यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र

गणित में, अधिक विशेष रूप से अंगूठी सिद्धांत में, एक यूक्लिडियन डोमेन (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) एक अभिन्न डोमेन है जिसे #परिभाषा के साथ संपन्न किया जा सकता है जो पूर्णांकों के यूक्लिडियन डिवीजन के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इस सामान्यीकृत यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के वलय (गणित) में यूक्लिड के मूल कलन विधि के समान कई उपयोगों के लिए रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन डोमेन में, महानतम सामान्य विभाजक की गणना करने के विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू किया जा सकता है # किसी भी दो के क्रमविनिमेय छल्ले में तत्व। विशेष रूप से, किसी भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद है और इसे रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है उनमें से (बेज़ाउट की पहचान)। यूक्लिडियन डोमेन में भी हर आदर्श (रिंग थ्योरी) प्रमुख आदर्श है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का अर्थ है: प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक अद्वितीय कारक डोमेन है।

यूक्लिडियन डोमेन के वर्ग (सेट सिद्धांत) की तुलना प्रमुख आदर्श डोमेन (पीआईडी) के बड़े वर्ग के साथ करना महत्वपूर्ण है। एक मनमाने ढंग से पीआईडी ​​​​में यूक्लिडियन डोमेन (या, वास्तव में, पूर्णांकों की अंगूठी के भी) के समान संरचनात्मक गुण हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन डिवीजन के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात है, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग सबसे बड़ी गणना करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य विभाजक और बेज़ाउट की पहचान। विशेष रूप से, एक क्षेत्र (गणित) पर एक चर में पूर्णांकों और बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के लिए कुशल एल्गोरिदम का अस्तित्व कंप्यूटर बीजगणित में बुनियादी महत्व का है।

अतः, पूर्णांकीय प्रांत दिया गया है R, यह जानना अक्सर बहुत उपयोगी होता है R एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि R एक पीआईडी ​​है। हालाँकि, यदि कोई स्पष्ट यूक्लिडियन फ़ंक्शन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या R यह एक यूक्लिडियन डोमेन है या नहीं यह निर्धारित करने की तुलना में एक पीआईडी ​​​​आम तौर पर एक बहुत आसान समस्या है।

यूक्लिडियन डोमेन उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

होने देना R एक अभिन्न डोमेन हो। एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन ऑन R एक कार्य है (गणित) f से R \ {0} गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए निम्नलिखित मौलिक विभाजन-साथ-शेष संपत्ति को संतुष्ट करते हैं:

• (EF1) अगर a और b में हैं R और b अशून्य है, तो वहाँ मौजूद हैं q और r में R ऐसा है कि a = bq + r और या तो r = 0 या f (r) < f (b).

यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के साथ संपन्न किया जा सकता है। एक विशेष यूक्लिडियन समारोह f यूक्लिडियन डोमेन की परिभाषा का हिस्सा नहीं है, जैसा कि, सामान्य तौर पर, एक यूक्लिडियन डोमेन कई अलग-अलग यूक्लिडियन कार्यों को स्वीकार कर सकता है।

इस संदर्भ में, q और r का भागफल और शेष भाग (या यूक्लिडियन विभाजन) कहलाते हैं a द्वारा b. पूर्णांकों और बहुपदों के मामले के विपरीत, भागफल आमतौर पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल चुना जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त संपत्ति रखने के लिए एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है:

• (EF2) सभी अशून्य के लिए a और b में R, f (a) ≤ f (ab).

हालाँकि, कोई यह दिखा सकता है कि यूक्लिडियन डोमेन को परिभाषित करने के लिए अकेले (EF1) पर्याप्त है; अगर एक अभिन्न डोमेन R एक समारोह से संपन्न है g संतोषजनक (EF1), फिर R (EF1) और (EF2) दोनों को एक साथ संतुष्ट करने वाले फलन से भी संपन्न किया जा सकता है। दरअसल, के लिए a में R \ {0} , कोई परिभाषित कर सकता है f (a) निम्नलिखित नुसार:

$f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)$

शब्दों में परिभाषित कर सकते हैं f (a) द्वारा प्राप्त न्यूनतम मूल्य होना g द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श के सभी गैर-शून्य तत्वों के सेट पर a.

