वीयरस्ट्रैस गुणनखंडन प्रमेय

गणित में, और विशेष रूप से सम्मिश्र विश्लेषण के क्षेत्र में, वीयरस्ट्रैस फ़ैक्टराइज़ेशन प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक संपूर्ण फलन को फलन के शून्य को सम्मिलित करते हुए (संभवतः अनंत) उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रमेय को बीजगणित के मौलिक प्रमेय के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जो दावा करता है कि प्रत्येक बहुपद को प्रत्येक मूल के लिए एक रैखिक कारक में विभाजित किया जा सकता है।

प्रमेय, जिसका नाम कार्ल वीयरस्ट्रैस के नाम पर रखा गया है, एक दूसरे परिणाम से निकटता से संबंधित है कि अनंत की ओर जाने वाले प्रत्येक अनुक्रम में उस अनुक्रम के सटीक बिंदुओं पर शून्य के साथ एक संबद्ध संपूर्ण कार्य होता है।

प्रमेय का एक सामान्यीकरण इसे मध्योद्भिदी कार्यों तक विस्तारित करता है और किसी को दिए गए मध्योद्भिदी फलन को तीन कारकों के उत्पाद के रूप में मानने की अनुमति देता है: फलन के शून्य और ध्रुवों के आधार पर शब्द, और एक संबंधित गैर-शून्य पूर्णसममितिक फलन है।

प्रेरणा

बीजगणित के मौलिक प्रमेय के परिणाम दोहरे हैं। सबसे पहले, कोई भी परिमित अनुक्रम $\{c_{n}\}$ सम्मिश्र तल में एक संबद्ध बहुपद $p(z)$ होता है उस क्रम ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ के बिंदुओं पर बिल्कुल शून्य है, दूसरे, कोई बहुपद फलन $p(z)$ जटिल तल में एक गुणनखंडन होता है

${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ जहाँ a एक गैर-शून्य स्थिरांक है और cn p के शून्यक हैं।

वीयरस्ट्रैस फ़ैक्टराइज़ेशन प्रमेय के दो रूपों को उपरोक्त संपूर्ण कार्यों के विस्तार के रूप में माना जा सकता है। जब कोई विचार करता है तो उत्पाद में अतिरिक्त परिस्थितियों ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ की आवश्यकता प्रदर्शित होती है, जहां क्रम $\{c_{n}\}$ परिमित समुच्चय नहीं है। यह कभी भी संपूर्ण फलन को परिभाषित नहीं कर सकता, क्योंकि अनंत उत्पाद अभिसरण नहीं करता है। इस प्रकार, सामान्यतः, कोई भी निर्धारित शून्यों के अनुक्रम से एक संपूर्ण फलन को परिभाषित नहीं कर सकता है या बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा प्राप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग करके उसके शून्यों द्वारा एक संपूर्ण फलन का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

प्रश्न में अनंत उत्पाद के अभिसरण के लिए एक आवश्यक परिस्थिति यह है कि प्रत्येक z के लिए, कारक $(z-c_{n})$ 1 के रूप में $n\to \infty$ संपर्क करना चाहिए। तो इसका कारण यह है कि किसी को एक ऐसे फलन की खोज करनी चाहिए जो एक निर्धारित बिंदु 0 पर हो, फिर भी उस बिंदु पर नहीं होने पर 1 के करीब रहे और इसके अतिरिक्त निर्धारित से अधिक शून्य न डालें।

वीयरस्ट्रैस के प्राथमिक कारकों में ये गुण होते हैं और उपरोक्त कारकों $(z-c_{n})$ के समान उद्देश्य पूरा करते हैं।

प्रारंभिक कारक

$n\in \mathbb {N}$ के लिए ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ प्रपत्र के कार्यों पर विचार करें। $z=0$ पर, उनका मूल्यांकन 1 होता है और $n$ तक के क्रम में उनका ढलान सपाट होता है। $z=1$ के ठीक बाद, वे तेजी से कुछ छोटे सकारात्मक मान पर गिर जाते हैं। इसके विपरीत, फलन $1-z$ पर विचार करें जिसमें कोई सपाट ढलान नहीं है, लेकिन $z=1$ पर, बिल्कुल शून्य का मूल्यांकन करता है। इसके लिए यह भी ध्यान दें कि |z| < 1 निम्न हैं

$(1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).$

प्राथमिक कारकों के रूप में भी जाना जाता है, ऐसे फलन हैं जो शून्य ढलान और शून्य मान के गुणों को जोड़ते हैं (लेखाचित्रीय देखें):

$E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

|z| < 1 और $n>0$ के लिए, कोई इसे इस प्रकार व्यक्त कर सकता है

${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$ 

और कोई यह पढ़ सकता है कि उन विशेषता को कैसे लागू किया जाता है। प्राथमिक कारकों की उपयोगिता E_n(z) निम्नलिखित प्रमेयिका में निहित है:

