नतिपरिवर्तन बिन्दु

(0,0) पर नतिपरिवर्तन बिंदु के साथ y = x3 का प्लॉट, जो एक स्थिर बिंदु भी है।

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

अवकलन गणित और अवकलन ज्यामिति में, एक नतिपरिवर्तन बिंदु, नतिपरिवर्तन का बिंदु फ्लेक्स (बल) या नतिपरिवर्तन (ब्रिटिश अंग्रेजी: इन्फ्लेक्शन) निर्विघ्ऩ समतल वक्र पर एक बिंदु होता है जिस पर वक्रता परिवर्तन चिन्ह होता हैं। विशेष रूप से किसी फलन के ग्राफ़ (आलेख) के मामले में यह एक बिंदु है जहां फलन अवतल (अवतल नीचे की ओर) से उत्तल फलन (अवतल ऊपर की ओर) या इसके विपरीत बदलता है।

अवकलनीयता वर्ग के एक फलन के ग्राफ़ (आलेख) के लिए C² (f इसका पहला व्युत्पन्न f' और इसका दूसरा व्युत्पन्न f उपस्थित है और निरंतर है) स्थिति f=0 का उपयोग नतिपरिवर्तन बिंदु खोजने के लिए भी किया जा सकता है क्योंकि f=0 का एक बिंदु f को धनात्मक मान (अवतल ऊपर की ओर) से ऋणात्मक मान (अवतल नीचे की ओर) या इसके विपरीत f में बदलने के लिए पारित किया जाना चाहिए क्योंकि f'' निरंतर वक्र का नतिपरिवर्तन बिंदु है जहाँ f=0 और उस बिंदु पर अपना चिह्न बदलता है (धनात्मक से ऋणात्मक या ऋणात्मक से धनात्मक)। एक बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है लेकिन इसके संकेत को नहीं बदलता है उसे कभी-कभी तरंगों का बिंदु या तरंग बिंदु कहा जाता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में नतिपरिवर्तन बिंदु को एक नियमित बिंदु के रूप में अधिक सामान्य रूप से परिभाषित किया जाता है जहां स्पर्शरेखा कम से कम 3 के क्रम में वक्र से मिलती है और तरंग बिंदु या हाइपरफ्लेक्स को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां स्पर्शरेखा कम से कम 4 के क्रम के लिए वक्र से मिलती है।

परिभाषा

विभेदक ज्यामिति में नतिपरिवर्तन बिंदु वक्र के बिंदु होते हैं जहाँ वक्रता अपना चिन्ह बदलती है। उदाहरण के लिए, अवकलनीय फलन के ग्राफ़ में नतिपरिवर्तन बिंदु होता है (x, f(x)) और यदि इसका प्रथम अवकलज f' का x पर पृथक बिंदु चरम पर होता हैं (यह ऐसा कहने जैसा नहीं है f का चरम है)। यानी कई जगहों पर x एकमात्र बिंदु है जिस पर f' एक (स्थानीय) न्यूनतम या अधिकतम होता है। यदि सभी अति f' पृथक बिंदु हैं, तो ग्राफ पर एक नतिपरिवर्तन बिंदु है f जिस पर स्पर्शरेखा वक्र को पार करती है।

नतिपरिवर्तन का स्खलन बिंदु एक नतिपरिवर्तन बिंदु है जहां बिंदु के दोनों ओर व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है दूसरे शब्दों में, यह नतिपरिवर्तन बिंदु है जिसके निकट फलन घट रहा है। नतिपरिवर्तन का बढ़ता हुआ बिंदु एक बिंदु है जहां व्युत्पन्न बिंदु के दोनों ओर धनात्मक होता है दूसरे शब्दों में, यह नतिपरिवर्तन बिंदु है जिसके निकट फलन बढ़ रहा है।

पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिए गए एक निर्विघ्ऩ वक्र के लिए नतिपरिवर्तन बिंदु है यदि इसकी हस्ताक्षरित वक्रता प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदलती है अर्थात चिह्न परिवर्तन होता है।

