स्पिन निरूपण

गणित में, स्पिन निरूपण आर्बिटरी आयाम और हस्ताक्षर (अर्थात, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूह के विशेष प्रक्षेपी निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह स्पिन समूह के लाई समूह के दो समकक्ष निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इस प्रकार इनका अध्ययन सामान्यतः वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

स्पिन निरूपण के घटको को स्पिनर कहा जाता है। वह इलेक्ट्रॉन जैसे फरमिओन्स के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

इस प्रकार स्पिन निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन निरूपण को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को प्रस्तुत करके वास्तविक निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है।

इस प्रकार स्पिन निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन निरूपण अधिकांशतः अपरिवर्तनीय (गणित) द्विरेखीय रूप को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को क्लासिकल लाई समूह में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह एम्बेडिंग विशेषण होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।

सेट-अप

मान लीजिए कि V एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप Q है। इस प्रकार Q को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह O(V, Q) बनाते हैं। इस प्रकार समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(V, Q) कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ V वास्तविक के लिए, यह शब्दावलाई मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, SO(V, Q) में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह Spin(V, Q) को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता h: Spin(V, Q) → SO(V, Q) है जिसके कर्नेल में दो घटक {1, −1} दर्शाए गए हैं, जहां 1 पहचान घटक है। इस प्रकार, Spin(V, Q) के समूह घटक g और −g, SO(V, Q) की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, Spin(V, Q) में किसी भी g के लिए h(g) = h(−g) उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार समूह O(V, Q), SO(V, Q) और Spin(V, Q) सभी लाई समूह हैं और निश्चित (V, Q) के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए so(V, Q) यदि V वास्तविक है तो V इसकी सम्मिश्रता V_C = V ⊗_R C का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप Q स्वाभाविक रूप से V_C पर द्विघात रूप Q_C तक विस्तारित होता है। यह SO(V, Q) को SO(V_C, Q_C) के उपसमूह के रूप में एम्बेड करता है और इसलिए हम Spin(V, Q) को Spin(V_C, Q_C) के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त so(V_C, Q_C) so(V, Q) का सम्मिश्रता है।

इस प्रकार सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को V के आयाम n द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम V = Cⁿ मान सकते हैं और

$Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.$

इस प्रकार संबंधित लाई समूहों O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C) और उनके लाई बीजगणित so(n, C) के रूप में दर्शाया गया है .

इस प्रकार वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों (p, q) की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां n = p + q V का आयाम है और p − q हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम V = Rⁿ और मान सकते हैं

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).$

इस प्रकार संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q) और so(p, q) से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए Rⁿ के समष्टि पर R^p,q लिखते हैं।

इस प्रकार स्पिन निरूपण एक अर्थ में Spin(n, C) और Spin(p, q) का सबसे सरल निरूपण है जो SO(n, C) और SO(p, q) के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि S है, जिसमें Spin(n, C) या Spin(p, q) से सामान्य रैखिक समूह GL(S) तक एक समूह समरूपता ρ सम्मिलित है, जैसे कि घटक −1 नहीं है

यदि S एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात so(n, C) या so(p, q) से लाई बीजगणित gl(S) तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ S के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि S Spin(p, q) का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता Spin(p, q) का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो so(p, q) के निरूपण के रूप में है। इसलिए so(n, C) के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले Spin(n, C) और so(n, C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें so(p, q) और Spin(p, q) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं।

सम्मिश्र स्पिन निरूपण

मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप Q के साथ V = Cⁿ है

${\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).$

इस प्रकार ध्रुवीकरण द्वारा Q से जुड़े V पर सममित द्विरेखीय रूप को ⟨.,.⟩ दर्शाया जाता है।

आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम

इस प्रकार so(n, C) के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण W ∩ W^∗ = 0 के साथ V के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि (Q के संबंध में) की एक जोड़ी (W, W^∗) की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि n = 2m या n = 2m + 1, तो W और W^∗ दोनों का आयाम m है। यदि n = 2m, तो V = W ⊕ W^∗, जबकि यदि n = 2m + 1, तो V = W ⊕ U ⊕ W^∗, जहां U, W ⊕ W^∗ का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। इस प्रकार Q से जुड़ा द्विरेखीय रूप ⟨.,.⟩ W और W^∗ के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि W और W^∗ पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और Q अविघटित है। इसलिए W और W^∗ दोहरे सदिश समष्टि हैं।

अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि a₁, … a_m, W के लिए एक आधार है। फिर W^∗ का एक अद्वितीय आधार α₁, ... α_m है, जैसे कि

$\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

यदि A एक m × m आव्यूह है तो A इस आधार के संबंध में W के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और A^T का समष्टिांतरण W^∗ के परिवर्तन को प्रेरित करता है

$\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle$

इस प्रकार W में सभी w और w^∗ में W^∗ के लिए। यह इस प्रकार है कि V का एंडोमोर्फिज्म ρ_A, W पर A के समान, W∗ पर −A^T और U पर शून्य (यदि n विषम है) विषम है

$\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle$

सभी u, v में V के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) so(n, C) ⊂ End(V) का एक घटक है

इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके so(n, C) के कार्टन उपबीजगणित h को परिभाषित किया जाता है, so(n, C) की रैंक m है और विकर्ण n × n आव्यूह एक m-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं।

मान लीजिए ε₁, … ε_m h^∗ का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स A के लिए A, ε_k(ρ_A) की kवीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह h^∗ के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप so(n, C) की पहचान करता है स्पष्ट रूप से $\wedge ^{2}V$ के साथ है

$x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),$

अब h से संबंधित मूल प्रक्रिया का निर्माण करना आसान है। मूल समष्टि (h की क्रिया के लिए एक साथ इगेनस्पेस) निम्नलिखित घटकों द्वारा विस्तृत हैं:

$a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,$ मूल प्रक्रिया के साथ (एक साथ इगेनवैल्यू) $\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}$

$a_{i}\wedge \alpha _{j}$ (जो h में है यदि i = j)) मूल प्रक्रिया $\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}$ के साथ

$\alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,$ मूल प्रक्रिया के साथ $-\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},$

और यदि n अद्वितीय है, और u का अशून्य घटक U है ,

$a_{i}\wedge u,$ मूल प्रक्रिया के साथ $\varepsilon _{i}$

$\alpha _{i}\wedge u,$ मूल प्रक्रिया के साथ $-\varepsilon _{i}.$

इस प्रकार, आधार के संबंध में ε₁, … ε_m, मूल प्रक्रियाें सदिश h^∗ हैं जो कि क्रमपरिवर्तन हैं

$(\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)$

के क्रमपरिवर्तन के साथ

$(\pm 1,0,0,\dots ,0)$

यदि n = 2m + 1 अद्वितीय है।

इस प्रकार धनात्मक मूल प्रक्रिया की एक प्रणालाई ε_i + ε_j (i ≠ j), ε_i − ε_j (i < j) और (n विषम के लिए) ε_i द्वारा दी गई है। संबंधित सरल मूल प्रक्रिया हैं

$\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.$

इस प्रकार धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।

स्पिन निरूपण और उनका भार

इस प्रकार so(n, C) के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है

$S=\wedge ^{\bullet }W$ और/या $S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.$

इस प्रकार S पर V की एक क्रिया इस प्रकार है कि W ⊕ W^∗ में किसी भी घटक v = w + w^∗ और S में किसी भी ψ के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है:

$v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),$

जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो W और W^∗ को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों v² = Q(v)1 का सम्मान करती है और इसलिए V के क्लिफोर्ड बीजगणित Cl_nC से End(S) तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को S′ पर परिभाषित किया जा सकता है जिससे S और S′' दोनों क्लिफोर्ड मॉड्यूल होंते है।

