बहु-मूल्यवान तर्क

बहु-मूल्यवान तर्क (बहु- या बहु-मूल्यवान तर्क भी) प्रस्तावपरक कलन को संदर्भित करता है जिसमें दो से अधिक सत्य मान होते हैं। परंपरागत रूप से, अरस्तू की तार्किक कलन में, किसी भी तर्कवाक्य के लिए केवल दो संभावित मान (अर्थात, सत्य और असत्य) थे। मौलिक द्वि-मूल्यवान तर्क को 2 से अधिक n के लिए n-मूल्यवान तर्क तक बढ़ाया जा सकता है। साहित्य में सबसे लोकप्रिय हैं तीन-मूल्यवान तर्क (उदाहरण के लिए, लुकासिविक्ज़ और क्लेन, जो "सत्य", "गलत", और "मानों को अज्ञात स्वीकार करते हैं), चार-मूल्यवान तर्क, नौ-मूल्यवान तर्क, परिमित-मूल्यवान तर्क (परिमित-कई मूल्यवान) ) तीन से अधिक मानों के साथ, और अनंत-मूल्यवान तर्क (अनंत-अनेक-मूल्यवान), जैसे फजी लॉजिक और संभाव्य तर्क हैं।

इतिहास

यह गलत है कि पहले ज्ञात मौलिक तर्कशास्त्री, जिन्होंने बहिष्कृत मध्य के नियम को पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया था, वह अरस्तू थे (जिन्हें, विडंबना यह है कि सामान्यतः पहले मौलिक तर्कशास्त्री और [दो- मूल्यवान] तर्कशास्त्र के पिता" भी माना जाता है)। वास्तव में, अरस्तू ने बहिष्कृत मध्य के नियम की सार्वभौमिकता का विरोध नहीं किया था, किन्तु द्विसंयोजक सिद्धांत की सार्वभौमिकता: उन्होंने स्वीकार किया कि यह सिद्धांत सभी भविष्य की घटनाओं पर प्रायुक्त नहीं होता (डी इंटरप्रिटेशन, अध्याय IX) ), किन्तु उन्होंने इस पृथक टिप्पणी की व्याख्या करने के लिए बहु-मूल्यवान तर्क की व्यवस्था नहीं बनाई। 20वीं सदी के आने तक, बाद के तर्कशास्त्रियों ने अरिस्टोटेलियन तर्कशास्त्र का अनुसरण किया, जिसमें बहिष्कृत मध्य का नियम सम्मिलित है या मान लिया गया है।

20वीं शताब्दी बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र के विचार को वापस लेकर आई। पोलिश तर्कशास्त्री और दार्शनिक जन लुकासिविक्ज़ ने 1920 में अरस्तू की भविष्य की आकस्मिकताओं की समस्या से निपटने के लिए, तीसरे मूल्य का उपयोग करते हुए, बहु-मूल्यवान तर्क की प्रणालियाँ बनाना प्रारंभ किया। इस बीच, अमेरिकी गणितज्ञ, एमिल पोस्ट|एमिल एल. पोस्ट (1921) ने भी n ≥ 2 के साथ अतिरिक्त सत्य डिग्री के सूत्रीकरण की प्रारंभ की, जहाँ n सत्य मान हैं। बाद में, जन लुकासिविक्ज़ और अल्फ्रेड टार्स्की ने मिलकर n ≥ 2 सत्य मानों पर तर्क तैयार किया। 1932 में, हंस रीचेनबैक ने कई सत्य मानों का तर्क तैयार किया जहाँ n→∞। 1932 में कर्ट गोडेल ने दिखाया कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क बहुत-बहुत मूल्यवान तर्क नहीं है, और गोडेल तर्कशास्त्र की प्रणाली को परिभाषित किया जो मौलिक तर्क और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीच मध्यवर्ती है; ऐसे लॉजिक्स को मध्यवर्ती तर्क के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

