हिल्बर्ट योजना

बीजगणितीय ज्यामिति में, गणित की शाखा, हिल्बर्ट योजना ऐसी योजना है जो कुछ प्रक्षेप्य समिष्ट (या अधिक सामान्य प्रक्षेप्य योजना) के विवृत उप-योजनाओं के लिए पैरामीटर समिष्ट है, जो चाउ विविधता को परिष्कृत करती है। हिल्बर्ट योजना हिल्बर्ट बहुपदों के अनुरूप प्रक्षेप्य उपयोजनाओं का असंयुक्त संघ है। हिल्बर्ट योजनाओं का मूल सिद्धांत अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1961) द्वारा विकसित किया गया था। हिरोनका के उदाहरण से ज्ञात होता है कि गैर-प्रोजेक्टिव प्रकार के लिए हिल्बर्ट योजनाएँ आवश्यक नहीं हैं।

प्रक्षेप्य समिष्ट की हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ का $\mathbb {P} ^{n}$ प्रक्षेप्य समिष्ट की विवृत उप-योजनाओं को निम्नलिखित अर्थों में वर्गीकृत करता है: किसी भी स्थानीय नोथेरियन योजना S के लिए, S-मूल्यांकित अंक के समुच्चय इस प्रकार हैं:

$\operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))$

हिल्बर्ट योजना स्वाभाविक रूप से विवृत उप-योजनाओं के समुच्चय के लिए समरूपी है $\mathbb {P} ^{n}\times S$ जो S पर समतल हैं। $\mathbb {P} ^{n}\times S$ की विवृत उपयोजनाएँ जो कि S पर समतल हैं, उन्हें अनौपचारिक रूप S द्वारा मानकीकृत प्रोजेक्टिव समिष्ट की उप-योजनाओं के परिवारों के रूप में माना जा सकता है। हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ खण्डों के असंयुक्त संघ के रूप में विभक्त हो जाता है, हिल्बर्ट बहुपद P के साथ प्रक्षेप्य समिष्ट की उपयोजनाओं के हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप $\mathbf {Hilb} (n,P)$ होता है। इनमें से प्रत्येक खंड प्रक्षेप्य $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ है।

निर्धारक कोटि के रूप में निर्माण

ग्रोथेंडिक ने हिल्बर्ट योजना का निर्माण किया $\mathbf {Hilb} (n)$ का $n$-आयामी प्रक्षेप्य $\mathbb {P} ^{n}$ विभिन्न निर्धारकों के लुप्त होने से परिभाषित ग्रासमैनियन की उपयोजना के रूप में समिष्ट है। इसकी मौलिक संपत्ति योजना के लिए $T$ है, यह उस फ़नकार का प्रतिनिधित्व करता है जिसका $T$-मूल्यांकित अंक विवृत उप-योजनाएं $\mathbb {P} ^{n}\times T$ हैं, जो कि $T$ पर समतल हैं।

यदि $X$ की उपयोजना $n$-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट है, तब $X$ श्रेणीबद्ध आदर्श से युग्मित होता है, $I_{X}^{\bullet }$ बहुपद वलय का $S$ में $n+1$ चर, श्रेणीबद्ध खण्डों के साथ $I_{X}^{m}$ होता है। पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $m$ के सभी उच्च सह-समरूपता समूह $X$ में गुणांक के साथ ${\mathcal {O}}(m)$ लुप्त हो जाता है। जो त्रुटिहीन अनुक्रम का उपयोग करता है:

$0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$

हमारे पास $I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))$ का आयाम $Q(m)-P_{X}(m)$ है, जहां $Q$ प्रक्षेप्य समिष्ट का हिल्बर्ट बहुपद है। इसे स्थानीय स्तर पर समतल समूहों द्वारा उपरोक्त त्रुटिहीन अनुक्रम को टेंसर करके दिखाया जा सकता है, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)$, त्रुटिहीन अनुक्रम देता है जहां अंत के दो शब्दों में तुच्छ सह-समरूपता है, जो उच्च सह-समरूपता की तुच्छता $I_{X}(m)$ को दर्शाता है। ध्यान दें कि हम सुसंगत शीफ के हिल्बर्ट बहुपद की समानता का उपयोग इसके शीफ सह-समरूपता समूहों की यूलर-विशेषता के साथ कर रहे हैं।

$m$ के पर्याप्त बड़े मान का चयन करता है। $(Q(m)-P_{X}(m))$-आयामी स्थान $I_{X}^{m}$ का उपस्थान है $Q(m)$-आयामी स्थान $S^{n}$ है, तो यह ग्रासमैनियन के बिंदु ${\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))$ का प्रतिनिधित्व करता है। यह हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप हिल्बर्ट योजना के खण्डों का एम्बेडिंग देता है, इस ग्रासमैनियन में $P_{X}$ है।

इस छवि पर योजना संरचना का वर्णन करना शेष है, दूसरे शब्दों में इसके अनुरूप आदर्श के लिए पर्याप्त तत्वों का वर्णन करना शेष है। ऐसे पर्याप्त तत्व नियमों द्वारा दिए गए हैं कि मानचित्र I_X(m) ⊗ S(k) → S(k + m) की रैंक सभी धनात्मक k के लिए अधिकतम dim(I_X(k + m)) है, जो विभिन्न निर्धारकों के लुप्त होने के समान है। (अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण से ज्ञात होता है कि k = 1 लेना ही पर्याप्त है।)

गुण

सार्वभौमिकता

विवृत उपयोजना दी गई है $Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X$ हिल्बर्ट बहुपद वाले क्षेत्र पर $P$, हिल्बर्ट योजना H=Hilb(n, P) की सार्वभौमिक उपयोजना है $W\subset X\times H$ समतल $H$ जैसे कि;