लाई बीजगणित so(n, C) Spin(n) → SO(n) को आवरण करने से प्रेरित मैपिंग spin_n^C के माध्यम से Cl_nC में सम्मिश्र लाई बीजगणित स्पिन के लिए आइसोमोर्फिक है।

$v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S और S′ दोनों so(n, C) का प्रतिनिधित्व करते हैं। वह वास्तव में समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, इसलिए हम S पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि कार्टन उपबीजगणित के घटक α_i ∧ a_i h द्वारा S पर कार्य करते हैं

$(\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).$

इस प्रकार S के लिए आधार रूप के घटको द्वारा दिया गया है

$a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}$

इस प्रकार 0 ≤ k ≤ m और i₁ < ... < i_k के लिए ये स्पष्ट रूप से h α_i ∧ a_i की क्रिया के लिए भार रिक्त समष्टि का विस्तार करते हैं, दिए गए आधार सदिश पर इगेनवैल्यू -1/2 है यदि i = i_j कुछ j के लिए है और इगेनवैल्यू 1/2 है

यह इस प्रकार है कि भार ( निरूपण सिद्धांत) का S के सभी संभावित संयोजन हैं

${\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$

और प्रत्येक भार समष्टि ( निरूपण सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक S डिराक स्पिनर कहलाते हैं।

जब n सम है, तो S एक अप्रासंगिक निरूपण नहीं है इस प्रकार $S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W$ और $S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W$ अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। भार को सम संख्या में ऋण चिह्न वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्न वाले में विभाजित किया जाता है। S+ और S− दोनों आयाम 2m−1 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं जिनके घटकों को वेइल स्पिनर कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन निरूपण या अर्ध-स्पिन निरूपण के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त धनात्मक मूल प्रणालाई के संबंध में, S+ और S− का भार सबसे अधिक है

${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ और ${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$

इस प्रकार क्रमशः क्लिफ़ोर्ड क्रिया Cl_nC को End(S) के साथ पहचानती है और सम उपबीजगणित को S₊ और S₋ को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। इस स्थिति में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपी है।

जब n विषम है, तो S आयाम 2^m के so(n,C) का एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है, एक इकाई सदिश u ∈ U की क्लिफोर्ड क्रिया द्वारा दी गई है

$u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.$

और इसलिए u∧w या u∧w∗ रूप के so(n,C) के घटक W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित नहीं करते हैं। इस प्रकार S का उच्चतम भार है

${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.$

इस प्रकार क्लिफोर्ड की कार्रवाई S पर विश्वसनीय नहीं है Cl_nC को End(S) ⊕ End(S′) के साथ पहचाना जा सकता है, जहां u S ′ पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक स्पष्ट रूप से दोनों निरूपण Cl_nC (जिसे प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है) के समता समावेशन α से संबंधित हैं, जो कि सम उपबीजगणित पर पहचान है और Cl_nC के विषम भाग पर पहचान घटा है। दूसरे शब्दों में, S से S' तक एक रैखिक समरूपता है, जो S' पर Cl_nC में A की क्रिया को S' पर α(A) की क्रिया से पहचानती है।

द्विरेखीय रूप

यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है^∗.

जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S^∗ शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि S अपरिवर्तनीय है, और यह S के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है

$\beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).$

यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है

$\beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0$

इस प्रकार so(n,C) में सभी ξ और S में φ ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में अधिक सही है S∗ विपरीत क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व करता है और इसलिए चूंकि Cl_nC में केवल दो गैर-सामान्य सरल मॉड्यूल S और S ′ हैं, जो समता इन्वॉल्यूशन α से संबंधित हैं, Cl_nC का एक एंटीऑटोमोर्फिज्म τ है जैसे कि

$\quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)$

वास्तव में सीएलएनसी में किसी भी A के लिए τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन (V पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है और m विषम के लिए संयुग्मन (V पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है। यह दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन α से संबंधित हैं, जो कि V पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों so(n,C) में ξ के लिए τ(ξ) = −ξ को संतुष्ट करते हैं।

