एकदिष्ट फलन

चित्रा 1. एक नीरस रूप से गैर-घटता कार्य।

चित्रा 2. एक नीरस रूप से गैर-बढ़ता हुआ कार्य

चित्रा 3. एक फलन जो एकदिष्ट नहीं है

गणित में, एकदिष्ट फलन गणित में क्रमित संरचनाओं की सूची के बीच एक फलन (गणित) है जो दिए गए क्रमवार को संरक्षित या उलट देता है। यह अवधारणा पहले गणना में उत्पन्न हुई, और बाद में अनुक्रम सिद्धांत की अधिक अमूर्त अस्त के लिए सामान्यीकृत की गई।

कलन और विश्लेषण में

कलन में, एक फलन $f$ वास्तविक मानों के साथ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर परिभाषित को एकदिष्ट कहा जाता है यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती हैं, या पूरी तरह से गैर-घटती हैं। चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो एकदिष्‍टत: बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं होने देना है।

एक फलन को एकदिष्ट रूप से बढ़ता (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है यदि सभी $x$ तथा $y$ के लिए $x\leq y$ ऐसे कि एक के पास $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$ है, तो $f$ क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक फलन को एकदिष्‍टत: रूप से घटता हुआ (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है यदि, जब भी $x\leq y$, तत्पश्चात $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$ होता है, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।

यदि अनुक्रम $\leq$ एकदिष्टता की परिभाषा में कड़े अनुक्रम $<$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, और वह दृढ़ आवश्यकता प्राप्त करता है। इस विशेषता के साथ एक फलन को अनुशासनपूर्वक बढ़ना कहा जाता है। फिर से, अनुक्रम प्रतीक को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को अनुशासनपूर्वक घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।किसी भी विशेषता वाले फलन को अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट कहा जाता है। कार्य जो अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट हैं वे एक-से-एक कार्य हैं (क्योंकि $x$ के लिए असमान $y$, या $x<y$ या $x>y$ और इसलिए, एकदिष्टता से, या तो $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ या $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$, इस प्रकार $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$ है।)

अस्पष्टता से बचने के लिए, अशक्त एकदिष्ट, अशक्त रूप से बढ़ने और अशक्त रूप से घटने वाले शब्द प्रायः गैर-निश्चित एकदिष्टिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

गैर-न्यूनता और गैर-वर्धमान शब्दावली को (बहुत शक्तिहीन) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-एकदिष्ट फलन पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो गैर-न्यूनता है और न ही गैर-वर्धमान है।

एक फलन $f\!\left(x\right)$ को एक अंतराल $\left(a,b\right)$ पर बिल्कुल एकदिष्ट कहा जाता है यदि $f$ के सभी अनुक्रमों के व्युत्पादित अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-सकारात्मक हैं।

फलन का व्युत्क्रमणीय

सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट कार्य व्युत्क्रमणीय फलन हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने कार्यक्षेत्र में एक-से-एक मानचित्र की प्रत्याभुति अधिपत्रित है।

हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल अशक्त एकदिष्ट वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।

एक फलन सीमित मूल्यों की एक सीमा पर अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर व्युत्क्रमणीय हो सकता है, भले ही वह हर जगह अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट न हो। उदाहरण के लिए, यदि $y=g(x)$ सीमा पर $[a,b]$ अनुशासनपूर्वक बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्क्रम $[g(a),g(b)]$ की सीमा पर $x=h(y)$ होता है।

ध्यान दें कि एकदिष्ट शब्द का प्रयोग कभी-कभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी एकदिष्ट फलन व्युत्क्रमणीय तब हो सकते हैं जब उनका वास्तव में अर्थ यह होता है कि सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट फलन व्युत्क्रमणीय हैं।

एकदिष्ट परिवर्तन

एकदिष्ट परिवर्तन शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक अनुशासनपूर्वक बढ़ते फलन द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक उपयोगिता फलन के क्रमिक गुणों के संबंध में एकदिष्ट परिवर्तन (एकदिष्ट वरीयताएँ भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है। इस संदर्भ में, एकदिष्ट परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।

कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम

छलांग विच्छिन्नता के सघनसमुच्चय के साथ एकदिष्ट फलन (कई वर्ग दिखाए गए हैं)

एकदिष्ट फलन के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$:

