बूलियन नेटवर्क

N=4 वर्टेक्स (ग्राफ़ थ्योरी) और K=1 ग्राफ़ थ्योरी बेसिक्स प्रति नोड के साथ एक बूलियन नेटवर्क का स्टेट स्पेस। नोड्स को या तो चालू (लाल) या बंद (नीला) किया जा सकता है। पतले (काले) तीर बूलियन समारोह के इनपुट का प्रतीक हैं। जो प्रत्येक नोड के लिए एक साधारण कॉपी-फ़ंक्शन है। मोटे (ग्रे) तीर दिखाते हैं कि सिंक्रोनस अपडेट क्या करता है। कुल मिलाकर 6 (नारंगी) आकर्षण हैं। उनमें से 4 निश्चित बिंदु (गणित) हैं।

एक बूलियन नेटवर्क में बूलियन चर का एक असतत सेट होता है। जिनमें से प्रत्येक में एक बूलियन फ़ंक्शन होता है। संभवतः प्रत्येक चर के लिए अलग इसे सौंपा जाता है। जो उन चर और आउटपुट के सबसेट से इनपुट लेता है। जो उस चर की स्थिति को निर्धारित करता है। जिसे इसे सौंपा गया है। कार्यों का यह सेट प्रभाव में चर के सेट पर एक टोपोलॉजी (कनेक्टियविटी) निर्धारित करता है। जो तब नेटवर्क (गणित) में नोड बन जाता है। सामान्यतः तंत्र की गतिशीलता को असतत समय श्रृंखला के रूप में लिया जाता है। जहां समय पर पूरे नेटवर्क की स्थिति t+1 समय t पर नेटवर्क की स्थिति पर प्रत्येक चर के कार्य का मूल्यांकन करके निर्धारित किया जाता है। यह समकालिक रूप से या अतुल्यकालिक रूप से किया जा सकता है।^[1]

जीव विज्ञान में बूलियन नेटवर्क का उपयोग विनियामक नेटवर्क के मॉडल के लिए किया गया है। चूंकि बूलियन नेटवर्क आनुवंशिक वास्तविकता का एक अपरिष्कृत सरलीकरण है। जहां जीन सरल बाइनरी स्विच नहीं हैं। ऐसी कई स्थितियां हैं जहां वे व्यक्त और दबे हुए जीन के सही पैटर्न को सही ढंग से व्यक्त करते हैं।^[2]^[3] प्रतीत होने वाला गणितीय आसान (तुल्यकालिक) मॉडल केवल 2000 के दशक के मध्य में पूरी तरह से समझा गया था।^[4]

मौलिक मॉडल

एक बूलियन नेटवर्क एक विशेष प्रकार की अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली है। जहां समय और राज्य असतत होते हैं। अर्थात चर के सेट और समय श्रृंखला में राज्यों के सेट दोनों में पूर्णांक श्रृंखला पर एक आक्षेप होता है।

एक यादृच्छिक बूलियन नेटवर्क (आरबीएन) वह है जिसे एक विशेष आकार N के सभी संभावित बूलियन नेटवर्क के सेट से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक तो सांख्यिकीय रूप से अध्ययन कर सकता है कि कैसे ऐसे नेटवर्क के अपेक्षित गुण सभी संभावित नेटवर्कों के समूह के विभिन्न सांख्यिकीय गुणों पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए कोई यह अध्ययन कर सकता है कि औसत कनेक्टिविटी बदलने पर आरबीएन व्यवहार कैसे बदलता है।

आनुवंशिक नियामक नेटवर्क के यादृच्छिक मॉडल के रूप में 1969 में स्टुअर्ट ए कॉफ़मैन द्वारा पहले बूलियन नेटवर्क प्रस्तावित किए गए थे।^[5] लेकिन उनकी गणितीय समझ 2000 के दशक में ही प्रारम्भ हुई थी।^[6]^[7]

अट्रैक्टर

चूँकि एक बूलियन नेटवर्क में केवल 2^N होते हैं। संभावित अवस्थाएँ एक प्रक्षेपवक्र जल्दी या बाद में पहले देखी गई स्थिति तक पहुँच जाएगा और इस प्रकार चूंकि गतिकी नियतात्मक होती है। प्रक्षेपवक्र एक स्थिर अवस्था या चक्र में गिर जाएगा। जिसे एक आकर्षण कहा जाता है। यद्यपि गतिशील के व्यापक क्षेत्र में तंत्र एक चक्र केवल एक आकर्षित करने वाला होता है। यदि इससे त्रुटि वापस आती है। यदि आकर्षित करने वाले की केवल एक ही अवस्था होती है। तो उसे बिंदु आकर्षणक कहा जाता है और यदि आकर्षित करने वाले में एक से अधिक अवस्थाएँ होती हैं। तो उसे चक्र आकर्षित करने वाला कहा जाता है। आकर्षित करने वाले राज्यों के समूह को आकर्षण का बेसिन कहा जाता है। राज्य, जो केवल प्रक्षेपवक्र की प्रारम्भ में होते हैं। कोई प्रक्षेपवक्र उन्हें आगे नहीं ले जाते हैं, गार्डन-ऑफ-ईडन राज्य कहलाते हैं^[8] और नेटवर्क की गतिशीलता इन राज्यों से आकर्षित करने वालों की ओर बहती है। एक आकर्षित करने वाले तक पहुँचने में लगने वाले समय को क्षणिक समय कहा जाता है।^[4]