Main articles: तीन-मूल्यवान तर्क, चार-मूल्यवान तर्क, and नौ-मूल्यवान तर्क

क्लीन (शक्तिशाली) K₃ और पुजारी तर्क P₃

स्टीफन कोल क्लेन का (शक्तिशाली) अनिश्चितता का तर्क K₃ (कभी-कभी $K_{3}^{S}$) और ग्राहम पुजारी का विरोधाभास का तर्क तीसरा अपरिभाषित या अनिश्चित सत्य मूल्य जोड़ता है I. सत्य निषेध (¬) के लिए कार्य करता है, तार्किक संयोजन (∧), संयोजन (∨), सामग्री सशर्त (→K), और द्विशर्त (↔K) द्वारा दिया गया है:

¬   T F I I F T

∧ T I F T T I F I I I F F F F F

∨ T I F T T T T I T I I F T I F

→K T I F T T I F I T I I F T T T

↔K T I F T T I F I I I I F F I T

दो लॉजिक्स के बीच का अंतर निहित है कि कैसे टॉटोलॉजी (तर्क) को परिभाषित किया जाता है। K₃ में केवल T निर्दिष्ट सत्य मान है, चूँकि में P₃ दोनों T और I दोनों हैं (तार्किक सूत्र को पुनरुक्ति माना जाता है यदि यह निर्दिष्ट सत्य मान का मूल्यांकन करता है)। क्लेन के तर्क में I "अल्पनिर्धारित" होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, न तो सत्य और न ही गलत, चूँकि प्रीस्ट के तर्क में I "अतिनिर्धारित" होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जो सत्य और असत्य दोनों हैं। K₃ में कोई पुनरुक्ति नहीं है, चूँकि P₃ में मौलिक द्वि-मूल्यवान तर्क के समान ही पुनरुक्ति है।।

बोचवर का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क

अन्य तर्क दिमित्री बोचवार का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क $B_{3}^{I}$ है, जिसे क्लेन का कमजोर तीन-मूल्यवान तर्क भी कहा जाता है। निषेध और द्विप्रतिबंध को छोड़कर, इसकी सत्य तालिकाएँ उपरोक्त सभी से भिन्न हैं।

∧+ T I F T T I F I I I I F F I F

∨+ T I F T T I T I I I I F T I F

→+ T I F T T I F I I I I F T I T

बोचवार के आंतरिक तर्क में मध्यवर्ती सत्य मान को संक्रामक के रूप में वर्णित किया जा सकता है क्योंकि यह किसी अन्य चर के मान की परवाह किए बिना सूत्र में प्रसारित होता है।

बेलनाप तर्क (B₄)

न्युएल बेलनाप का तर्क B₄ K₃ और P₃ को जोड़ती है. अतिनिर्धारित सत्य मान को यहाँ B और अधोनिर्धारित सत्य मान को N के रूप में दर्शाया गया है।

f¬   T F B B N N F T

f∧ T B N F T T B N F B B B F F N N F N F F F F F F

f∨ T B N F T T T T T B T B T B N T T N N F T B N F

गोडेल लॉजिक्स G_kऔर G_∞

1932 में कर्ट गोडेल ने कई-मूल्यवान लॉजिक्स के एक परिवार परिवार $G_{k}$ को परिभाषित किया, जिसमें बहुत से सत्य मान $0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1$ है, उदाहरण के लिए $G_{3}$ सत्य मूल्य $0,{\tfrac {1}{2}},1$ और $G_{4}$ है $0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1$ हैं. इसी प्रकार उन्होंने तर्क को असीम रूप से कई सत्य मूल्यों $G_{\infty }$ के साथ परिभाषित किया, जिसमें सत्य मान $[0,1]$ अंतराल में सभी वास्तविक संख्याएँ हैं. इन लॉजिक्स में निर्दिष्ट सत्य मान 1 है।

संयोजन $\wedge$ और वियोग $\vee$ क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम ऑपरेंड के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}$

नकार $\neg _{G}$ और निहितार्थ ${\xrightarrow[{G}]{}}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}$

