कोडैरा लुप्त प्रमेय

गणित में, कोडैरा वैनिशिंग प्रमेय समष्टि मैनिफोल्ड सिद्धांत और समष्टि बीजगणितीय ज्यामिति का मूल परिणाम है, जो सामान्य स्थितियों का वर्णन करता है जिसके अनुसार सूचकांक q > 0 वाले शीफ़ कोहोमोलोजी समूह स्वचालित रूप से शून्य होते हैं। इस प्रकार सूचकांक q = 0 वाले समूह के लिए निहितार्थ सामान्यतः यह है कि इसका आयाम स्वतंत्र वैश्विक वर्गों की संख्या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता के साथ मेल खाता है जिसे हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

समष्टि विश्लेषणात्मक स्थिति

कुनिहिको कोदैरा के परिणाम का कथन यह है कि यदि M समष्टि आयाम N का कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है,तो L M पर कोई होलोमोर्फिक लाइन बंडल धनात्मक है और K_M कैनोनिकल लाइन विहित बंडल है

$H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0$

इस प्रकार q > 0 के लिए यहां $K_{M}\otimes L$ लाइन बंडलों के टेंसर उत्पाद के लिए है। सेरे द्वैत के माध्यम से, सामान्यीकरण q < n के लिए $H^{q}(M,L^{\otimes -1})$ का वैनिशिंग होना भी प्राप्त कर सकता है। एक सामान्यीकरण है, कोडैरा-नाकानो वैनिशिंग प्रमेय, जिसमें $K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)$, जहां Ωⁿ(L) L पर मानों के साथ M पर होलोमोर्फिक (n,0)-रूपों के शीफ को दर्शाता है, Ω^r(L) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, L पर मानों के साथ होलोमोर्फिक (r,0)-रूपों का शीफ है। फिर कोहोलॉजी समूह H^q(M, Ωr(L)) जब भी q + r > n विवैनिशिंग हो जाता है।

बीजगणितीय प्रकरण

कोडैरा वैनिशिंग प्रमेय को काहलर आव्यूह जैसे पारलौकिक विधियों के संदर्भ के बिना बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में तैयार किया जा सकता है। इस प्रकार लाइन बंडल L की धनात्मकता संबंधित उलटे शीफ में पर्याप्त लाइन बंडल में परिवर्तित हो जाती है (अर्थात, कुछ टेंसर शक्ति प्रक्षेप्य एम्बेडिंग देती है)। बीजगणितीय कोडैरा-अकिज़ुकी-नाकानो वैनिशिंग प्रमेय निम्नलिखित कथन है:

यदि k विशेषता (बीजगणित) शून्य का क्षेत्र (गणित) है,

$H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d,{\text{ and}}$

$H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q<d,$

जहां Ω^p सापेक्ष (बीजगणितीय) अंतर रूपों के शीफ (गणित) को दर्शाता है (देखें काहलर अंतर)।

रेनॉड (1978) ने दिखाया कि यह परिणाम सदैव विशेषता p > 0 के क्षेत्रों पर स्थिर नहीं रहता है, और विशेष रूप से रेनॉड सतह के लिए विफल रहता है। इसके पश्चात् सोम्मेस (1986) गैर-लॉग विहित विलक्षणताओं वाली एकवचन विविधताएँ के लिए प्रति उदाहरण देते है, और भी,लॉरिटज़ेन & राव (1997) गैर-कम स्टेबलाइजर्स के साथ उचित सजातीय समिष्ट से प्रेरित प्राथमिक प्रति-उदाहरण दिए थे।

चूँकि, 1987 तक विशेषता शून्य में एकमात्र ज्ञात प्रमाण समष्टि विश्लेषणात्मक प्रमाण और गागा तुलना प्रमेयों पर आधारित था। चूँकि, 1987 में पियरे डेलिग्ने और ल्यूक इलुसी ने वैनिशिंग हो रहे प्रमेय का विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण दिया था। (डेलिग्ने & इल्युसी 1987). उनका प्रमाण यह दिखाने पर आधारित है कि बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के लिए हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम डिग्री 1 में व्यर्थ हो जाता है। इस प्रकार यह विशेषता p> 0 से संबंधित अधिक विशिष्ट परिणाम को उठाकर दिखाया गया है इस प्रकार धनात्मक-विशेषता परिणाम सीमाओं के बिना नहीं रहता है किन्तु पूर्ण परिणाम प्रदान करने के लिए इसे उठाया जा सकता है।

परिणाम और अनुप्रयोग

ऐतिहासिक रूप से, कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय को वैनिशिंग हो रहे प्रमेय की सहायता से प्राप्त किया गया था। इस प्रकार सेरे द्वैत के अनुप्रयोग के साथ, वक्रों और सतहों के विभिन्न शीफ कोहोमोलॉजी समूहों (सामान्यतः कैनोनिकल लाइन बंडल से संबंधित) के विवैनिशिंग होने से समष्टि मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण में सहायता मिलती है, जैसे एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण है।

यह भी देखें

• कावामाता-विहवेग वैनिशिंग प्रमेय
• ममफोर्ड वैनिशिंग प्रमेय
• रामानुजम वैनिशिंग प्रमेय

संदर्भ

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham", Inventiones Mathematicae, 89 (2): 247–270, Bibcode:1987InMat..89..247D, doi:10.1007/BF01389078, S2CID 119635574
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• Phillip Griffiths and Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry
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