एक यूक्लिडियन समारोह f गुणक है अगर f (ab) = f (a) f (b) और f (a) कभी शून्य नहीं होता। यह इस प्रकार है कि f (1) = 1. आम तौर पर अधिक, f (a) = 1 अगर और केवल अगर a एक इकाई (रिंग थ्योरी) है।

परिभाषा पर नोट्स

कई लेखक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे डिग्री फ़ंक्शन, वैल्यूएशन फ़ंक्शन, गेज फ़ंक्शन या मानदंड फ़ंक्शन। कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन को संपूर्ण रिंग होने की भी आवश्यकता होती है R;हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (EF1) में का मान शामिल नहीं है f (0). यूक्लिडियन फ़ंक्शन को किसी भी सुव्यवस्थित सेट में इसके मान लेने की अनुमति देकर परिभाषा को कभी-कभी सामान्यीकृत किया जाता है; यह कमजोर होना यूक्लिडियन संपत्ति के सबसे महत्वपूर्ण प्रभावों को प्रभावित नहीं करता है।

संपत्ति (ईएफ 1) को निम्नानुसार बहाल किया जा सकता है: किसी भी प्रमुख आदर्श के लिए I का R अशून्य जनरेटर के साथ bभागफल वलय के सभी अशून्य वर्ग R/I एक प्रतिनिधि हो r साथ f (r) < f (b). के संभावित मूल्यों के बाद से f सुव्यवस्थित हैं, यह संपत्ति दिखाकर स्थापित की जा सकती है f (r) < f (b) किसी के लिए r ∉ I के न्यूनतम मूल्य के साथ f (r) इसकी कक्षा में। ध्यान दें कि, एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए जो इतना स्थापित है, निर्धारित करने के लिए एक प्रभावी विधि मौजूद नहीं है q और r में (EF1)।

उदाहरण

यूक्लिडियन डोमेन के उदाहरणों में शामिल हैं:

• किसी भी क्षेत्र। परिभाषित करना f (x) = 1 सभी अशून्य के लिए x.
• Z, पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना f (n) = |n|, का निरपेक्ष मान n.
• Z[ i ], गाऊसी पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना f (a + bi) = a² + b², गाऊसी पूर्णांक का क्षेत्र मानदंड a + bi.
• Z[ω] (कहाँ ω एकता की जड़ है # सामान्य परिभाषा (गैर-वास्तविक संख्या) एकता का घनमूल), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना f (a + bω) = a² − ab + b², आइज़ेंस्टीन पूर्णांक का मानदंड a + bω.
• K[X], एक क्षेत्र पर बहुपद वलय (गणित) K. प्रत्येक अशून्य बहुपद के लिए P, परिभाषित करना f (P) के बहुपद की कोटि होना P.
• K[[X]], क्षेत्र के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय K. प्रत्येक अशून्य शक्ति श्रृंखला के लिए P, परिभाषित करना f (P) के क्रम (शक्ति श्रृंखला) के रूप में P, की सबसे छोटी शक्ति की डिग्री है X में होने वाला P. विशेष रूप से, दो अशून्य शक्ति श्रृंखला के लिए P और Q, f (P) ≤ f (Q) अगर और केवल अगर P औपचारिक शक्ति श्रृंखला#विभाजन श्रृंखला Q.
• कोई असतत मूल्यांकन रिंग। परिभाषित करना f (x) अधिकतम आदर्श की उच्चतम शक्ति होना M युक्त x. समान रूप से, चलो g का जनक हो M, और v अद्वितीय पूर्णांक हो जैसे कि g ^v का संबद्ध तत्व है x, फिर परिभाषित करें f (x) = v. पिछला उदाहरण K[[X]] इसका एक विशेष मामला है।
• एक डेडेकिंड डोमेन जिसके पास निश्चित रूप से कई शून्य आदर्श अभाज्य गुणजावली हैं P₁, ..., P_n. परिभाषित करना $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$, कहाँ v_i आदर्श के अनुरूप असतत मूल्यांकन है P_i.

यूक्लिडियन डोमेन नहीं होने वाले डोमेन के उदाहरणों में शामिल हैं:

• प्रत्येक डोमेन जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम से कम दो अनिश्चित में बहुपदों की अंगूठी, या पूर्णांक गुणांक वाले अविभाजित बहुपदों की अंगूठी, या संख्या की अंगूठी Z[ √−5 ].
• के पूर्णांकों का वलय Q( √−19 ), संख्याओं से मिलकर a + b√−19/2 कहाँ a और b पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जो यूक्लिडियन नहीं है।
• अंगूठी A = R[X, Y]/(X² + Y² + 1) एक प्रमुख आदर्श डोमेन भी है वह यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक गैर-शून्य प्राइम के लिए $p\in A$, नक्शा $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ भागफल मानचित्र द्वारा प्रेरित $A\to A/p$ विशेषण नहीं है।

गुण

मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f एक यूक्लिडियन फलन है। तब:

