प्रवणता संख्या

प्रवणता संख्या 3 के साथ पीटरसन ग्राफ का चित्र

ग्राफ ड्राइंग और ज्यामितीय ग्राफ़ सिद्धांत में, ग्राफ़ की प्रवणता संख्या ग्राफ़ की ड्राइंग में किनारों के भिन्न-भिन्न प्रवणताओं की न्यूनतम संभव संख्या होती है जिसमें कोने को यूक्लिडियन समतल में बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है और किनारों को रेखा खंड के रूप में दर्शाया जाता है। किसी भी गैर-घटना शीर्ष से होकर न निकले ।

पूर्ण ग्राफ़

चूंकि असतत ज्यामिति में निकट संबंधी समस्याओं का अध्ययन पहले किया जा चुका है,इस प्रकार से उदाहरण के लिए द्वारा स्कॉट (1970) और जेमिसन (1984),

इस प्रकार से ग्राफ़ की प्रवणता संख्या निर्धारित करने की समस्या किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? वेड & चू (1994), जिसने दिखाया कि प्रवणता संख्या n-वर्टेक्स पूरा ग्राफ K_n बिलकुल n है. ग्राफ़ के शीर्षों को नियमित बहुभुज पर रखकर इस प्रवणता संख्या के साथ चित्र बनाया जा सकता है।

डिग्री से संबंध

इस प्रकार से अधिकतम डिग्री के ग्राफ़ की प्रवणता संख्या d स्पष्ट रूप से कम से कम $\lceil d/2\rceil$ है, क्योंकि घटना के अधिकतम दो किनारे डिग्री पर-d शीर्ष प्रवणता साझा कर सकता है। अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवणता संख्या कम से कम ग्राफ़ की रैखिक आर्बोरिसिटी के समान होती है, क्योंकि एकल प्रवणता के किनारों को रैखिक फारेस्ट बनाना चाहिए, और बदले में रैखिक आर्बोरिसिटी कम से कम $\lceil d/2\rceil$ होती है .

अधिकतम डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) पांच वाले ग्राफ़ मौजूद हैं जिनमें मनमाने ढंग से बड़ी प्रवणता संख्या होती है। चूंकि , अधिकतम डिग्री तीन के प्रत्येक ग्राफ में प्रवणता संख्या अधिकतम चार होती है; का परिणाम वेड & चू (1994) संपूर्ण ग्राफ़ के लिए K₄दिखाता है कि यह तंग है। इस प्रकार से चार प्रवणताओं का प्रत्येक समुच्य सभी डिग्री-3 ग्राफ़ खींचने के लिए उपयुक्त नहीं किये जाते है: और प्रवणताओं का समुच्य इस उद्देश्य के लिए उपयुक्त होता है अर्यथात यह समांतर चतुर्भुज के पक्षों और विकर्णों की प्रवणता बनाता है। विशेष रूप से, कोई भी डिग्री 3 ग्राफ़ खींचा जा सकता है किंतु उसके किनारे या तो अक्ष-समानांतर हों या पूर्णांक जालक के मुख्य विकर्णों के समानांतर होता है । परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि अधिकतम डिग्री चार के ग्राफ़ में प्रवणता संख्या सीमित होती है या असीमित होती है।

की विधि केसज़ेघ, पच & पाल्वोल्ग्यी (2011) परिबद्ध डिग्री के साथ प्रवणता ग्राफ़ के लिए परिबद्ध प्रवणता संख्या प्राप्त करने के लिए वृत्त पैकिंग और क्वाडट्री के संयोजन के लिए

प्रवणताीय रेखांकन

जैसा केसज़ेग, पच & पाल्वोल्ग्यी (2011) दिखाया गया है, प्रत्येक प्रवणताीय ग्राफ में फ़ेरी का प्रमेय होता है और तलीय सीधी-रेखा रेखाचित्र जिसमें भिन्न-भिन्न प्रवणताओं की संख्या ग्राफ़ की डिग्री का कार्य है। इस तरह से प्रमाण निर्माण का अनुसरण करता है मालित्ज़ & पापाकोस्टास (1994) प्रवणताीय ग्राफ़ के कोणीय रिज़ॉल्यूशन (ग्राफ़ ड्राइंग) को डिग्री के फलन के रूप में सीमित करने के लिए, ग्राफ़ को स्थिर कारक से अधिक की डिग्री में वृद्धि किए बिना अधिकतम प्रवणताीय ग्राफ़ में पूर्ण करके, और इस संवर्धित ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करने के लिए सर्कल पैकिंग प्रमेय को प्रयुक्त करना स्पर्शरेखा वृत्तों के संग्रह के रूप में उपयोग किया गया है । यदि प्रारंभिक ग्राफ़ की डिग्री परिबद्ध है, तो पैकिंग में आसन्न वृत्तों की त्रिज्याओं के मध्य का अनुपात भी रिंग लेम्मा द्वारा परिबद्ध होगा, जिसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक ग्राफ शीर्ष को उसके वृत्त के अन्दर बिंदु पर रखने के लिए क्वाडट्री का उपयोग करने से प्रवणता उत्पन्न होंगे जोकी छोटे पूर्णांकों के अनुपात होते हैं। इस निर्माण द्वारा उत्पन्न भिन्न-भिन्न प्रवणताओं की संख्या ग्राफ़ की डिग्री में घातीय होती है।

जटिलता

इस प्रकार से यह निर्धारित करना एनपी-पूर्ण है कि ग्राफ़ में प्रवणता संख्या दो है या नहीं है । इससे यह पता चलता है कि किसी इच्छा से ग्राफ की प्रवणता संख्या निर्धारित करना, या 3/2 से उत्तम सन्निकटन अनुपात के साथ इसका अनुमान लगाना एनपी-कठिन है।

यह निर्धारित करना भी एनपी-पूर्ण है कि क्या प्रवणताीय ग्राफ़ में प्रवणता संख्या दो के साथ प्रवणताीय रेखाचित्र है,

और वास्तविकता के अस्तित्व संबंधी सिद्धांत के लिए प्रवणताीय रेखाचित्र की न्यूनतम प्रवणता संख्या निर्धारित करना कठिन होता है।

संदर्भ

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