बाइकोर्न

For the hat, see Bicorne. For the mythical beast, see Bicorn and Chichevache.

बाइकोर्न

ज्यामिति में, बाइकोर्न, जिसे बाइकोर्न के समानता के कारण एक कॉकड टोपी वक्र के रूप में भी जाना जाता है, समीकरण द्वारा परिभाषित एक तर्कसंगत वक्र क्वार्टिक विमान वक्र है

$$y^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)=\left(x^{2}+2ay-a^{2}\right)^{2}.$$

इसमें दो पुच्छ (विलक्षणता) हैं और y-अक्ष के बारे में सममित है।

इतिहास

1864 में, जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने वक्र का अध्ययन किया

$$y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$$

क्विंटिक समीकरणों के वर्गीकरण के संबंध में; उन्होंने वक्र को एक बाइकोर्न नाम दिया क्योंकि इसमें दो क्यूप्स हैं। 1867 में आर्थर केली द्वारा इस वक्र का और अध्ययन किया गया।

गुण

ए = 1 के साथ एक रूपांतरित बाइकोर्न

बाइकोर्न डिग्री चार और ज्यामितीय जीनस शून्य का बीजगणितीय वक्र है। वास्तविक तल में इसकी दो कुच्छ विलक्षणताएँ हैं, और x = 0, z = 0 पर जटिल प्रक्षेपी तल में एक दोहरा बिंदु है। यदि हम x = 0 और z = 0 को मूल स्थान पर ले जाते हैं और बाइकोर्न वक्र में y के लिए ix/z और x के लिए 1/z को प्रतिस्थापित करके x bu पर एक काल्पनिक रोटेशन करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

$$\left(x^{2}-2az+a^{2}z^{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.$$

यह वक्र, एक लिमाकॉन, मूल में एक साधारण दोहरा बिंदु है, और जटिल विमान में दो नोड हैं x = ± i और z = 1. द्विश्रृंगी वक्र के पैरामीट्रिक समीकरण हैं

$$x=a\sin(\theta )$$

और

$$y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}$$

साथ $-\pi \leq \theta \leq \pi$.

यह भी देखें

• वक्रों की सूची

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Bicorn". MathWorld.