द्विकेंद्रित बहुभुज

समबाहु त्रिभुज

द्विकेंद्रित चतुर्भुज पतंग (ज्यामिति)

द्विकेंद्रित समद्विबाहु समलम्बाकार

समभुजकोणीय बहुभुज पंचकोण

ज्यामिति में, द्विकेंद्रित बहुभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज होता है (एक बहुभुज जिसके सभी भुजा एक आंतरिक अंतर्वृत्त के स्पर्शरेखा होते हैं) जो कि चक्रीय भी होता है - अर्थात, बाहरी वृत्त में अंकित होता है जो बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से होकर रेखांकित किया जाता है। सभी त्रिभुज और सभी समभुजकोणीय बहुभुज द्विकेंद्रित होते हैं। दूसरी ओर, असमान भुजाओं वाला एक आयत द्विकेंद्रित नहीं होता है, क्योंकि कोई भी वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श नहीं कर सकता है।

त्रिकोण

Main article: ज्यामिति में यूलर की प्रमेय

प्रत्येक त्रिभुज द्विकेंद्रित होता है। एक त्रिभुज में, अंतःवृत्त की त्रिज्याएँ r और R और त्रिभुज के बाह्यवृत्त और परिवृत्त क्रमशः समीकरण द्वारा संबंधित हैं

${\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}$

जहाँ x वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है। यह ज्यामिति में यह यूलर के त्रिभुज सूत्र का एक संस्करण है।

द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज

Main article: द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज

सभी चतुर्भुज द्विकेंद्रित नहीं होते हैं (एक अंतःवृत्त और परिवृत्त दोनों होते हैं)। त्रिज्या R और r के साथ दो वृत्त (एक दूसरे के अंदर) को देखते हुए जहां $R>r$, उनमें से एक में अंकित उत्तल चतुर्भुज सम्मिलित है और दूसरे को स्पर्शरेखा यदि और केवल यदि उनकी त्रिज्या पूर्ण करती है

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

जहाँ x उनके केंद्रों के बीच की दूरी है। यह स्थिति (और उच्च कोटि वाले बहुभुजों के लिए समान स्थिति) को को फ़स प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

बहुभुज n > 4 के साथ

एक जटिल सामान्य सूत्र परिवृत्त R, अंतःत्रिज्या r, और परिकेन्द्र और अंतःकेन्द्र के बीच की दूरी x के बीच संबंध के लिए भुजाओं की किसी भी संख्या n के लिए जाना जाता है। इनमें से कुछ विशिष्ट n के लिए हैं:

$n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},$

$n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},$

$n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},$

कहाँ $p={\tfrac {R+x}{r}}$ और $q={\tfrac {R-x}{r}}.$

समभुजकोणीय बहुभुज

प्रत्येक समभुजकोणीय बहुभुज द्विकेंद्रित होता है। एक समभुजकोणीय बहुभुज में, अंतर्वृत्त और परिवृत्त संकेंद्रित होते हैं - अर्थात, वे एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं, जो समभुजकोणीय बहुभुज का केंद्र भी होता है, इसलिए अंतःकेंद्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी सदैव शून्य होती है। उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या अंतःत्रिज्या है (केंद्र से समभुजकोणीय बहुभुज की सीमा तक की सबसे छोटी दूरी)।

किसी भी समभुजकोणीय बहुभुज के लिए, सामान्य कोर (ज्यामिति) की लंबाई a, अंतःवृत्त की त्रिज्या r और त्रिभुज के बहिर्वृत्त, और परिवृत्त की त्रिज्या R के बीच संबंध हैं:

$R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.$

कुछ समभुजकोणीय बहुभुजों के लिए जो कम्पास (परकार) और रूलर (मापक) के साथ बनाया जा सकता हैं, हमारे पास इन संबंधों के लिए निम्नलिखित बीजगणितीय सूत्र हैं:

$n\!\,$	$R\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित दशमलव सन्निकटन हैं:

$n\!\,$		$R/a\!\,$		$r/a\!\,$		$R/r\!\,$
$3\,$		$0.577\,$		$0.289$		$2.000\,$
$4$		$0.707\,$		$0.500$		$1.414\,$
$5$		$0.851\,$		$0.688$		$1.236\,$
$6$		$1.000\,$		$0.866$		$1.155\,$
$8$		$1.307\,$		$1.207$		$1.082\,$
$10$		$1.618\,$		$1.539$		$1.051\,$

पोंसलेट की उपप्रमेय

Main article: पोन्सलेट की क्लोजर प्रमेय

यदि दो वृत्त एक विशेष द्विकेंद्रित n-गॉन के रेखांकित और परिचालित वृत्त हैं, तो वही दो वृत्त अधिकतम रूप से कई द्विकेंद्रित n-गोंन्स के रेखांकित और परिचालित वृत्त हैं। अधिक परिशुद्ध रूप से दो वृत्तों के आंतरिक भाग की प्रत्येक स्पर्श रेखा को एक द्विकेंद्रित n-गॉन तक बढ़ाया जा सकता है, जहाँ पर यह बाहरी वृत्त को रेखित करता है, प्रत्येक शीर्ष से एक और स्पर्श रेखा के साथ जारी रहता है, और उसी तरह जारी रहता है। जब तक कि परिणामी बहुभुज श्रृंखला एक n-गॉन तक बंद न हो जाए। तथ्य यह है कि यह सदैव ही पोंसलेट के समापन प्रमेय द्वारा निहित है, जो सामान्य रूप से अंकित और परिबद्ध शंकु-गणित के लिए प्रयुक्त होता है।

इसके अतिरिक्त, एक परिवृत्त और अंतःवृत्त दिया गया है, चर बहुभुज का प्रत्येक विकर्ण एक निर्धारित निश्चित वृत्त की स्पर्शरेखा है।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Bicentric polygon". MathWorld.