गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण

फलनिक विश्लेषण में, गणित के भीतर एक अनुशासन, जिसे C*-बीजगणित A दिया जाता है, 'गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण' A के चक्रीय *-निरूपण और A (जिसे अवस्था कहा जाता है) पर कुछ रैखिक फलनक के बीच पत्राचार स्थापित करता है। पत्राचार को अवस्था की ओर से *-निरूपण के स्पष्ट निर्माण द्वारा दिखाया गया है। इसका नाम इज़राइल गेलफैंड, मार्क नमारिक और इरविंग सेगल के नाम पर रखा गया है।

अवस्था और निरूपण

इस प्रकार से A *- हिल्बर्ट समष्टि H पर C*-बीजगणित A का निरूपण A से H पर परिबद्ध संक्रियकों के बीजगणित में प्रतिचित्रण (गणित) π है जैसे कि

• π एक वलय समरूपता है जो A पर अंतर्वलन (गणित) को संक्रियकों पर अंतर्वलन करता है
• π गैर-अपक्षयी है, अर्थात सदिशों की समष्टि π(x) ξ संहत है क्योंकि x की श्रेणी A से होती है और ξ की श्रेणी H से होती है। ध्यान दें कि यदि A की कोई समरूपता है, तो गैर अपभ्रष्टता का अर्थ निश्चित π इकाई-संरक्षण है, अर्थात π A की समरूपता को H पर समरूपता संक्रियक से प्रतिचित्रित करता है।

C*-बीजगणित A पर स्थिति (फलनिक विश्लेषण) मानक 1 का धनात्मक रैखिक फलनिक f है। यदि A में गुणात्मक इकाई अवयव है तो यह स्थिति f(1) = 1 के समतुल्य है।

हिल्बर्ट स्पेस H पर C*-बीजगणित A के निरूपण π के लिए, एक अवयव ξ को चक्रीय सदिश कहा जाता है यदि सदिश

$\{\pi (x)\xi :x\in A\}$

का समुच्चय H में मानक संहत है, तो इस स्थिति में π को चक्रीय निरूपण कहा जाता है। अपरिवर्तनीय निरूपण का कोई भी गैर-शून्य सदिश चक्रीय है। यद्यपि, सामान्य चक्रीय निरूपण में गैर-शून्य सदिश चक्रीय होने में विफल हो सकते हैं।

जीएनएस निर्माण

मान लीजिए π हिल्बर्ट समष्टि H पर C*-बीजगणित A का *-निरूपण है और π के लिए इकाई मानक चक्रीय सदिश है। तब

$$a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$$

A की एक अवस्था है।

इसके विपरीत, A की प्रत्येक अवस्था को अवस्था को एक उपयुक्त विहित निरूपण के अंतर्गत उपरोक्त के अनुसार एक सदिश अवस्था के रूप में देखा जा सकता है।

Theorem. — A की स्थिति ρ को देखते हुए, A का एक *-निरूपण π है जो हिल्बर्ट समष्टि H पर विशिष्ट इकाई चक्रीय सदिश ξ के साथ कार्य करता है जैसे कि $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ A में प्रत्येक A के लिए।

Proof

1. हिल्बर्ट समष्टि का निर्माण H '

   A पर एक अर्ध-निश्चित सेसक्विलिनियर रूप

   $$\langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A$$
   को परिभाषित करें।
   कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, पतित अवयव, A' में A संतोषजनक ρ(A* A)= 0, रूप A की एक सदिश उपसमष्टि I बनाते है। C*-बीजगणितीय तर्क द्वारा, कोई यह दिखा सकता है कि I, A का बायाँ आदर्श है (जिसे ρ के बाएँ कर्नेल के रूप में जाना जाता है)। वस्तुतः, यह ρ की शून्य समष्टि में सबसे बड़ा बायां आदर्श है। सदिश उप-समष्टि I द्वारा A की भागफल समष्टि एक आंतरिक गुणनफल समष्टि है जिसका आंतरिक गुणनफल $\langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A$ द्वारा परिभाषित है। इस आंतरिक उत्पाद से प्रेरित मानदंड में A/I की कौची समापन एक हिल्बर्ट समष्टि है, जिसे हम H द्वारा निरूपित करते हैं।
2. निरूपण का निर्माण π
   A/I पर A की क्रिया π को π(a)(b+I) = ab+I द्वारा A/I पर परिभाषित करें। I को बायां आदर्श दिखाने वाला वही तर्क यह भी दर्शाता है कि π(a) A/I पर एक परिबद्ध संचालिका है और इसलिए इसे पूर्णता तक विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है। हिल्बर्ट समष्टि पर एक संक्रियक के संलग्न की परिभाषा को अनावृत करते हुए, π *-संरक्षित हो जाता है। यह *-निरूपण π के अस्तित्व को सिद्ध करता है।
3. इकाई मानदंड चक्रीय सदिश की पहचान करना

