स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स

सैद्धांतिक भौतिकी में, अदिश विद्युत-गतिकी एक U(1) गेज क्षेत्र का एक सिद्धांत है जो आवेशित प्रचक्रण 0 अदिश क्षेत्र से जुड़ा होता है जो साधारण क्वांटम विद्युत-गतिकी में डायराक फ़र्मियन का स्थान लेता है। अदिश क्षेत्र आवेशित किया गया है, और एक उपयुक्त विभव के साथ, यह एबेलियन हिग्स तंत्र के माध्यम से गेज समरूपता के विभंजन की सामर्थ्य रखता है।

मूल पदार्थ और लैग्रैन्जियन

मूल पदार्थ

मॉडल में एक सम्मिश्र अदिश क्षेत्र $\phi (x)$ न्यूनतम रूप से एक गेज क्षेत्र $A_{\mu }(x)$ से जुड़ा होता है।

यह लेख समतल दिक्काल $\mathbb {R} ^{1,3}$ (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष) के सिद्धांत पर चर्चा करता है। इसलिए इन क्षेत्रों को फलनों $\phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C}$, और $A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}$ के रूप में (सरलता से) माना जा सकता है सिद्धांत को वक्रित दिक्काल के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है लेकिन इन परिभाषाओं को और अधिक सूक्ष्म परिभाषा से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। गेज क्षेत्र को प्रमुख सम्बंधन, विशेष रूप से मुख्य ${\text{U}}(1)$ संबंध के रूप में भी जाना जाता है।

लाग्रंगियन

गतिकी लाग्रंगियन घनत्व द्वारा दी गई है

${\mathcal {L}}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\ ,$

जहाँ

• $F_{\mu \nu }=(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की सामर्थ्य, या संबंधन का वक्रता है।
• $D_{\mu }\phi =(\partial _{\mu }\phi -ieA_{\mu }\phi )$ क्षेत्र $\phi$ का सहपरिवर्ती अवकल है
• विद्युत आवेश $e$ है
• $V(\phi ^{*}\phi )$ सम्मिश्र अदिश क्षेत्र के लिए सामर्थ्य है।

गेज-निश्चिरता

यह मॉडल $\lambda (x)$ द्वारा पैरामीटर किए गए गेज परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यह वास्तविक मान $\lambda :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R}$ फलन है

$\phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {and}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).$

अवकलन-ज्यामितीय रूप

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, $\lambda$ सामान्यीकरण का एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है, जो सामान्यीकरण $e^{ie\lambda }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{U}}(1)$ के परिमित परिवर्तन को उत्पन्न करता है। भौतिक विज्ञान में, यह सामान्यीकरण के एक अंतर्निहित चयन के अंतर्गत कार्य करने के लिए व्यावहारिक है, इसलिए एक गेज परिवर्तन वास्तव में सामान्यीकरण के परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है।

हिग्स क्रियाविधि

यदि विभव ऐसा है कि इसका न्यूनतम मान $|\phi |$ के गैर-शून्य मान पर होता है, तो यह मॉडल हिग्स तंत्र प्रदर्शित करता है। यह मॉडल हिग्स तंत्र प्रदर्शित करता है। यह सबसे कम ऊर्जा विन्यास के बारे में अस्थिरता का अध्ययन करके देखा जा सकता है: कोई देखता है कि गेज क्षेत्र एक विशाल क्षेत्र के रूप में व्यवहार करता है जिसका द्रव्यमान $e$ गुणन $|\phi |$ के अनुपात में होता है। जैसा कि 1973 में नीलसन और ओलेसन द्वारा दिखाया गया था, यह मॉडल, में $2+1$ आयाम, चुंबकीय प्रवाह ले जाने वाले वॉर्टेक्स (भ्रमिल) के अनुरूप समय-निरपेक्ष परिमित ऊर्जा विन्यास को स्वीकार करता है। इन वॉर्टेक्स द्वारा किए गए चुंबकीय प्रवाह की मात्रा निर्धारित की जाती है (इकाइयों ${\tfrac {2\pi }{e}}$में) और सांंस्थितिक धारा से जुड़े एक सांंस्थितिक आवेश के रूप में प्रकट होता है

$J_{top}^{\mu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho }F_{\nu \rho }\ .$

ये वॉर्टेक्स प्ररूप- II अतिचालक में दिखने वाले वॉर्टेक्स के समान हैं। इस समानता का उपयोग नीलसन और ओलेसन ने उनके समाधान प्राप्त करने में किया था।

उदाहरण

हिग्स तंत्र को प्रदर्शित करने की सामर्थ्य का एक सरल विकल्प है

$V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.$

विभव $|\phi |=\Phi$ पर न्यूनतम किया जाता है, जिसे शून्य से अधिक चयन किया जाता है। यह एक वास्तविक संख्या $\Phi e^{i\theta }$ के लिए $\theta$ मानों के साथ न्यूनतम का एक चक्र बनाता है

अदिश वर्णगतिकी

See also: अदिश वर्णगतिकी

इस सिद्धांत को $U(1)$ गेज समरूपता वाले एक सिद्धांत से सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें अदिश क्षेत्र $\phi$ का मान $\mathbb {C}$ एक गेज क्षेत्र $A_{\mu }$ के साथ मिलकर गेज समूह $G$, लाइ समूह के अंतर्गत गेज समरूपता वाले सिद्धांत के लिए युग्मित होता है।

अदिश क्षेत्र $\phi$ को गेज समूह $G$ के एक प्रतिनिधित्व समष्टि में महत्व दिया जाता है, जिससे यह सदिश बन जाता है; अदिश क्षेत्र का वर्गीकरण लोरेंत्ज़ समूह के रूपांतरण के अंतर्गत केवल $\phi$ के परिवर्तन को संदर्भित करता है, इसलिए इसे अभी भी अदिश क्षेत्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। गेज-क्षेत्र ${\mathfrak {g}}$-मान 1-रूप है, जहाँ ${\mathfrak {g}}$ का लाइ बीजगणित है।

संदर्भ

• H. B. Nielsen and P. Olesen (1973). "Vortex-line models for dual strings". Nuclear Physics B. 61: 45–61. Bibcode:1973NuPhB..61...45N. doi:10.1016/0550-3213(73)90350-7.

• Peskin, M and Schroeder, D. ;An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2