गोडेल लॉजिक्स पूरी तरह से स्वयंसिद्ध हैं, अर्थात् यह कहना संभव है कि तार्किक कलन को परिभाषित करना संभव है जिसमें सभी पुनरुत्पादन सिद्ध होते हैं। उपरोक्त निहितार्थ इस तथ्य से परिभाषित अद्वितीय हेयटिंग निहितार्थ है कि सुप्रीमा और मिनिमा ऑपरेशन अनंत वितरण नियम के साथ पूर्ण जाली बनाते हैं, जो जाली पर अद्वितीय पूर्ण हेटिंग बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है।

लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स L_v और L_∞

निहितार्थ ${\xrightarrow[{L}]{}}$ और निषेध ${\underset {L}{\neg }}$ जन लुकासिविक्ज़ द्वारा निम्नलिखित कार्यों के माध्यम से परिभाषित किया गया था:

${\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}$

सबसे पहले लुकासिविक्ज़ ने 1920 में अपने तीन-मूल्यवान तर्क $L_{3}$ के लिए इन परिभाषाओं का उपयोग किया, सत्य मूल्यों के साथ $0,{\frac {1}{2}},1$. 1922 में उन्होंने अपरिमित रूप से अनेक मानों वाला तर्क $L_{\infty }$ विकसित किया, जिसमें सत्य मान $[0,1]$ अंतराल में वास्तविक संख्याओं को फैलाते हैं. दोनों स्थितियों में नामित सत्य मान 1 था।

गोडेल लॉजिक्स के लिए उसी प्रकार परिभाषित सत्य मूल्यों को अपनाने से $0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1$, लॉजिक्स $L_{v}$ का अंतिम-मूल्यवान परिवार बनाना संभव है, उपर्युक्त $L_{\infty }$ और तर्क $L_{\aleph _{0}}$, जिसमें अंतराल में परिमेय संख्याओं द्वारा सत्य मान $[0,1]$ दिए जाते हैं. में टॉटोलॉजी का समुच्चय $L_{\infty }$ और $L_{\aleph _{0}}$ समान है।

उत्पाद तर्क Π

उत्पाद तर्क में हमारे पास अंतराल में सत्य मूल्य हैं $[0,1]$, संयोजन $\odot$ और निहितार्थ ${\xrightarrow[{\Pi }]{}}$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त नकारात्मक नामित मूल्य है ${\overline {0}}$ जो असत्य की अवधारणा को दर्शाता है। इस मूल्य के माध्यम से निषेध ${\underset {\Pi }{\neg }}$ को परिभाषित करना संभव है और अतिरिक्त संयोजन ${\underset {\Pi }{\wedge }}$ निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v\right)\end{aligned}}$

और तब $u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v=\min\{u,v\}$.

पोस्ट लॉजिक्स P_m

1921 में एमिल लियोन पोस्ट ने लॉजिक्स के परिवार को परिभाषित किया $P_{m}$ के साथ (के रूप में $L_{v}$ और $G_{k}$) सत्य मान $0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1$. नकार ${\underset {P}{\neg }}$ और संयोजन ${\underset {P}{\wedge }}$ और विच्छेदन ${\underset {P}{\vee }}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}$

रोज लॉजिक्स

1951 में, एलन रोज़ ने उन प्रणालियों के लिए लॉजिक्स के और परिवार को परिभाषित किया, जिनके सत्य-मूल्य जाली (आदेश सिद्धांत) का निर्माण करते हैं।

मौलिक तर्क से संबंध

लॉजिक्स सामान्यतः ऐसे प्रणाली होते हैं जिनका उद्देश्य परिवर्तनों के समय प्रस्तावों की कुछ सिमेंटिक गुण को संरक्षित करने के लिए नियमों को संहिताबद्ध करना होता है। मौलिक तर्क में, यह गुण सत्य है। वैध तर्क में, व्युत्पन्न प्रस्ताव की सच्चाई की गारंटी दी जाती है यदि परिसर संयुक्त रूप से सत्य हैं, क्योंकि वैध चरणों का प्रयोग गुण को संरक्षित करता है। चूँकि, वह गुण सत्य का होना आवश्यक नहीं है; किन्तु यह कोई अन्य अवधारणा हो सकती है।