• $f$ फलन के अपने कार्यक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से फलन की सीमा होती है।
• $f$ की वास्तविक संख्या $\infty$ या $-\infty$ की सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा ($\pm \infty$) है।
• $f$ केवल विषयांतर असततता हो सकती है।
• $f$ के कार्यक्षेत्र में एकदिष्ट फलन की केवल गणनीय कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (a, b) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम $(a_{i})$ के लिए सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की परिमेय संख्याओं $(q_{i})$ का एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ फलन
  $$f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}$$
  हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का संचयी वितरण फलन है, जहाँ $a_{i}$ का वजन $q_{i}$ है।

ये गुण ही कारण हैं कि गणितीय विश्लेषण में तकनीकी कार्य में एकदिष्ट फलन उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में निम्न सम्मिलित हैं:

• यदि $f$ अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक एकदिष्ट फलन $I$ है, तब $I$ पर $f$ लगभग हर जगह अवकलनीय है; यानी संख्याओं के समूह $x$ में $I$ ऐसे है कि $x$ में $f$ अवकलनीय नहीं है, इसमें लेबेस्ग माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को संख्येय में सुधार नहीं किया जा सकता है: कैंटर फलन देखें।
• यदि यह समुच्चय गणनीय है, तो $f$ नितांत सतत है।
• यदि $f$ अंतराल पर परिभाषित एक एकदिष्ट फलन $\left[a,b\right]$ है, तो $f$ रीमान समाकल है।

प्रायिकता सिद्धांत में एकदिष्ट कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$ एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।

फलन एकबहुलकी है यदि यह एकदिष्‍टत: रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर एकदिष्‍टत: रूप से घट रहा है।

जब $f$ एक अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट फलन है, तो $f$ अपने कार्यक्षेत्र पर अंतःक्षेपक फलन है, और यदि $T$ के एक फलन की सीमा $f$ है, तो वहाँ $f$ के लिये $T$ पर एक व्युत्क्रमणीय कार्य होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य एकदिष्ट है, लेकिन अंतःक्षेपक नहीं है, और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।

सांस्थिति में

मानचित्र $f:X\to Y$ एकदिष्ट कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक सूत्र आनुषंगिक (सांस्थिति) हैं; अर्थात्, प्रत्येक तत्व के लिए $y\in Y,$ (संभवतः खाली) समुच्चय $f^{-1}(y)$ का आनुषंगिक उपसमष्‍टि सांस्थिति $X$ है।

कार्यात्मक विश्लेषण में

सांस्थितिक सदिश समष्टि पर कार्यात्मक विश्लेषण में $X$, एक (संभवतः गैर-रैखिक) संचालक $T:X\rightarrow X^{*}$ एकदिष्ट संचालक कहा जाता है यदि

$(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X$

कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बानाख अंतरालक पर उत्तल कार्य में उनके व्युत्पादित के रूप में एकदिष्ट संचालक हैं।

$X\times X^{*}$ उपसमुच्चय $G$ का एकदिष्ट समुच्चय कहा जाता है यदि हर जोड़ी के लिए $G$ में $[u_{1},w_{1}]$ तथा $[u_{2},w_{2}]$,

$(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0$ है।

$G$ अधिकतम एकदिष्ट कहा जाता है यदि यहसमुच्चय समावेशन के अर्थ में सभी एकदिष्ट समुच्चयों में अधिकतम है। एकदिष्ट संचालक का लेखाचित्र $G(T)$ एकदिष्ट समुच्चय है। एकदिष्ट संचालक को अधिकतम एकदिष्ट कहा जाता है यदि इसका लेखाचित्र अधिकतम एकदिष्ट समुच्चय है।

क्रम सिद्धांत में

अनुक्रम सिद्धांत मनमाना आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में पूर्व अनुक्रम से संबंधित है। एकदिष्टता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ते और घटते नियमों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन अनुक्रम पर लागू नहीं होता है जो कुल अनुक्रम नहीं हैं। इसके अलावा, यथार्थ अनुक्रम संबंध < और > कई गैर-कुल अनुक्रमों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।

