असतत फूरियर श्रृंखला

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, शब्द असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) किसी भी आवधिक असतत-समय संकेत होता है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (अर्थात् फूरियर) असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत सम्मिश्र घातांक सम्मिलित होता हैं, जो एक भारांकित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (व्युत्क्रम डीएफटी) होता है।

परिभाषा

डीएफएस का सामान्य रूप निम्न प्रकार होता है:

असतत फूरियर श्रृंखला

${\begin{aligned}x[n]=\sum _{k}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad n\in \mathbb {Z} ,\end{aligned}}$

(Eq.1)

जो एक मौलिक आवृत्ति $1/N$ के हार्मोनिक्स होता हैं, कुछ धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए होता है। $k$ की व्यावहारिक सीमा $[0,\ N-1],$ होती है क्योंकि काल-चक्र बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब $X[k]$ गुणांक a से प्राप्त होते हैं तो $N$-लंबाई डीएफटी, और $1/N$ का एक कारक डाला जाता है, तो यह व्युत्क्रम डीएफटी बन जाता है।  और इस स्थिति में, मात्र गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।

लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास होता है एक $N$ लंबे समय से $x[n]$ इसे विभाजित करके $N$-लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़नें के पश्चात् इन्हें क्रमबद्ध करें। (देखें DTFT § L=N×I) यह आवधिक योग का एक चक्र उत्पन्न करता है:

$x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$

काल-चक्र के कारण, $x_{_{N}}$को डीएफएस के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है $N$ अद्वितीय गुणांक होता है जिन्हें $N$-लंबाई डीएफटी द्वारा प्राप्त किया जा सकता है . 

गुणांक उपयोगी होता हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के $x[n]$ अनुक्रम के प्रतिरूप होते हैं:

$X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}\ T\ x(nT)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {m}{T}}\right),\quad f\in \mathbb {R}$

यहाँ, $x(nT)$ एक सतत फलन $x(t)$के प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, प्रतिरूप अंतराल के साथ $T,$ और $X(f)$ का फूरियर रूपांतरण $x(t)$ होता है समानता पॉइसन योग सूत्र का परिणाम होता है। परिभाषाओं के साथ $x[n]\triangleq T\ x(nT)$ और $X_{N}[k]\triangleq X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)$:

$X_{N}[k]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n],\quad k=0,...,N-1$

N-काल-चक्र के कारण $e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}$ कर्नेल, योग को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:

${\begin{aligned}X_{N}[k]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n-mN]\right)\\&=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]\right)} _{x_{_{N}}[n]}\\&=\operatorname {DFT} \{x_{_{N}}\}.\end{aligned}}$