जब n = 2m, स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से m की समता पर निर्भर करती है। m के लिए भी एक भार λ में ऋण चिह्नों की एक समान संख्या होती है यदि और केवल यदि −λ तो यह इस प्रकार है कि भिन्न-भिन्न समरूपताएँ हैं B_±: S_± → S_±^∗ प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व के साथ इसके दोहरे प्रत्येक को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार इन्हें एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है। m विषम के लिए, λ S+ का भार है यदि और केवल यदि −λ S− का भार है तो इस प्रकार S₊ से S₋^∗ तक एक समरूपता होती है जो फिर से मापदंड तक अद्वितीय होती है, और इसका स्थानान्तरण S₋ से S₊^∗ तक एक समरूपता प्रदान करता है ∗ इन्हें फिर से एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार m सम और m विषम दोनों के लिए, B की पसंद में स्वतंत्रता को इस तथ्य पर बल देकर समग्र मापदंड तक सीमित किया जा सकता है कि B के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है , जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है।

समरूपता और टेंसर वर्ग

इस प्रकार β: S ⊗ S → C के समरूपता गुण क्लिफोर्ड बीजगणित या प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता है: टेंसर वर्ग S ⊗ S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए क्योंकि इसके भार h∗ के सभी घटक हैं जिनके घटक {−1,0,1} से संबंधित हैं . अब समतुल्य रैखिक मानचित्र S ⊗ S → ∧^kV^∗ विशेष रूप से अपरिवर्तनीय मानचित्रों ∧^kV ⊗ S ⊗ S → C से मेल खाते हैं और गैर-शून्य ऐसे मानचित्र ∧^kV को क्लिफोर्ड बीजगणित में सम्मिलित करके बनाए जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) और τ का ∧^kV पर चिन्ह ε_k है तो

$\beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )$

∧^kV में A के लिए

यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर लेम्मा से अनुसरण करता है

$S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}$

(दोनों पक्षों का आयाम 2^2m है और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता एक इनवोलुशन τ द्वारा नियंत्रित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧^2jV घटक की समरूपता j के साथ वैकल्पिक होती है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है

$\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)$

और चिह्न यह निर्धारित करता है कि कौन से प्रतिनिधित्व S²S में होते हैं और कौन से ∧²S में विशेष रूप से होते हैं

$\beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),$ और

$\beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )$

इस प्रकार v ∈ V के लिए (जो ∧^2mV के लिए समरूपी है) यह पुष्टि करता है कि τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन है और m विषम के लिए संयुग्मन है।

यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक सम्मिलित है, लेकिन परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन S²S_±, ∧²S_± और S₊ ⊗ S₋ है प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहां k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)।

इस प्रकार मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर मौलिक लाई बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है:

n मॉड 8	0	1	2	3	4	5	6	7
स्पिनर बीजगणित	${\mathfrak {so}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {so}}(S_{-})$	${\mathfrak {so}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {so}}(S)$

इस प्रकार n ≤ 6 के लिए ये एम्बेडिंग समरूपताएं हैं (n = 6 के लिए gl के अतिरिक्त sl पर):

${\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))$

${\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).$

वास्तविक निरूपण

इस प्रकार so(n,C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(p,q) का वास्तविक प्रतिनिधित्व S उत्पन्न करते हैं। चूंकि, अतिरिक्त "वास्तविकता" संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाई बीजगणित की कार्रवाई के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। यह तीन प्रकार में आते हैं.

1. एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र r: S → S है जिसमें r² = id_S है। आर का निश्चित बिंदु सेट तब S_R ⊗ C = S के साथ S का एक वास्तविक सदिश उप-स्थान S_R है। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है।
2. एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र j: S → S है जिसमें j² = −id_S है। यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और k:=ij S को एक चतुर्धातुक सदिश समष्टि S_H में बनाते हैं। इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है।
3. एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र b: S → S^∗ है जो विपरीत है। यह S पर एक स्यूडोहर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे हर्मिटियन संरचना कहा जाता है।