एक निर्विघ्ऩ वक्र के लिए जो दो बार अलग-अलग फलन का ग्राफ़ है, नतिपरिवर्तन बिंदु ग्राफ़ पर एक बिंदु होता है जिस पर दूसरे व्युत्पन्न मे एक पृथक शून्य होता है और चिह्न बदलता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, यदि बीजगणितीय वक्र का गैर-एकवचन बिंदु नतिपरिवर्तन बिंदु होता है और केवल स्पर्श रेखा और वक्र (स्पर्शरेखा के बिंदु पर) की प्रतिच्छेदन संख्या 2 से अधिक हो। इस भिन्न परिभाषा की मुख्य प्रेरणा यह है कि अन्यथा किसी वक्र के नतिपरिवर्तन बिंदुओं का समुच्चय बीजगणितीय समुच्चय नहीं होगा। वास्तव में एक समतल बीजगणितीय वक्र के नतिपरिवर्तन बिंदुओं का समुच्चय ठीक इसके गैर-एकवचन बिंदु होते हैं जो इसकी प्रक्षेपी पूर्णता के हेस्सियन निर्धारक के शून्य होते हैं।

f(x) = sin(2x) का आलेख -π/4 से 5π/4 तक दूसरा व्युत्पन्न है f″(x) = –4sin(2x) और इसका चिन्ह इस प्रकार f के चिह्न के विपरीत है। स्पर्शरेखा नीला है जहां वक्र उत्तल कार्य है (अपनी स्वयं की स्पर्श रेखा के ऊपर) हरा जहां अवतल है (इसकी स्पर्शरेखा के नीचे) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं पर लाल 0, π/2 और π

एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं

किसी फलन f के लिए यदि इसका दूसरा अवकलज f″(x) है जो x₀ पर उपस्थित है और x₀ के लिए नतिपरिवर्तन बिंदु है f तो f″(x₀) = 0, लेकिन यह स्थिति एक नतिपरिवर्तन बिंदु होने के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है, भले ही किसी आदेश के व्युत्पन्न उपस्थित हों। इस मामले में किसी को विषम क्रम (तीसरे, पांचवें आदि) के लिए सबसे कम-क्रम (दूसरे से ऊपर) गैर-शून्य व्युत्पन्न की भी आवश्यकता होती है। यदि निम्नतम-क्रम गैर-शून्य व्युत्पन्न समान क्रम का है तो बिंदु नतिपरिवर्तन का बिंदु नहीं है बल्कि एक तरंग बिंदु है। हालाँकि, बीजगणितीय ज्यामिति में नतिपरिवर्तन बिंदु और तरंग बिंदु दोनों को आमतौर पर नतिपरिवर्तन बिंदु कहा जाता है। तरंग बिंदु का उदाहरण है x = 0 फलन f के द्वारा दिया गया f(x) = x⁴

पूर्ववर्ती अभिकथनों में यह माना जाता है कि f का x पर कुछ उच्च-क्रम गैर-शून्य व्युत्पन्न है जो जरूरी नहीं है। यदि यह स्थिति है, तो शर्त यह है कि पहले गैर-शून्य व्युत्पन्न का एक विषम क्रम है जिसका अर्थ है कि x के एक पड़ोस (गणित) में x के दोनों ओर f'(x) का चिह्न समान हैं, यदि यह चिह्न धनात्मक है तो नतिपरिवर्तन का बिंदु एक उभरता हुआ बिंदु है, यदि यह ऋणात्मक है तो नतिपरिवर्तन बिंदु का स्खलन बिंदु (falling point) है।

'नतिपरिवर्तन बिंदु की पर्याप्त स्थिति:'

