निर्देशांक सदिश

रेखीय बीजगणित में निर्देशांक सदिश एक ऐसे सदिश (गणित और भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है जो संख्याओं की क्रमबद्ध सूची (टपल) के रूप में होता है और जो विशेष अनुक्रमित आधार के संदर्भ में सदिश का वर्णन करता है। सामान्यतः 3-आयामी कार्तीय समन्वय प्रणाली में (5, 2, 1) जैसी स्थितियां हो सकती है। जिसका आधार इस प्रणाली के अक्ष के रूप में होता है। निर्देशांक सदैव अनुक्रमित आधार के सापेक्ष निर्दिष्ट होते हैं। आधार और उनके संबंधित समन्वय प्रतिनिधित्व के सदिश रिक्त समष्टि और रैखिक रूपांतरण मे मुख्य रूप से स्तंभ सदिश, पंक्ति सदिश और आव्यूह के रूप में सम्मिलित होते हैं। इसलिए वे गणना में उपयोगी होते हैं।

निर्देशांक सदिश को अनंत-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के लिए भी प्रयुक्त किया जा सकता है। जैसा कि नीचे संबोधित किया गया है।

परिभाषा

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर आयाम n का सदिश समष्टि है।

माना कि $B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$, $v$ के लिए एक अनुक्रमित आधार है और प्रत्येक $v\in V$ के लिए आधार सदिश का एक अद्वितीय रैखिक संयोजन होता है जो $v$ के बराबर होता है:

$v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

B के सापेक्ष $v$ का निर्देशांक सदिश निर्देशांकों का अनुक्रम है:

$[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).$

इसे B के संबंध में $v$ का प्रतिनिधित्व या $v$ का B प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$, $v$ के निर्देशांक कहलाते हैं। आधार का क्रम यहां महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि यह उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें निर्देशांक सदिश के गुणांक सूचीबद्ध होते हैं।

परिमित-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के निर्देशांक सदिश को आव्यूह द्वारा स्तंभ या पंक्ति सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उपरोक्त गणना को निम्न रूप मे लिख सकते है:

$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}$

और

$[v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}$

जहां $[v]_{B}^{T}$ आव्यूह $[v]_{B}$ का परिवर्त आव्यूह है:

मानक प्रतिनिधित्व

एक फलन $\phi _{B}$ को परिभाषित करके उपरोक्त परिवर्तन को सामान्यीकृत कर सकते हैं। जिसे B के संबंध में V का मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है जो प्रत्येक सदिश को उसके निर्देशांक प्रतिनिधित्व $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$ पर प्रयुक्त होता है।

तब $\phi _{B}$ V से Fⁿ तक एक रैखिक रूपांतरण है। वास्तव में यह एक समरूपता है, जिसका व्युत्क्रम $\phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V$ है:

$\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

वैकल्पिक रूप से हम $\phi _{B}^{-1}$ को उपरोक्त फलन के रूप में परिभाषित कर सकते है जो सिद्ध है कि $\phi _{B}^{-1}$ एक समरूपता है और $\phi _{B}$ को इसके व्युत्क्रम के रूप मे परिभाषित किया है।

उदाहरण

उदाहरण 1

माना कि P3 अधिक से अधिक 3 डिग्री वाले सभी बीजगणितीय बहुपदों का समष्टि है अर्थात x का उच्चतम घातांक 3 हो सकता है। यह समष्टि रेखीय है और निम्न बहुपदों द्वारा विस्तृत है:

$B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}$

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}<$