बढ़ती कंप्यूटर शक्ति और प्रतीत होने वाले सरल मॉडल की बढ़ती समझ के साथ अलग-अलग लेखकों ने आकर्षित करने वालों की औसत संख्या और लंबाई के लिए अलग-अलग अनुमान दिए। यहां प्रमुख प्रकाशनों का संक्षिप्त सारांश दिया गया है।^[9]

लेखक	वर्ष	औसत आकर्षित करने वाली लंबाई	औसत आकर्षित करने वाली संख्या	टिप्पणी
कॉफ़मैन ^[5]	1969	$\langle A\rangle \sim {\sqrt {N}}$	$\langle \nu \rangle \sim {\sqrt {N}}$
बस्तोला/पेरिस^[10]	1998	शक्ति के नियम से तेज, $\langle A\rangle >N^{x}\forall x$	शक्ति के नियम से तेज, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$	पहला संख्यात्मक प्रमाण
बिल्के/सुजनेसन^[11]	2002		सिस्टम आकार के साथ रैखिक, $\langle \nu \rangle \sim N$
सोकोलर/कॉफमैन^[12]	2003		रैखिक से तेज, $\langle \nu \rangle >N^{x}$ , $x>1$
सैमुएलसन/ट्रोइन^[13]	2003		सुपरपोलिनोमियल वृद्धि, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$	गणितीय प्रमाण
मिहालजेव/ड्रोसेल	2005	शक्ति के नियम से तेज, $\langle A\rangle >N^{x}\forall x$	शक्ति के नियम से तेज, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$

स्थिरता

डायनेमिक तंत्र सिद्धांत में नेटवर्क के आकर्षित करने वालों की संरचना और लंबाई नेटवर्क के गतिशील चरण से मिलती है। बूलियन नेटवर्क की स्थिरता उनके नोड (ग्राफ सिद्धांत) के कनेक्शन पर निर्भर करती है। एक बूलियन नेटवर्क स्थिर आलोचनात्मक या अराजक व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है। यह घटना नोड्स के कनेक्शन की औसत संख्या ( $K_{c}$ ) के एक महत्वपूर्ण मूल्य द्वारा नियंत्रित होती है और हैमिंग दूरी द्वारा दूरी माप के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अस्थिर शासन में प्रारंभिक रूप से दो पास राज्यों के बीच की दूरी औसतन समय के साथ तेजी से बढ़ती है। जबकि स्थिर शासन में यह तेजी से घट जाती है। इसमें प्रारंभिक रूप से पास के राज्यों के साथ इसका अर्थ है कि हैमिंग दूरी नोड्स की संख्या की तुलना ( $N$ ) नेटवर्क में छोटी है।

एन-के-मॉडल के लिए^[14] नेटवर्क स्थिर है।

यदि $K<K_{c}$ ,

महत्वपूर्ण यदि $K=K_{c}$ , और अस्थिर

यदि $K>K_{c}$ .

किसी दिए गए नोड की स्थिति $n_{i}$ इसकी सत्य सूची के अनुसार अद्यतन किया जाता है। जिसके आउटपुट अच्छे से भरे जाते हैं। $p_{i}$ इनपुट सिग्नल की दी गई श्रृंखला के लिए ऑफ आउटपुट असाइन करने की संभावना को दर्शाता है।

यदि $p_{i}=p=const.$ प्रत्येक नोड के लिए स्थिर और अराजक सीमा के बीच संक्रमण $p$ निर्भर करता है। बर्नार्ड डेरिडा और यवेस पोमो के अनुसार^[15] कनेक्शन की औसत संख्या का महत्वपूर्ण मान है। $K_{c}=1/[2p(1-p)]$ .

यदि $K$ स्थिर नहीं है और इन-डिग्री और आउट-डिग्री के बीच कोई संबंध नहीं है। स्थिरता $\langle K^{in}\rangle$ की स्थिति किसके द्वारा निर्धारित की जाती है।^[16]^[17]^[18] नेटवर्क स्थिर है।

यदि $\langle K^{in}\rangle <K_{c}$ महत्वपूर्ण

यदि $\langle K^{in}\rangle =K_{c}$ और अस्थिर

यदि $\langle K^{in}\rangle >K_{c}$ .

