मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स A के योग के डिटर्मिनेंट की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश v^T के युग्मकीय गुणनफल, u-v^T की गणना करता है।^.

कथन

मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा बताता है कि

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.$

यहाँ, uv^T दो सदिश u और v का बाह्य गुणनफल है।

प्रमेय को A के सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,$

किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग मैट्रिक्स A विपरीत है या नहीं।

प्रमाण

पहले विशेष स्तिथि का प्रमाण A = I समानता से आता है:

${\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

बाईं ओर का डिटर्मिनेंट तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा मैट्रिक्स इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, उनके डिटर्मिनेंट केवल 1 है। मध्य मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का डिटर्मिनेंट केवल (1 + v^Tu) है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है^:

$\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).$

तब सामान्य स्थिति को इस प्रकार पाया जा सकता हैː

${\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}$

आवेदन

यदि A का डिटर्मिनेंट और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र मैट्रिक्स uvT द्वारा संशोधित A के डिटर्मिनेंट की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत अल्पमूल्य है क्योंकि A + uvT के डिटर्मिनेंट को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। u और/या v के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, A के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में छलयोजना किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत अल्पमूल्य में एक संबंधित अद्यतन डिटर्मिनेंट की गणना की जा सकती है।

जब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और डिटर्मिनेंट दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

मान लीजिए A एक उलटा n-दर-n मैट्रिक्स है और U, V n-दर-m मैट्रिक्स हैं। तब

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).$ विशेष स्तिथि में $\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}$ यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन अस्मिता है।

अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-दर-m मैट्रिक्स 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).$

यह भी देखें

• शर्मन-मॉरिसन सूत्र, जो दिखाता है कि (A + uvT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
• वुडबरी सूत्र, जो दर्शाता है कि (A + UCVT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
• (A + UCV^T)⁻¹ के लिए द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय।