1990 के दशक में ज़िल सेला का काम है, जिसके परिणामस्वरूप शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के लिए समूह समरूपता समस्या का समाधान हुआ।[17] अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों की धारणा मूल रूप से 1987 में ग्रोमोव द्वारा पेश की गई थी <रेफरी नाम = एम. ग्रोमोव, 1987, पीपी। 75-263 /> और फार्ब द्वारा परिष्कृत[18] और ब्रायन बॉडिच,[19] 1990 में। 2000 के दशक में अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के अध्ययन को प्रमुखता मिली।
  • गणितीय तर्क के साथ परस्पर क्रिया और मुक्त समूहों के प्रथम-क्रम सिद्धांत का अध्ययन। सेला के कार्य के कारण प्रसिद्ध फ्री ग्रुप # टार्स्की 27 की समस्याओं पर विशेष रूप से महत्वपूर्ण प्रगति हुई[20] साथ ही ओल्गा खारलामपोविच और एलेक्सी मायसनिकोव।[21] सीमा समूहों के अध्ययन और भाषा और गैर-अनुक्रमिक बीजगणितीय ज्यामिति की मशीनरी का परिचय | गैर-अनुक्रमिक बीजगणितीय ज्यामिति ने प्रमुखता प्राप्त की।
  • कंप्यूटर विज्ञान, जटिलता सिद्धांत और औपचारिक भाषाओं के सिद्धांत के साथ सहभागिता। यह विषय स्वत: समूहों के सिद्धांत के विकास से उदाहरण है,[22] एक धारणा जो एक निश्चित रूप से उत्पन्न समूह में गुणन संक्रिया पर कुछ ज्यामितीय और भाषा सिद्धांत संबंधी शर्तों को लागू करती है।
  • आइसोपेरिमेट्रिक असमानताओं का अध्ययन, डीएचएन प्रकार्य और सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए उनका सामान्यीकरण। इसमें, विशेष रूप से, जीन-केमिली बिरगेट, अलेक्सांद्र ओलशांस्की, एलियाहू चीरता है और मार्क सपिर का काम शामिल है।[23][24] अनिवार्य रूप से सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूहों के संभावित डीएचएन कार्यों को चिह्नित करना, साथ ही आंशिक डीएचएन कार्यों वाले समूहों के स्पष्ट निर्माण प्रदान करने वाले परिणाम।[25]
  • तोरल या JSJ अपघटन का सिद्धांत | 3-कई गुना के लिए JSJ-अपघटन मूल रूप से पीटर क्रॉफोलर द्वारा एक समूह सैद्धांतिक सेटिंग में लाया गया था।[26] यह धारणा कई लेखकों द्वारा सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों दोनों के लिए विकसित की गई है।[27][28][29][30][31]
  • ज्यामितीय विश्लेषण के साथ संबंध, असतत समूहों से जुड़े सी*-अलजेब्रा का अध्ययन और मुक्त संभाव्यता का सिद्धांत। इस विषय का प्रतिनिधित्व, विशेष रूप से, नोविकोव अनुमान और बॉम-कॉन्स अनुमान पर काफी प्रगति और संबंधित समूह-सैद्धांतिक धारणाओं के विकास और अध्ययन जैसे कि टोपोलॉजिकल एमेनेबिलिटी, एसिम्प्टोटिक डायमेंशन, हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एकसमान एम्बेडिंग, तेजी से क्षय संपत्ति, के रूप में किया जाता है। और इसी तरह (उदाहरण के लिए देखें[32][33][34]).
  • मेट्रिक स्पेस पर क्वैसिकोनफॉर्मल विश्लेषण के सिद्धांत के साथ सहभागिता, विशेष रूप से कैनन के अनुमान के संबंध में ग्रोमोव बाउंड्री होमियोमॉर्फिक टू द 2-स्फीयर के साथ हाइपरबोलिक समूहों के लक्षण वर्णन के संबंध में।[35][36][37]
  • परिमित उपखंड नियम, तोप के अनुमान के संबंध में भी।[38]
  • विभिन्न कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान और समूह कॉम्पैक्टिफिकेशन, विशेष रूप से अभिसरण समूह विधियों पर असतत समूहों के कार्यों के अध्ययन के संदर्भ में सामयिक गतिशीलता के साथ सहभागिता[39][40]
  • असली पेड़ पर समूह क्रियाओं के सिद्धांत का विकास|-पेड़ (विशेष रूप से रिप्स मशीन), और इसके अनुप्रयोग।[41]
  • CAT(0) स्पेस और CAT(0) क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स पर ग्रुप एक्शन का अध्ययन,[42]अलेक्जेंड्रोव ज्यामिति के विचारों से प्रेरित।
  • निम्न-आयामी टोपोलॉजी और अतिपरवलयिक ज्यामिति के साथ सहभागिता, विशेष रूप से 3-कई गुना समूहों का अध्ययन (देखें, उदाहरण के लिए,[43]), सतहों, चोटी समूहों और क्लेनियन समूहों के वर्ग समूहों की मैपिंग।
  • यादृच्छिक समूह सैद्धांतिक वस्तुओं (समूहों, समूह तत्वों, उपसमूहों, आदि) के बीजगणितीय गुणों का अध्ययन करने के लिए संभाव्य तरीकों का परिचय। यहां एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण विकास ग्रोमोव का काम है जिसने साबित करने के लिए संभाव्य तरीकों का इस्तेमाल किया[44] एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह का अस्तित्व जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष में समान रूप से एम्बेड करने योग्य नहीं है। अन्य उल्लेखनीय विकासों में जेनेरिक-केस जटिलता की धारणा का परिचय और अध्ययन शामिल है[45] सामान्य समूहों के लिए समूह-सैद्धांतिक और अन्य गणितीय एल्गोरिदम और बीजगणितीय कठोरता के परिणाम।[46]
  • अनंत जड़ वाले वृक्षों के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में ऑटोमेटा समूहों और पुनरावृत्त मोनोड्रोमी समूहों का अध्ययन। विशेष रूप से, ग्रिगोरचुक के मध्यवर्ती विकास के समूह और उनके सामान्यीकरण इस संदर्भ में दिखाई देते हैं।[47][48]
  • माप स्थानों पर समूह क्रियाओं के माप-सैद्धांतिक गुणों का अध्ययन, विशेष रूप से माप तुल्यता और कक्षा तुल्यता की धारणाओं का परिचय और विकास, साथ ही मोस्टो कठोरता के माप-सैद्धांतिक सामान्यीकरण।[49][50]
  • असतत समूहों और कज़दान की संपत्ति (टी) के एकात्मक प्रतिनिधित्व का अध्ययन[51]
  • आउट का अध्ययन (एफn) (रैंक एन के एक मुक्त समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह) और मुक्त समूहों के अलग-अलग ऑटोमोर्फिज्म। परिचय और Culler-Vogtmann के बाह्य अंतरिक्ष (समूह सिद्धांत) का अध्ययन[52] और ट्रेन ट्रैक के सिद्धांत (गणित)[53] नि: शुल्क समूह ऑटोमोर्फिज्म के लिए यहां विशेष रूप से प्रमुख भूमिका निभाई गई।
  • बास-सेरे सिद्धांत का विकास, विशेष रूप से विभिन्न अभिगम्यता परिणाम[54][55][56] और वृक्ष जाली का सिद्धांत।[57] बास-सेरे सिद्धांत का सामान्यीकरण जैसे समूहों के परिसरों का सिद्धांत।[42]
  • समूहों और संबंधित सीमा सिद्धांत पर यादृच्छिक चलने का अध्ययन, विशेष रूप से पॉइसन सीमा की धारणा (उदाहरण के लिए देखें।[58]). अनुमन्य समूह और उन समूहों का अध्ययन जिनकी प्रत्यास्थता स्थिति अभी भी अज्ञात है।
  • परिमित समूह सिद्धांत के साथ सहभागिता, विशेष रूप से उपसमूह वृद्धि के अध्ययन में प्रगति।[59]
  • रैखिक समूहों में उपसमूहों और जाली का अध्ययन करना, जैसे , और अन्य झूठ समूहों के माध्यम से, ज्यामितीय विधियों (जैसे बिल्डिंग (गणित)), बीजगणितीय ज्यामिति | बीजगणित-ज्यामितीय उपकरण (जैसे बीजगणितीय समूह और प्रतिनिधित्व किस्में), विश्लेषणात्मक विधियों (जैसे हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकात्मक प्रतिनिधित्व) और अंकगणितीय तरीके।
  • समूह कोहोलॉजी, बीजगणितीय और टोपोलॉजिकल विधियों का उपयोग करते हुए, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी के साथ बातचीत और मोर्स सिद्धांत के उपयोग को शामिल करना। कॉम्बीनेटरियल संदर्भ में मोर्स-सैद्धांतिक विचार; बड़े पैमाने पर, या मोटे (उदाहरण देखें।[60]) होमोलॉजिकल और कोहोलॉजिकल तरीके।
  • बर्नसाइड समस्या जैसे पारंपरिक कॉम्बिनेटरियल ग्रुप थ्योरी विषयों पर प्रगति,[61][62] Coxeter समूहों और Artin समूहों का अध्ययन, और इसी तरह (वर्तमान में इन प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ अक्सर ज्यामितीय और सामयिक हैं)।

