प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति (या विनियमित ब्राउनियन गति, दोनों परिवर्णी शब्द आरबीएम के साथ) सीमाओं को प्रतिबिंबित करने वाले अंतरिक्ष में एक वीनर प्रक्रिया है। भौतिकी साहित्य में यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में विसरण का वर्णन करती है और इसे अधिकांशतः सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है।

आरबीएम को भारी ट्रैफ़िक का अनुभव करने वाले कतारबद्ध मॉडलों का वर्णन करने के लिए दिखाया गया है जैसा कि किंगमैन द्वारा पहली बार प्रस्तावित किया गया था और इग्लेहार्ट और व्हिट द्वारा सिद्ध किया गया था।

परिभाषा

A d-आयामी परावर्तित ब्राउनियन गति Z, $\mathbb {R} _{+}^{d}$ पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

• एक डी-आयामी बहाव वेक्टर μ
• a d×d गैर-विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह Σ और
• a d×d प्रतिबिंब आव्यूह R।

जहां X(t) एक अनियंत्रित एक प्रकार कि गति है और:

$Z(t)=X(t)+RY(t)$

Y(t) एक d-आयामी वेक्टर के साथ जहां

• Y निरन्तर है और Y(0) = 0 के साथ घटता नहीं है
• Y_j केवल उसी समय बढ़ता है जिसके लिए Z_j= 0 जे के लिए = 1,2,..., d
• Z(t) ∈ , t ≥ 0.

प्रतिबिंब आव्यूह सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। के आंतरिक भाग में $\scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}$ प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार करती है; सीमा पर सामान्य रूप से पर बोलते हुए, Z को दिशा R^j में धकेल दिया जाता है जब भी सीमा सतह $\scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}$ मारा जाता है, जहां R^j आव्यूह R का jवां स्तंभ है।

स्थिरता की स्थिति

1, 2, और 3 आयामों में आरबीएम के लिए स्थिरता की स्थितियाँ जानी जाती हैं। "एसआरबीएम के लिए चार और उच्चतर आयामों में पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।" विशेष स्थिति में जहां आर एक एम-आव्यूह है तो स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त नियम हैं

1. R एक गैर-एकवचन आव्यूह है और
2. R⁻¹μ < 0.

सीमांत और स्थिर वितरण

एक आयाम

0 से शुरू होने वाली एक-आयामी ब्राउनियन गति का सीमांत वितरण (क्षणिक वितरण) ड्रिफ्ट μ और विचरण σ² के साथ सकारात्मक मानों (0 पर एक एकल परावर्तक अवरोध) तक सीमित है

$\mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)$

सभी t ≥ 0 के लिए, (Φ के साथ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन) जो देता है (μ < 0 के लिए) जब t → ∞ एक घातीय वितरण लेते हैं

$\mathbb {P} (Z<z)=1-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}.$

निश्चित टी के लिए, Z(t) का वितरण ब्राउनियन गति के चल रहे अधिकतम M(t) के वितरण के साथ मेल खाता है,

$Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).$

किंतु ध्यान रखें कि संपूर्ण रूप से प्रक्रियाओं का वितरण बहुत भिन्न होता है। विशेष रूप से, M(t) t में बढ़ रहा है, जो Z(t) के स्थिति में नहीं है।

$p_{b}$ परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेल:

$f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}$

ऊपर के विमान के लिए $x\geq p_{b}$

एकाधिक आयाम

कई आयामों में प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से तब ट्रैक किया जा सकता है जब उत्पाद के रूप में स्थिर वितरण होता है जो तब होता है जब प्रक्रिया स्थिर होती है और

$2\Sigma =RD+DR'$

जहां D = diag(Σ) इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन है

]$p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}$

जहाँ η_k = 2μ_kγ_k/Σ_kk and γ = R⁻¹μ उन स्थितियों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियां जहां उत्पाद फॉर्म की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, सिमुलेशन अनुभाग में नीचे वर्णित अनुसार संख्यात्मक रूप से गणना की जा सकती है।

सिमुलेशन

एक आयाम

एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्न मैटलैब प्रोग्राम एक नमूना पथ बनाता है।

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

असतत सिमुलेशन में सम्मिलित त्रुटि की मात्रा निर्धारित की गई है।

एकाधिक आयाम

QNET स्टेडी स्टेट आरबीएम के अनुकरण की अनुमति देता है।

अन्य सीमा के नियम

फेलर ने प्रक्रिया के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया गया था

• अवशोषणया मार डाला ब्राउनियन गति, एक डिरिचलेट सीमा स्थिति
• तात्कालिक प्रतिबिंब,जैसा कि एक न्यूमैन सीमा स्थिति के ऊपर वर्णित है
• लोचदार प्रतिबिंब, एक रॉबिन सीमा की स्थिति
• विलंबित प्रतिबिंब(सीमा पर बिताया गया समय प्रायिकता एक के साथ धनात्मक है)
• आंशिक प्रतिबिंबजहां प्रक्रिया या तो तुरंत परिलक्षित होती है या अवशोषित हो जाती है
• अस्थिरचित्त ब्राउनियन गति।

यह भी देखें

• स्कोरोखोड समस्या