1. इस मामले में नतिपरिवर्तन बिंदु के लिए पर्याप्त अस्तित्व की स्थिति f(x) है k {{{1}}} विषम और k ≥ 3 के साथ बिंदु x0 के एक निश्चित पड़ोस में k बार-बार अलग-अलग होता है वह यह है कि f⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 के लिये n = 2, ..., k − 1 तथा f^(k)(x₀) ≠ 0 तब f(x) का x₀ पर एक नतिपरिवर्तन बिंदु है।
5. एक और अधिक सामान्य पर्याप्त अस्तित्व की स्थिति के लिए f″(x₀ + ε) तथा f″(x₀ − ε) की आवश्यकता होती है ताकि x0 के पड़ोस में विपरीत संकेत हों (ब्रोंशेटिन और सेमेंदयेव 2004, पृष्ठ 231)।

नतिपरिवर्तन बिंदुओं का वर्गीकरण

y = x⁴ – x का बिंदु (0,0) पर शून्य का दूसरा व्युत्पन्न है लेकिन यह नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं है क्योंकि चौथा व्युत्पन्न पहला उच्च क्रम गैर-शून्य व्युत्पन्न है (तीसरा व्युत्पन्न भी शून्य है)।

नतिपरिवर्तन बिंदुओं को इस आधार पर भी वर्गीकृत किया जा सकता है कि f'(x) शून्य या अशून्य है।

• यदि f'(x) शून्य है, तो नतिपरिवर्तन का एक स्थिर बिंदु है
• यदि f'(x) शून्य नहीं है, तो नतिपरिवर्तन का एक गैर-स्थिर बिंदु है

नतिपरिवर्तन का स्थिर बिंदु एक स्थानीय चरम सीमा नहीं है। आमतौर पर, कई वास्तविक चरों के कार्यों के संदर्भ में, एक स्थिर बिंदु जो स्थानीय चरम सीमा नहीं है उसे पल्याण बिंदु (saddle point) कहा जाता है।

नतिपरिवर्तन का स्थिर बिंदु का एक उदाहरण बिंदु (0, 0) है y = x3 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा x-अक्ष है जो इस बिंदु पर ग्राफ (आलेख) को काटता है।

नतिपरिवर्तन के गैर-स्थिर बिंदु का एक उदाहरण बिंदु है (0, 0) है y = x³ + ax के ग्राफ पर किसी भी अशून्य a के लिए मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा y = ax है जो इस बिंदु पर ग्राफ को काटता है।

विच्छिन्नता के साथ कार्य

कुछ कार्य नतिपरिवर्तन बिंदुओं के बिना अवतलता को बदलते हैं। इसके बजाय, वे ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख या विच्छिन्नता के आसपास अवतलता को बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, फलन $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ऋणात्मक x के लिए अवतल और धनात्मक x के लिए उत्तल है लेकिन इसमें नतिपरिवर्तन का कोई बिंदु नहीं है क्योंकि 0 फलन के क्षेत्र में नहीं है।

नतिपरिवर्तन बिंदुओं के साथ कार्य जिसका दूसरा व्युत्पन्न गायब नहीं होता है

कुछ निरंतर कार्यों में एक नतिपरिवर्तन बिंदु होता है भले ही दूसरा व्युत्पन्न कभी भी 0 न हो। उदाहरण के लिए, घनमूल फलन x ऋणात्मक होने पर ऊपर की ओर अवतल होता है और x धनात्मक होने पर नीचे की ओर अवतल होता है लेकिन मूल पर किसी भी क्रम का कोई व्युत्पन्न नहीं होता है।

यह भी देखें

• महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)
• पारिस्थितिक दहलीज
• एक अण्डाकार वक्र के नौ नतिपरिवर्तन बिंदु द्वारा गठित हेस्से विन्यास
• द्विज्या, नतिपरिवर्तन बिंदु के साथ एक वास्तुशिल्प रूप
• वर्टेक्स (वक्र), एक स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम वक्रता

स्रोत

• Weisstein, Eric W. "Inflection Point". MathWorld.
• "Point of inflection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]