बहु-मूल्यवान लॉजिक्स का उद्देश्य पदनाम (या नामित) की गुण को संरक्षित करना है। चूंकि दो से अधिक सत्य मूल्य हैं, अनुमान के नियमों का उद्देश्य सत्य के अनुरूप (प्रासंगिक अर्थ में) से अधिक को संरक्षित करना हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन-मूल्य वाले तर्क में, कभी-कभी दो सबसे बड़े सत्य-मान (जब उन्हें सकारात्मक पूर्णांक के रूप में दर्शाया जाता है) निर्दिष्ट किए जाते हैं और अनुमान के नियम इन मूल्यों को संरक्षित करते हैं। संक्षेप में, वैध तर्क ऐसा होगा कि संयुक्त रूप से लिए गए परिसर का मूल्य हमेशा निष्कर्ष से कम या उसके बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, संरक्षित गुण औचित्य हो सकती है, अंतर्ज्ञानवादी तर्क की मूलभूत अवधारणा। इस प्रकार, प्रस्ताव सही या गलत नहीं है; इसके अतिरिक्त, यह उचित या त्रुटिपूर्ण है। इस स्थितियों में, औचित्य और सत्य के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि बहिष्कृत मध्य का नियम पकड़ में नहीं आता है: प्रस्ताव जो त्रुटिपूर्ण नहीं है वह आवश्यक रूप से उचित नहीं है; इसके अतिरिक्त, यह केवल सिद्ध नहीं है कि यह त्रुटिपूर्ण है। मुख्य अंतर संरक्षित गुण की निर्धारकता है: कोई यह सिद्ध कर सकता है कि पी न्यायोचित है, कि पी त्रुटिपूर्ण है, या या तो सिद्ध करने में असमर्थ है। वैध तर्क परिवर्तनों में औचित्य को बरकरार रखता है, इसलिए न्यायसंगत प्रस्तावों से प्राप्त प्रस्ताव अभी भी उचित है। चूँकि, मौलिक तर्क में ऐसे प्रमाण हैं जो बहिष्कृत मध्य के नियम पर निर्भर करते हैं; चूँकि वह नियम इस योजना के अनुसार प्रयोग करने योग्य नहीं है, ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें इस प्रकार से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

सुज़्को की थीसिस

See also: प्रतिद्वंद्विता का सिद्धांत §  सुज़्को की थीसिस

बहु-मूल्यवान लॉजिक्स की कार्यात्मक पूर्णता

कार्यात्मक पूर्णता शब्द है जिसका प्रयोग परिमित लॉजिक्स और बीजगणित की विशेष गुण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। संयोजकों के तर्क समुच्चय को क्रियात्मक रूप से पूर्ण या पर्याप्त कहा जाता है यदि और केवल तभी जब संयोजकों के समुच्चय का उपयोग प्रत्येक संभव सत्य फलन के अनुरूप सूत्र बनाने के लिए किया जा सकता है। पर्याप्त बीजगणित वह है जिसमें चर के प्रत्येक परिमित मानचित्रण को उसके संचालन की कुछ संरचना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

क्लासिकल लॉजिक: CL = ({0,1}, ¬, →, ∨, ∧, ↔) कार्यात्मक रूप से पूर्ण है, चूँकि कोई लुकासिविक्ज़ लॉजिक या असीम रूप से कई-मूल्यवान लॉजिक में यह गुण नहीं है।

हम L_n ({1, 2, ..., n} ƒ₁, ..., ƒ_m) के रूप में बहुत से मूल्यवान तर्क को परिभाषित कर सकते हैं जहां n ≥ 2 दी गई प्राकृत संख्या है। एमिल लियोन पोस्ट (1921) सिद्ध करता है कि एक तर्क मानते हुए किसी भी m^वी ऑर्डर मॉडल के एक फ़ंक्शन का उत्पादन करने में सक्षम है, एक पर्याप्त तर्क L_n में संयोजकों का कुछ संगत संयोजन होता है जो ऑर्डर m+1 के मॉडल का उत्पादन कर सकता है।

