प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा

विक्षोभ गतिक ऊर्जा
सामान्य प्रतीक	TKE, k
SI आधार इकाइयाँ में	J/kg = m2⋅s−2
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)$

द्रव गतिकी में, प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा (टीकेई) विक्षुब्ध प्रवाह में आवर्त (द्रव गतिशीलता) से जुड़ी प्रति इकाई द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा है। भौतिक रूप से, गतिज ऊर्जा विक्षोभ को वर्ग माध्य मूल (आरएमएस) वेग से अभिलक्षित किया जाता है। रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में, प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा की गणना संवरण विधि, यानी प्रक्षोभ प्रतिरूपण के आधार पर की जा सकती है।

सामान्यतः, टीकेई को वेग घटकों के प्रसरण (मानक विचलन का वर्ग) के आधे योग के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),$$

जहां प्रक्षुब्ध वेग घटक तात्कालिक और औसत वेग $u'=u-{\overline {u}}$ के बीच का अंतर है, जिसका माध्य और विचरण निम्न है

$${\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0,\end{aligned}}$$

क्रमशःक्रमश

टीकेई का उत्पादन द्रव कतरनी, घर्षण या उछाल, या कम आवृत्ति आवर्त मापक्रम (अभिन्न मापक्रम) पर बाहरी बल के माध्यम से किया जा सकता है। फिर प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा को प्रक्षोभ ऊर्जा सोपान के नीचे स्थानांतरित किया जाता है, और कोलमोगोरोव सूक्ष्म मापक्रम पर विस्कासी ताकतों द्वारा नष्ट कर दिया जाता है। उत्पादन, अभिगमन और अपव्यय की इस प्रक्रिया को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,$$

जहाँ:

• ${\tfrac {Dk}{Dt}}$ टीकेई का माध्य-प्रवाह स्थूल व्युत्पन्न है;
• ∇ · T′ टीकेई का प्रक्षोभ अभिगमन है;
• P टीकेई का उत्पादन है, और
• ε टीकेई अपव्यय है।

यह मानते हुए कि आणविक श्यानता स्थिर है, और बाउसिनस्क सन्निकटन (उछाल) बनाते हुए, टीकेई समीकरण निम्न है:

$$\underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}$$

इन घटनाओं की जांच करके, किसी विशेष प्रवाह के लिए प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा बजट पाया जा सकता है।

कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी

कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) में, कोलमोगोरोव सूक्ष्म मापक्रम तक प्रवाह-क्षेत्र को अलग किए बिना संख्यात्मक रूप से प्रक्षोभ का अनुकरण करना असंभव है, जिसे प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण (डीएनएस) कहा जाता है। क्योंकि मेमोरी, कम्प्यूटेशनल और संचयन शिरोपरि के कारण डीएनएस अनुकरण अत्यधिक महंगे हैं, प्रक्षोभ के प्रभावों को अनुकरण करने के लिए प्रक्षोभ प्रतिरूप का उपयोग किया जाता है। विभिन्न प्रकार के प्रतिरूपों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सामान्यतः टीकेई एक मौलिक प्रवाह विशेषता है जिसकी गणना द्रव प्रक्षोभ को प्रतिरूप करने के लिए की जानी चाहिए।

रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण

रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स (आरएएनएस) अनुकरण बौसिनस्क आवर्त श्यानता परिकल्पना का उपयोग करते हैं, औसत प्रक्रिया से उत्पन्न होने वाले रेनॉल्ड्स प्रतिबल की गणना करने के लिए:

$${\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),$$

जहाँ

$$\nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.$$

टीकेई को हल करने की सटीक विधि प्रयुक्त प्रक्षोभ प्रतिरूप पर निर्भर करती है; k–ε (के-एप्सिलॉन) प्रतिरूप प्रक्षोभ की समदैशिकता मानते हैं जिससे सामान्य प्रतिबल बराबर होते हैं:

$${\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.$$

यह धारणा प्रक्षोभ मात्राओं (k और ε) का प्रतिरूपण करती है, लेकिन उन परिदृश्यों में सटीक नहीं होगा जहां प्रक्षोभ प्रतिबल का विषमदैशिक व्यवहार हावी है, और प्रक्षोभ के उत्पादन में इसके निहितार्थ भी अति-भविष्यवाणी की ओर ले जाते हैं क्योंकि उत्पादन प्रतिबल सामान्य प्रतिबलों के बीच (जैसा कि वे हैं, धारणा के अनुसार, बराबर हैं) की औसत दर पर निर्भर करता है न कि अंतर पर निर्भर करता है।

रेनॉल्ड्स-प्रतिबल प्रतिरूप (आरएसएम) रेनॉल्ड्स प्रतिबल को बंद करने के लिए एक अलग विधि का उपयोग करते हैं, जिससे सामान्य प्रतिबल को समदैशिक नहीं माना जाता है, इसलिए टीकेई उत्पादन के साथ समस्या से बचा जाता है।

प्रारंभिक स्थितियाँ

सीएफडी अनुकरण में प्रारंभिक स्थितियों के रूप में टीकेई का सटीक निर्धारण प्रवाह विशेषतः उच्च रेनॉल्ड्स-संख्या अनुकरण की सटीक भविष्यवाणी करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक निर्बाध वाहिनी का उदाहरण नीचे दिया गया है।

$$k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},$$

जहाँ I नीचे दी गई प्रारंभिक प्रक्षोभ तीव्रता [%] है, और U प्रारंभिक वेग परिमाण है। पाइप प्रवाह के लिए एक उदाहरण के रूप में, पाइप व्यास के आधार पर रेनॉल्ड्स संख्या के साथ:

$$I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.$$

यहाँ l प्रक्षोभ या आवर्त की लंबाई का मापक्रम है, जो नीचे दिया गया है, और c_μ एक k–ε प्रतिरूप पैरामीटर है जिसका मान सामान्यतः 0.09 दिया गया है;

$$\varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.$$

अशांत लंबाई मापक्रम का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है

$$l=0.07L,$$

साथ एक विशिष्ट लंबाई L है। आंतरिक प्रवाह के लिए इसमें प्रवेशिका वाहिनी (या पाइप) की चौड़ाई (या व्यास) या द्रवचालित व्यास का मान लिया जा सकता है।

बाहरी संबंध

• Turbulence kinetic energy at CFD Online.
• Absi, R. (2008). "Analytical solutions for the modeled k-equation". Journal of Applied Mechanics. 75 (44501): 044501. Bibcode:2008JAM....75d4501A. doi:10.1115/1.2912722.