इस प्रकार so(p,q) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय संरचना का प्रकार केवल हस्ताक्षर p - q मॉड्यूलो 8 पर निर्भर करता है और निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है।

p−q मॉड 8	0	1	2	3	4	5	6	7
संरचना	R + R	R	C	H	H + H	H	C	R

इस प्रकार यहां R, C और H क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और R + R और H + H इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन निरूपण दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं।

विवरण और तालिकाएँ

इस प्रकार वास्तविक निरूपण के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि यह संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे इंटरेक्शन करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q मॉड 2, दो स्थिति हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं।

अद्वितीय स्थिति सरल है, केवल एक सम्मिश्र स्पिन प्रतिनिधित्व S है और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। सामान्य स्थिति के अतिरिक्त n = 1 S सदैव सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N so(2N,C) के वास्तविक रूप so(K,L) हैं जिनमें K + L = 2N और so∗(N,H) हैं जबकि sp(2N,C) के वास्तविक रूप sp(2N,R) और हैं इस प्रकार 'sp'(K,L) K + L = N के साथ S पर V की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों स्थितियों में K = L को विवश करती है जब तक कि pq = 0 नहीं होती है, जिस स्थिति में KL=0 जिसे so(2N) or sp(N) द्वारा दर्शाया जाता है । इसलिए विषम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।

	n मॉड 8	1, 7	3, 5
p−q मॉड 8		so(2N,C)	sp(2N,C)
1, 7	R	so(N,N) or so(2N)	sp(2N,R)
3, 5	H	so∗(N,H)	sp(N/2,N/2)† or sp(N)

इस प्रकार (†) n > 3 के लिए N सम है और n = 3 के लिए यह sp(1) है।

इस प्रकार सम-आयामी स्थिति समान है। n > 2 के लिए सम्मिश्र अर्ध-स्पिन निरूपण सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिटियन संरचनाओं और sl(2N, C) के वास्तविक रूपों से निपटना होगा जो कि sl(2N, R), su(K, L) के साथ K + L = 2N, और sl(N, H) हैं। परिणामी सम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नानुसार संक्षेपित किया गया है।

	n मॉड 8	0	2, 6	4
p-q मॉड 8		so(2N,C)+so(2N,C)	sl(2N,C)	sp(2N,C)+sp(2N,C)
0	R+R	so(N,N)+so(N,N)∗	sl(2N,R)	sp(2N,R)+sp(2N,R)
2, 6	C	so(2N,C)	su(N,N)	sp(2N,C)
4	H+H	so∗(N,H)+so∗(N,H)	sl(N,H)	sp(N/2,N/2)+sp(N/2,N/2)†

इस प्रकार (*) pq = 0 के लिए, हमारे निकट so(2N) + so(2N) है

इस प्रकार (†) n > 4 के लिए N सम है और pq = 0 के लिए (जिसमें n = 4 के साथ N = 1 सम्मिलित है), हमारे निकट इसके अतिरिक्त sp(N) + sp(N) है

सम्मिश्र स्थिति में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं।

यूक्लिडियन हस्ताक्षर	मिन्कोव्स्की हस्ताक्षर	अन्य हस्ताक्षर
${\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)$	${\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R}$
${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$	${\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)$	${\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1)$	${\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)$	${\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} )$	${\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)$	${\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )$

इस तालिका से विलुप्त वास्तविक लाई बीजगणित की एकमात्र विशेष समरूपताएँ ${\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)$ और ${\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).$ हैं

संदर्भ

• Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), "Spinors in n dimensions", American Journal of Mathematics, American Journal of Mathematics, Vol. 57, No. 2, 57 (2): 425–449, doi:10.2307/2371218, JSTOR 2371218.
• Cartan, Élie (1966), The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9.
• Chevalley, Claude (1954), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9.
• Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", in P. Deligne; P. Etingof; D. S. Freed; L. C. Jeffrey; D. Kazhdan; J. W. Morgan; D. R. Morrison; E. Witten (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Providence: American Mathematical Society, pp. 99–135. See also the programme website for a preliminary version.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.