   यदि A की गुणात्मक समरूपता 1 है, तो यह तत्काल है कि जीएनएस हिल्बर्ट समष्टि H में 1 युक्त समतुल्य वर्ग ξ उपरोक्त निरूपण के लिए एक चक्रीय समष्टि है। यदि A गैर-इकाई है, तो A के लिए एक अनुमानित समरूपता {e_λ} लें। चूँकि धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताएँ परिबद्ध हैं, नेट {e_λ} के तुल्यता वर्ग H में कुछ सदिश ξ में परिवर्तित हो जाते हैं, जो π के लिए एक चक्रीय सदिश है।

   जीएनएस हिल्बर्ट समष्टि H पर आंतरिक गुणनफल की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि अवस्था ρ को H पर एक सदिश अवस्था के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इससे प्रमेय सिद्ध होता है।

उपरोक्त प्रमेय के प्रमाण में A की स्थिति से *-निरूपण उत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को जीएनएस निर्माण कहा जाता है। C*-बीजगणित A की स्थिति के लिए, संबंधित जीएनएस निरूपण अनिवार्य रूप से स्थिति, $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है जैसा कि निम्न प्रमेय में देखा गया है।

Theorem. — A की स्थिति ρ को देखते हुए, π, π' को *-हिल्बर्ट रिक्त समष्टि H, H' पर क्रमशः A का निरूपण करें, प्रत्येक इकाई मानक चक्रीय सदिश ξ ∈ H, ξ' ∈ H' के साथ ऐसा हो कि सभी $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle$ के लिए $a\in A$ हो। फिर π, π' एकात्मक रूप से समतुल्य *-निरूपण हैं अर्थात H से H' तक एक एकात्मक संक्रियक U है जैसे कि A में सभी a के लिए π'(a) = Uπ(a)U*। संक्रियक U जो A में सभी a के लिए एकात्मक तुल्यता प्रतिचित्र π(a)ξ से π'(a)ξ' को लागू करता है।

जीएनएस निर्माण का महत्व

जीएनएस निर्माण गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय के प्रमाण के केंद्र में है जो C*-बीजगणित को संक्रियकों के बीजगणित के रूप में दर्शाता है। AC*-बीजगणित में पर्याप्त रूप से कई शुद्ध अवस्थाएं होती हैं (निम्न देखें) ताकि संबंधित अपरिवर्तनीय जीएनएस निरूपण का प्रत्यक्ष योग विश्वसनीय कारक हो।

सभी अवस्थाओं के संगत जीएनएस निरूपण के प्रत्यक्ष योग को A का सार्वभौमिक निरूपण (C*-बीजगणित) कहा जाता है। A के सार्वभौमिक निरूपण में प्रत्येक चक्रीय निरूपण सम्मिलित है। जैसा कि प्रत्येक *-निरूपण चक्रीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है, यह इस प्रकार है कि A का प्रत्येक *-निरूपण सार्वभौमिक निरूपण की प्रतियों के कुछ योग का प्रत्यक्ष योग है।

यदि Φ C*-बीजगणित A का सार्वभौमिक निरूपण है, तो दुर्बल संक्रियक टोपोलॉजी में Φ(A) को संवृत करने को A का आवृत वॉन न्यूमैन बीजगणित कहा जाता है। इसे द्वितीय द्वैत A** से पहचाना जा सकता है।

अपरिवर्तनीय

अपरिवर्तनीय निरूपण *-निरूपण और अवस्थाओं के उत्तल समुच्चय के परम बिंदुओं के बीच का संबंध भी महत्वपूर्ण है। H पर निरूपण π अपरिवर्तनीय है यदि और मात्र तभी जब H का कोई संवृत उप-समष्टि न हो जो H और साधारण उप-समष्टि {0} के अतिरिक्त सभी संक्रियकों π (x) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हो।

Theorem — एक इकाई अयव के साथ C*-बीजगणित A की अवस्थाओं का समुच्चय दुर्बल-* टोपोलॉजी के अंतर्गत एक संहत उत्तल समुच्चय है। सामान्यतः, (इस बात की परवाह किए बिना कि A में एक इकाई अवयव है या नहीं) मानक ≤ 1 के धनात्मक फलनों का समुच्चय एक संहत उत्तल समुच्चय है।