स्केल-फ्री नेटवर्क स्केल-फ्री नेटवर्क टोपोलॉजी वाले नेटवर्क के स्थितियां में स्थिरता की स्थिति समान होती है। जहां इन-एंड-आउट-डिग्री डिस्ट्रीब्यूशन $P(K)\propto K^{-\gamma }$ एक पावर-लॉ डिस्ट्रीब्यूशन है और $\langle K^{in}\rangle =\langle K^{out}\rangle$ क्योंकि एक नोड से प्रत्येक आउट-लिंक दूसरे से इन-लिंक होता है।^[19] संवेदनशीलता इस संभावना को दर्शाती है कि किसी दिए गए नोड के बूलियन फ़ंक्शन का आउटपुट बदलता है। यदि उसका इनपुट बदलता है। यादृच्छिक बूलियन नेटवर्क के लिए $q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})$ . सामान्य स्थिति में नेटवर्क की स्थिरता सबसे बड़े ईजेन मान और ईजेन वैक्टर द्वारा नियंत्रित होती है। $\lambda _{Q}$ मैट्रिक्स का $Q$ , जहाँ $Q_{ij}=q_{i}A_{ij}$ और $A$ नेटवर्क का आसन्न मैट्रिक्स है।^[20] नेटवर्क स्थिर है। यदि $\lambda _{Q}<1$ , महत्वपूर्ण यदि $\lambda _{Q}=1$ , अस्थिर यदि $\lambda _{Q}>1$ .

मॉडल के रूपांतर

अन्य टोपोलॉजी

एक विषय विभिन्न अंतर्निहित ग्राफ टोपोलॉजी का अध्ययन करना है।

सजातीय स्थितिकेवल एक ग्रिड को संदर्भित करता है जो कि प्रसिद्ध ईज़िंग मॉडल की कमी है।
स्केल-फ्री नेटवर्क बूलियन नेटवर्क के लिए स्केल-फ्री टोपोलॉजी का चयन किया जा सकता है।^[21] कोई उस स्थितियां को अलग कर सकता है। जहां सत्ता-नियम में केवल इन-डिग्री वितरण वितरित किया गया हो^[22] या केवल आउट-डिग्री-डिस्ट्रीब्यूशन या दोनों।

अन्य अद्यतन योजनाएं

क्लासिकल बूलियन नेटवर्क (कभी-कभी सीआरबीएन, अर्थात क्लासिक रैंडम बूलियन नेटवर्क कहा जाता है) सिंक्रोनस रूप से अपडेट किए जाते हैं। इस तथ्य से प्रेरित है कि जीन सामान्यतः एक साथ अपनी स्थिति नहीं बदलते हैं।^[23] अलग-अलग विकल्प प्रस्तुत किए गए हैं। एक सामान्य वर्गीकरण^[24] निम्नलखित में से कोई:

नियतात्मक अतुल्यकालिक अद्यतन बूलियन नेटवर्क (डी आरबीएन) समकालिक रूप से अद्यतन नहीं हैं। लेकिन एक नियतात्मक समाधान अभी भी उपस्थित है। एक नोड i को तब अपडेट किया जाएगा जब t ≡ Q_i (पी के विरुद्ध) जहां T समय कदम है।^[25]
सबसे सामान्य स्थितिफुल स्टोकेस्टिक अपडेटिंग (गर्बन, जनरल एसिंक्रोनस रैंडम बूलियन नेटवर्क) है। यहां अद्यतन किए जाने वाले प्रत्येक कम्प्यूटेशनल चरण में एक (या अधिक) नोड का चयन किया जाता है।
छोटे रूप से देखे गए बूलियन डायनेमिकल तंत्र (पीओबीडीएस)^[26]^[27]^[28]^[29] सिग्नल मॉडल सभी पिछले नियतात्मक और स्टोचैस्टिक बूलियन नेटवर्क मॉडल से अलग है। बूलियन राज्य वेक्टर की प्रत्यक्ष अवलोकन क्षमता की धारणा को हटाकर और अवलोकन प्रक्रिया में अनिश्चितता की अनुमति देकर व्यवहार में आने वाले परिदृश्य को संबोधित करते हुए।
स्वायत्त बूलियन नेटवर्क (एबीएन) निरंतर समय में अपडेट किए जाते हैं (टी एक वास्तविक संख्या है, एक पूर्णांक नहीं है), जो दौड़ की स्थिति और जटिल गतिशील व्यवहार जैसे नियतात्मक अराजकता की ओर जाता है।^[30]^[31]