मान लीजिये ≤ किसी भी आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, वह एकदिष्ट फलन है, जिसे समतान या क्रम-संरक्षी भी कहा जाता है, और वह विशेषता को संतुष्ट करता है।

x ≤ y का अर्थ f(x) ≤ f(y) है।

इसके कार्यक्षेत्र में सभी x और y के लिए दो एकदिष्ट प्रतिचित्रण का सम्मिश्रण भी एकदिष्ट है।

द्वैत (अनुक्रम सिद्धांत) धारणा को प्रायः एंटीटोन, प्रति-एकदिष्ट या अनुक्रम-उत्क्रमी कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन फलन f विशेषता को संतुष्ट करता है।

इसके कार्यक्षेत्र में सभी x और y के लिए

x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x)

एक स्थिर कार्य एकदिष्ट और एंटीटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f एकदिष्ट और एंटीटोन दोनों है और f का कार्यक्षेत्र एक जालक (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।

क्रम सिद्धांत में एकदिष्ट फलन केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष एकदिष्ट फलन अनुक्रम अंतःस्थापन हैं (फलन जिसके लिए x ≤ y यदि और केवल यदि f(x) ≤ f(y)) और अनुक्रम समरूपता (विशेषण अनुक्रम अंत: स्थापन) हैं।

खोज कलन विधि के संदर्भ में

खोज कलन विधि के संदर्भ में एकदिष्टता (जिसे संगति भी कहा जाता है) स्वानुभविक कार्यों पर लागू एक परिस्थिति है। एक स्वानुभविक h(n) एकदिष्ट है, यदि प्रत्येक पर्णग्रंथि n और n के प्रत्येक उत्तराधिकारी n' किसी भी कार्रवाई a से उत्पन्न होता है, n से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत, n' तक पहुँचने की चरण लागत और n से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत से अधिक नहीं है।

$h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).$

यह n, n' और n के सबसे करीब लक्ष्य G_n के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है। क्योंकि प्रत्येक एकदिष्ट स्वानुभविक भी स्वीकार्य है, स्वीकार्यता की तुलना में एकदिष्टिटी एक कड़ी आवश्यकता है। कुछ स्वानुभविक कलन विधि जैसे A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम कलन विधि सिद्ध किया जा सकता है, परंतु वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह एकदिष्ट होना चाहिए।

बूलीय फलन में

गैर- एकदिष्ट फलन "यदि a है तो दोनों b और c" के साथ, झूठे पर्णग्रंथि सच्चे पर्णग्रंथि के ऊपर दिखाई देते हैं

एकदिष्ट फलन का हास आरेख " a, b, c में से कम से कम दो पकड़ रखते हैं "। रंग फलन निर्गत मान दर्शाते हैं

बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एकदिष्ट फलन ऐसा है जो सभी के लिए a_i और b_i {0,1} में है, यदि a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n (यानी कार्तीय उत्पाद {0, 1}ⁿ को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n)। दूसरे शब्दों में, बूलीय फलन एकदिष्ट होता है, यदि आगत के प्रत्येक संयोजन के लिए, आगत में से किसी एक को गलत से सही पर बदल देने से केवल निर्गत को गलत से सही पर बदला जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक n-आरी बूलीय फलन एकदिष्ट है जब एक अतिविम के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है| सत्य मूल्यों के साथ चिह्नित किए गए n-घन में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह चिह्नित किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है फलन के चिह्नित किए गए वेन आरेख का आयाम-व्युत्क्रमणीय द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व n ≤ 3 है)।

एकदिष्ट बूलीय फलन यथावत् वे हैं जिन्हें केवल संचालक तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके आगत्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए a, b, c में से कम से कम दो रुकते हैं a, b, c का एक एकदिष्ट फलन है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((a और b) या (a और c) या (b और c)) के रूप में लिखा जा सकता है। .

n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• एकदिष्ट घनाकार अंतःक्षेप
• छद्म-एकदिष्ट संचालक
• कुंतधारी का श्रेणी सहसंबंध गुणांक - आकड़ों के एकसमुच्चय में एकदिष्टता का माप
• कुल एकदिष्टता
• चक्रीय एकदिष्टता
• संचालक एकदिष्ट फलन

ग्रन्थसूची

• Bartle, Robert G. (1976). The elements of real analysis (second ed.).
• Grätzer, George (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. ISBN 0-7167-0442-0.
• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
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• Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Functional Analysis. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (April 1994). Mathematics for Economists (first ed.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definition 9.31)

बाहरी संबंध

• "Monotone function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.