इस प्रकार से ये दोनों परिणाम बानाच-अलाओग्लू प्रमेय का तुरंत अनुसरण करते हैं।

इकाई क्रमविनिमेय स्थिति में, कुछ संहत X पर निरंतर फलनों के C*-बीजगणित C(X) के लिए, रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि मानक ≤ 1 के धनात्मक फलन कुल द्रव्यमान ≤ 1 के साथ X पर यथार्थ रूप से बोरेल धनात्मक उपाय हैं। क्रेइन-मिलमैन प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि परम अवस्थाएं डायराक बिंदु-द्रव्यमान माप हैं।

दूसरी ओर, C(X) का निरूपण अपरिवर्तनीय है यदि और मात्र यदि यह एक-आयामी है। इसलिए, माप μ के अनुरूप C(X) का जीएनएस निरूपण अप्रासंगिक है यदि और मात्र यदि μ परम अवस्था है। यह वस्तुतः सामान्यतः C*-बीजगणित के लिए सत्य है।

Theorem — मान लीजिए A एक C*-बीजगणित है। यदि π इकाई मानक चक्रीय सदिश ξ के साथ हिल्बर्ट समष्टि H पर A का *-निरूपण है, तब π अप्रासंगिक है यदि और मात्र यदि संबंधित स्थिति f मानक ≤ 1 के A पर धनात्मक रैखिक फलनक के उत्तल समुच्चय का एक परम बिंदु है।

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले यह नोट करें कि एक निरूपण अपरिवर्तनीय है यदि और मात्र यदि π(A) के कम्यूटेंट, जिसे π(A)' द्वारा निरूपित किया जाता है, में तत्समक के अदिश गुणक सम्मिलित होते हैं।

f द्वारा प्रभुत्व वाले A पर कोई धनात्मक रैखिक फलनक g, संक्रियक क्रम में 0 ≤ T ≤ 1 के साथ π(A)' में कुछ धनात्मक संक्रियक T_g के लिए रूप

$$g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle$$

का है। यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का संस्करण है।

इस प्रकार से ऐसे g के लिए, कोई f को धनात्मक रैखिक फलनक के योग के रूप में लिख सकता है: f = g + g' । तो π इकाई रूप से π_g ⊕ π_g' के उप-निरूपण के समतुल्य है। इससे ज्ञात होता है कि π अपरिवर्तनीय है यदि और मात्र यदि ऐसा कोई π_g इकाई रूप से π के समतुल्य है, अर्थात g, f का एक अदिश गुणज है, जो प्रमेय को सिद्ध करता है।

परम अवस्थाओं को सामान्यतः अवस्था (फलनिक विश्लेषण) या शुद्ध अवस्थाएँ कहा जाता है। ध्यान दें कि अवस्था शुद्ध अवस्था है यदि और मात्र यदि वह अवस्थाओं के उत्तल समुच्चय में परम है।

इस प्रकार से C*-बीजगणित के लिए उपरोक्त प्रमेय अनुमानित तत्समक के साथ B*-बीजगणित के संदर्भ में अधिक सामान्यतः मान्य हैं।

सामान्यीकरण

अतः पूर्ण रूप से धनात्मक प्रतिचित्रों को दर्शाने वाला स्टाइनस्प्रिंग गुणनखंडन प्रमेय जीएनएस निर्माण का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है।

इतिहास

गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय पर गेलफैंड और नैमार्क का लेख प्रकाशित हुआ था। सेगल ने इस फलन में निहित निर्माण को पहचाना और इसे तीक्ष्ण रूप में प्रस्तुत किया।

इस प्रकार से 1947 के अपने लेख में सेगल ने दिखाया कि यह किसी भी भौतिक प्रणाली के लिए, जिसे हिल्बर्ट समष्टि पर संक्रियकों के बीजगणित द्वारा वर्णित किया जा सकता है, C*-बीजगणित के अपरिवर्तनीय निरूपण पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। क्वांटम सिद्धांत में इसका अर्थ यह है कि C*-बीजगणित वेधशालाओं द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि सेगल ने बताया, यह पहले जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा मात्र गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर-हाइजेनबर्ग सिद्धांत के विशिष्ट स्थिति के लिए दिखाया गया था।

यह भी देखें

• चक्रीय और पृथक्कारी सदिश
• केएसजीएनएस निर्माण

संदर्भ

• William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
  English translation: Dixmier, Jacques (1982). C*-algebras. North-Holland. ISBN 0-444-86391-5.
• Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
• Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. ISBN 981-256-129-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)