• R एक प्रमुख आदर्श डोमेन (PID) है। वास्तव में, यदि I, R का एक शून्येतर आदर्श (रिंग थ्योरी) है तो I\\ {0} का कोई भी तत्व f(a) के न्यूनतम मान (उस सेट पर) के साथ I का एक जनरेटर है। एक परिणाम के रूप में आर भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और एक नोथेरियन रिंग है। सामान्य प्रमुख आदर्श डोमेन के संबंध में, गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R एक परमाणु डोमेन है) यूक्लिडियन डोमेन में गणितीय प्रमाण के लिए विशेष रूप से आसान है: एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन f संतोषजनक (EF2) चुनना, x का इससे अधिक में कोई अपघटन नहीं हो सकता f(x) नॉनयूनिट फैक्टर्स, इसलिए x से शुरू होकर और बार-बार रिड्यूसिबल फैक्टर्स को डीकंपोज करने से अलघुकरणीय तत्व में फैक्टराइजेशन पैदा होता है।
• R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f संतोषजनक (EF2) चुना जाता है, तो इसका विलोम (तर्क) भी धारण करता है, और f अपना न्यूनतम मान ठीक R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर लेता है। .
• यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेष की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के मामले में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।
• यदि एक यूक्लिडियन डोमेन एक क्षेत्र नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक तत्व है: कोई भी तत्व x जो a से विभाज्य नहीं है, उसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस अजीब संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आदर्श डोमेन यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि सभी पीआईडी ​​​​में यह संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, d = -19, -43, -67, -163 के लिए, पूर्णांकों का वलय $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ एक पीआईडी ​​है जो है not यूक्लिडियन, लेकिन मामले d = −1, −2, −3, −7, −11 are यूक्लिडियन।

हालांकि, तुच्छ समूह आदर्श वर्ग समूह के साथ क्यू के कई परिमित विस्तार में, पूर्णांकों की अंगूठी यूक्लिडियन है (जरूरी नहीं कि क्षेत्र मानदंड के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। विस्तारित रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, यदि K Q का एक परिमित क्षेत्र विस्तार है और K के पूर्णांकों का वलय अनंत इकाइयों के साथ एक PID है, तो पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन है। विशेष रूप से यह तुच्छ वर्ग समूह के साथ पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र द्विघात क्षेत्र के मामले में लागू होता है। इसके अलावा (और ईआरएच को मानने के बिना), यदि क्षेत्र के 'क्यू' का गैलोइस विस्तार है, तो छोटे वर्ग समूह और डिरिचलेट की इकाई प्रमेय तीन से सख्ती से अधिक है, तो पूर्णांक की अंगूठी यूक्लिडियन है। इसका एक तात्कालिक परिणाम यह है कि यदि संख्या क्षेत्र Q के ऊपर गाल्वा है, इसका वर्ग समूह तुच्छ है और विस्तार में 8 से अधिक क्षेत्र विस्तार की डिग्री है तो पूर्णांकों का वलय आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।

नॉर्म-यूक्लिडियन क्षेत्र

बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड K उन पर एक विहित मानदंड फ़ंक्शन के साथ आते हैं: फ़ील्ड मानक N का निरपेक्ष मान जो एक बीजगणितीय तत्व α को α के सभी संयुग्मित तत्व (फ़ील्ड सिद्धांत) के उत्पाद में ले जाता है। यह मानदंड एक संख्या क्षेत्र K के पूर्णांकों के वलय को मैप करता है, O कहते हैं_K, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, इसलिए यह इस अंगूठी पर यूक्लिडियन मानदंड होने का उम्मीदवार है। यदि यह मानदंड एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है। कड़ाई से बोलना यह पूर्णांकों का वलय है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड तुच्छ रूप से यूक्लिडियन डोमेन हैं, लेकिन शब्दावली मानक है।

यदि कोई क्षेत्र मानदंड-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि क्षेत्र मानदंड यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

• वे जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$
• वे जो मुख्य हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$
• वे जो यूक्लिडियन हैं और मानक-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$
• वे जो मानक-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक (के पूर्णांक $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$)

मानदंड-यूक्लिडियन द्विघात क्षेत्रों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है; वे हैं $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ कहाँ $d$ मान लेता है

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sequence A048981 in the OEIS).

प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन है और पिछली सूची में पहले पांच क्षेत्रों में से एक है।

यह भी देखें

• मूल्यांकन (बीजगणित)

संदर्भ

• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3.
• Samuel, Pierre (1971). "About Euclidean rings" (PDF). Journal of Algebra. 19 (2): 282–301. doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4.