अनुप्रयोग

बहु-मूल्यवान तर्क के ज्ञात अनुप्रयोगों को मोटे तौर पर दो समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है। बाइनरी समस्याओं को अधिक कुशलता से समाधान करने के लिए पहला समूह कई-मूल्यवान तर्क का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, बहु-आउटपुट बूलियन फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रसिद्ध दृष्टिकोण इसके आउटपुट भाग को एकल-मूल्यवान चर के रूप में व्यवहार करना और इसे एकल-आउटपुट विशेषता फ़ंक्शन (विशेष रूप से, संकेतक फ़ंक्शन) में परिवर्तित करना है। बहु-मूल्यवान लॉजिक के अन्य अनुप्रयोगों में इनपुट डिकोडर्स के साथ प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी (पीएलए) का डिज़ाइन, परिमित अवस्था मशीनों का अनुकूलन, परीक्षण और सत्यापन सम्मिलित हैं।

दूसरा समूह इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन को लक्षित करता है जो संकेतों के दो से अधिक असतत स्तरों को नियोजित करता है, जैसे कि कई-मूल्यवान यादें, अंकगणितीय सर्किट और क्षेत्र में प्रोग्राम की जा सकने वाली द्वार श्रंखला (एफपीजीए)। बहु-मूल्यवान परिपथों में मानक बाइनरी परिपथों की तुलना में कई सैद्धांतिक लाभ हैं। उदाहरण के लिए, यदि सर्किट में सिग्नल केवल दो के अतिरिक्त चार या अधिक स्तर ग्रहण करते हैं, तो इंटरकनेक्ट ऑन और ऑफ चिप को कम किया जा सकता है। मेमोरी डिज़ाइन में, प्रति मेमोरी सेल में बिट सूचना के अतिरिक्त दो स्टोर करने से उसी डाई (एकीकृत सर्किट) आकार में मेमोरी का घनत्व दोगुना हो जाता है। अंकगणित सर्किट का उपयोग करने वाले अनुप्रयोग अधिकांश बाइनरी नंबर प्रणाली के विकल्प का उपयोग करने से लाभान्वित होते हैं। उदाहरण के लिए, अवशेष संख्या प्रणाली और निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व रिपल-कैरी योजक को कम या समाप्त कर सकता है जो सामान्य बाइनरी जोड़ या घटाव में सम्मिलित होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उच्च-गति अंकगणितीय संचालन होते हैं। इन संख्या प्रणालियों में कई मूल्यवान सर्किटों का उपयोग करके प्राकृतिक कार्यान्वयन होता है। चूंकि, इन संभावित लाभों की व्यावहारिकता अधिक सीमा तक सर्किट प्राप्तियों की उपलब्धता पर निर्भर करती है, जो वर्तमान मानक प्रौद्योगिकियों के साथ संगत या प्रतिस्पर्धी होनी चाहिए। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन में सहायता के अतिरिक्त, दोषों और दोषों के लिए सर्किट का परीक्षण करने के लिए कई-मूल्यवान तर्क का विस्तृत रूप से उपयोग किया जाता है। मूल रूप से डिजिटल सर्किट परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले सभी ज्ञात स्वचालित परीक्षण पैटर्न पीढ़ी (एटीजी) एल्गोरिदम को सिम्युलेटर की आवश्यकता होती है जो 5-मूल्यवान तर्क (0, 1, x, D, D') को समाधान कर सके। अतिरिक्त मान-x, D, और D'- (1) अज्ञात/असंरंभीकृत, (2) 1 के अतिरिक्त 0, और (3) 0 के अतिरिक्त 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अनुसंधान स्थान

मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक (ISMVL) पर IEEE अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी 1970 से प्रतिवर्ष आयोजित की जाती रही है। यह ज्यादातर डिजिटल डिजाइन और सत्यापन में अनुप्रयोगों को पूरा करती है। जर्नल ऑफ़ मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक एंड सॉफ्ट कंप्यूटिंग जर्नल भी है।