उदाहरण

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में निम्नलिखित उदाहरणों का अक्सर अध्ययन किया जाता है:

  • अनुकूल समूह
  • बर्नसाइड समूह
  • अनंत चक्रीय समूह पूर्णांक
  • मुक्त समूह
  • मुफ्त उत्पाद
  • बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह आउट(Fn)|आउट(Fn) (बाह्य अंतरिक्ष (समूह सिद्धांत) के माध्यम से)
  • अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
  • मानचित्रण वर्ग समूह (सतहों के automorphisms)
  • सममित समूह
  • ब्रैड समूह
  • कॉक्सेटर समूह
  • जनरल आर्टिन समूह
  • थॉम्पसन समूह | थॉम्पसन का समूह एफ
  • कैट (0) समूह
  • अंकगणितीय समूह
  • स्वचालित समूह
  • फ्यूचियन समूह, क्लेनियन समूह, और अन्य समूह सममित रिक्त स्थान पर ठीक से काम कर रहे हैं, विशेष रूप से लैटिस (असतत उपसमूह) सेमीसिम्पल लाइ समूहों में।
  • वॉलपेपर समूह
  • बॉमस्लैग–सोलिटर समूह
  • समूहों का ग्राफ
  • ग्रिगोरचुक समूह


यह भी देखें

संदर्भ

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पुस्तकें और मोनोग्राफ

ये ग्रंथ ज्यामितीय समूह सिद्धांत और संबंधित विषयों को कवर करते हैं।


बाहरी संबंध

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