लेम्मा (15.8, रुडिन) के लिए |z| ≤ 1, $n\in \mathbb {N}$

$\vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.$

प्रमेय के दो रूप

निर्दिष्ट शून्य के साथ संपूर्ण फलन का अस्तित्व

मान लीजिये $\{a_{n}\}$ गैर-शून्य जटिल संख्याओं का एक क्रम बनता है जैसे कि $|a_{n}|\to \infty$ है

अगर $\{p_{n}\}$ यह सभी के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का कोई क्रम $r>0$ है,

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,$

फिर फलन

$f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})$

केवल बिंदु $a_{n}$पर शून्य के साथ संपूर्ण है। यदि कोई संख्या $z_{0}$ अनुक्रम $\{a_{n}\}$ में ठीक m बार आती है, तो फलन f का गुणन m के $z=z_{0}$ पर शून्य होता है।

• क्रम $\{p_{n}\}$ प्रमेय के कथन में सदैव विद्यमान रहता है। उदाहरण के लिए, हम हमेशा $p_{n}=n$ ले सकते हैं और अभिसरण प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा अनुक्रम अद्वितीय नहीं है: इसे पदों की सीमित संख्या में बदलने, या कोई अन्य अनुक्रम p′_n ≥ p_n लेने से अभिसरण नहीं टूटेगा।
• प्रमेय निम्नलिखित को सामान्यीकृत करता है: रीमैन क्षेत्र के विवृत उपसमुच्चय (और इसलिए क्षेत्र (गणित)) में अनुक्रमों में संबद्ध कार्य होते हैं जो उन उपसमुच्चयों में होलोमोर्फिक फलन होते हैं और अनुक्रम के बिंदुओं पर शून्य होते हैं।
• इसके अतिरिक्त बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा दी गई स्तिथि को भी यहां सम्मिलित किया गया है। यदि क्रम $\{a_{n}\}$ सीमित है तो हम $p_{n}=0$ ले सकते हैं और $\,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})$ प्राप्त करते हैं।

वीयरस्ट्रैस गुणनखंडन प्रमेय

मान लीजिए कि एक संपूर्ण फलन है, और मान लीजिए कि $\{a_{n}\}$ बहुलता के अनुसार दोहराया गया ƒ का गैर-शून्य शून्य है; यह भी मान लें कि m ≥ 0 क्रम के z = 0 पर $f$ का एक शून्य है। फिर एक संपूर्ण फलन g उपस्थित होता है और पूर्णांकों का एक क्रम $\{p_{n}\}$ इस प्रकार है कि

$f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).$

गुणनखंडन के उदाहरण

त्रिकोणमितीय फलन ज्या और कोज्या में निम्न गुणनखंड होते हैं

$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)$$

$$\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)$$

जबकि गामा फलन $\Gamma$ में गुणनखंडन है

$${\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},$$

$\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। कोटिज्या अस्मिता को विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है

$${\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)$$

$s={\tfrac {1}{2}}$ के लिए है।

हैडामर्ड गुणनखंडन प्रमेय

Main article: हैडामर्ड गुणनखंडन प्रमेय

हैडामर्ड विहित कारकों को परिभाषित करें

$$E_{n}(z):=(1-z)\prod _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}$$

परिमित संपूर्ण कार्य के संपूर्ण कार्यों में जैक्स हैडामर्ड का विहित प्रतिनिधित्व है :

$$f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})$$

जहां $a_{k}$ f के वे मूल हैं जो शून्य $a_{k}\neq 0$ नहीं हैं, m, $z=0$ पर f के शून्य का क्रम (स्तिथि $m=0$ को लिया जा रहा है) माध्य $f(0)\neq 0$ है, P एक बहुपद (जिसकी घात को हम q कहेंगे), और p सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक है जैसे कि निम्नलिखित श्रृंखला

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}$$

जुटता है. गैर-नकारात्मक पूर्णांक $g=\max\{p,q\}$ संपूर्ण फलन $f$ का जीनस कहा जाता है। इस अंकन में,

$$g\leq \rho \leq g+1$$

दूसरे शब्दों में: यदि क्रम $\rho$ एक पूर्णांक नहीं है, तो $g=[\rho ]$ $\rho$ का पूर्णांक भाग है। यदि क्रम एक धनात्मक पूर्णांक है, तो दो संभावनाएँ $g=\rho -1$ या $g=\rho$ हैं।

उदाहरण के लिए, $\sin$, $\cos$ और $\exp$ जीनस के संपूर्ण प्रकार्य $g=\rho =1$ हैं।

यह भी देखें

• मित्तग-लेफ़लर का प्रमेय
• वालिस उत्पाद, जिसे साइन फलन पर लागू इस प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है
• ब्लास्के उत्पाद

बाहरी संबंध

• "Weierstrass theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

• यूलर के कारण साइन फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस फ़ैक्टराइज़ेशन का विज़ुअलाइज़ेशन at the Wayback Machine (archived 30 November 2018)