यह भी देखें

गणितीय तर्क

• सत्य की डिग्री
• फजी लॉजिक
• गोडेल तर्क
• जैन सात-मूल्य तर्क
• क्लेन तर्क
• क्लेन बीजगणित (इनवोल्यूशन के साथ)
• लुकासिविक्ज़ तर्क
• एमवी-बीजगणित
• एमिल लियोन पोस्ट
• द्वैधता का सिद्धांत
• ए. एन. प्रायर
• प्रासंगिकता तर्क

दार्शनिक तर्क

• मिथ्या दुविधा
• म्यू (नकारात्मक)

डिजिटल लॉजिक

• एमवीसीएमएल, बहु-मूल्यवान वर्तमान-मोड तर्क
• IEEE 1164 VHDL के लिए नौ-मूल्यवान मानक
• Verilog चार-मूल्यवान तर्क Verilog के लिए चार-मूल्यवान मानक
• तीन-राज्य तर्क
• ध्वनि आधारित तर्क

अग्रिम पठन

General

• Augusto, Luis M. (2017). Many-valued logics: A mathematical and computational introduction. London: College Publications. 340 pages. ISBN 978-1-84890-250-3. Webpage
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• Malinowski, Gregorz, (2001), Many-Valued Logics, in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Bergmann, Merrie (2008), An introduction to many-valued and fuzzy logic: semantics, algebras, and derivation systems, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88128-9
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., (2000). Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Malinowski, Grzegorz (1993). Many-valued logics. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853787-8.
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• Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Multiple valued logic: concepts and representations. Synthesis lectures on digital circuits and systems. Vol. 12. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-1-59829-190-2.
• Hájek P., (1998), Metamathematics of fuzzy logic. Kluwer. (Fuzzy logic understood as many-valued logic sui generis.)

Specific

• Alexandre Zinoviev, Philosophical Problems of Many-Valued Logic, D. Reidel Publishing Company, 169p., 1963.
• Prior A. 1957, Time and Modality. Oxford University Press, based on his 1956 John Locke lectures
• Goguen J.A. 1968/69, The logic of inexact concepts, Synthese, 19, 325–373.
• Chang C.C. and Keisler H. J. 1966. Continuous Model Theory, Princeton, Princeton University Press.
• Gerla G. 2001, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
• Pavelka J. 1979, On fuzzy logic I: Many-valued rules of inference, Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math., 25, 45–52.
• Metcalfe, George; Olivetti, Nicola; Dov M. Gabbay (2008). Proof Theory for Fuzzy Logics. Springer. ISBN 978-1-4020-9408-8. Covers proof theory of many-valued logics as well, in the tradition of Hájek.
• Hähnle, Reiner (1993). Automated deduction in multiple-valued logics. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853989-6.
• Azevedo, Francisco (2003). Constraint solving over multi-valued logics: application to digital circuits. IOS Press. ISBN 978-1-58603-304-0.
• Bolc, Leonard; Borowik, Piotr (2003). Many-valued Logics 2: Automated reasoning and practical applications. Springer. ISBN 978-3-540-64507-8.
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• Abramovici, Miron; Breuer, Melvin A.; Friedman, Arthur D. (1994). Digital Systems Testing and Testable Design. New York: Computer Science Press. ISBN 978-0-7803-1062-9.

बाहरी संबंध

• Gottwald, Siegfried (2022). "Many-Valued Logic". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition).
• Shramko, Yaroslav and Wansing, Heinrich (2021). "Truth Values". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 Edition).
• IEEE Computer Society's Technical Committee on Multiple-Valued Logic
• Resources for Many-Valued Logic by Reiner Hähnle, Chalmers University
• Many-valued Logics W3 Server (archived)
• Yaroslav Shramko and Heinrich Wansing (2020). "Suszko's Thesis". Stanford Encyclopedia of Philosophy.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)
• Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo E. Coniglio and João Marcos, Two's company: "The humbug of many logical values" in Jean-Yves Beziau, ed. (2007). Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic (2nd ed.). Springer Science & Business Media. pp. 174–194. ISBN 978-3-7643-8354-1.