• फाइबर $W_{x}$ विवृत बिंदुओं पर $x\in H$ की विवृत उपयोजनाएँ $X$ हैं। $Y\subset X$ के लिए इस बिंदु को निरूपित करें $x$ के रूप में $[Y]\in H$ है।
• $H$ की उपयोजनाओं के सभी समतल परिवारों के संबंध में सार्वभौमिक है $X$ में हिल्बर्ट बहुपद $P$ है। अर्थात स्कीम दी गई है $T$ और समतल परिवार $W'\subset X\times T$, अद्वितीय रूपवाद है $\phi :T\to H$ जैसे कि $\phi ^{*}W\cong W'$ है।

स्पर्शरेखा समिष्ट

बिंदु का स्पर्शरेखा समिष्ट $[Y]\in H$ सामान्य बंडल के वैश्विक अनुभागों $N_{Y/X}$ द्वारा दिया गया है; वह है,

$T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})$

पूर्ण अन्तः खंड की अबाधितता

स्थानीय पूर्ण अन्तः खंड के लिए $Y$ जैसे कि $H^{1}(Y,N_{X/Y})=0$, बिंदु $[Y]\in H$ सहज है। इसका तात्पर्य प्रत्येक विरूपण सिद्धांत से है $Y$ में $X$ अबाधित है।

स्पर्शरेखा समिष्ट का आयाम

यदि $H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0$, का आयाम $H$ पर $[Y]$ से अधिक या समान $h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})$ है।

इन गुणों के अतिरिक्त, फ्रांसिस सॉवरबी मैकाले (1927) ने यह निर्धारित किया कि हिल्बर्ट योजना किन बहुपदों के लिए है $\mathbf {Hilb} (n,P)$ गैर-रिक्त है, और रॉबिन हार्टशोर्न (1966) ने दिखाया कि यदि $\mathbf {Hilb} (n,P)$ गैर-रिक्त है तो यह रैखिक रूप से जुड़ा हुआ है। तो प्रक्षेप्य समिष्ट की दो उप-योजनाएं हिल्बर्ट योजना के जुड़े हुए घटक में हैं यदि और केवल तभी जब उनके निकट हिल्बर्ट बहुपद होते हैं।

हिल्बर्ट योजनाओं में दुर्गत विलक्षणताएं हो सकती हैं, जैसे अपरिवर्तनीय घटक जो सभी बिंदुओं पर गैर-अल्प होते हैं। उनमें अप्रत्याशित रूप से उच्च आयाम के अपरिवर्तनीय घटक भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोई आयाम n की योजना के d बिंदुओं (अधिक त्रुटिहीन आयाम 0, लंबाई d उपयोजनाओं) की हिल्बर्ट योजना से आयाम dn होने की अपेक्षा कर सकता है, किन्तु यदि n ≥ 3 है तो इसके अपरिवर्तनीय घटकों का आयाम बहुत बड़ा हो सकता है।

कार्यात्मक व्याख्या

हिल्बर्ट योजना की वैकल्पिक व्याख्या है जो सापेक्ष हिल्बर्ट योजनाओं के सामान्यीकरण की ओर ले जाती है जो सापेक्ष योजना की उप-योजनाओं को मानकीकृत करती है। निश्चित आधार योजना के लिए $S$, मान लीजिये $X\in (Sch/S)$ और

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets$

संबंधित योजना भेजने वाला फ़ैक्टर बनें $T\to S$ समुच्चय के समरूपता वर्गों के समुच्चय के लिए ${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim$जहां तुल्यता संबंध समरूपता वर्गों $Z$ द्वारा दिया जाता है यह निर्माण परिवारों की कठिनाईओं को ध्यान में रखकर किया गया है। दिया गया $f:T'\to T$, परिवार $f^{*}Z=Z\times _{T}T'$ ऊपर $T'$ है।

प्रक्षेप्य मानचित्रों के लिए प्रतिनिधित्वशीलता

यदि संरचना मानचित्र $X\to S$ प्रक्षेप्य है, तो इस फ़ैक्टर को ऊपर निर्मित हिल्बर्ट योजना द्वारा दर्शाया गया है। इसे परिमित प्रकार के मानचित्रों की स्थिति में सामान्यीकृत करने के लिए आर्टिन द्वारा विकसित बीजगणितीय स्थानों की प्रौद्योगिकी की आवश्यकता होती है।

बीजगणितीय स्थानों के मानचित्रों के लिए सापेक्ष हिल्बर्ट योजना

अपनी सबसे बड़ी व्यापकता में, हिल्बर्ट फ़ैक्टर को बीजगणितीय स्थानों के सीमित प्रकार के मानचित्र के लिए परिभाषित किया गया है $f\colon X\to B$ योजना पर परिभाषित $S$ है। फिर, हिल्बर्ट फ़ैक्टर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets$

को T भेजा जाता है:

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}$.

यह फ़ैक्टर किसी योजना द्वारा नहीं, अन्यथा बीजगणितीय स्थान द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त यदि $S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$, और $X\to B$ योजनाओं का सीमित प्रकार का मानचित्र है, उनके हिल्बर्ट फ़ैक्टर को बीजगणितीय स्थान द्वारा दर्शाया जाता है।

हिल्बर्ट योजनाओं के उदाहरण

हाइपरसर्फेस की फ़ानो योजनाएँ

सामान्यतः हिल्बर्ट योजना के परीक्षण के लिए प्रेरक उदाहरणों में प्रोजेक्टिव योजना की फ़ानो योजना थी। उपयोजना दी गई $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ डिग्री का $d$, स्कीम है $F_{k}(X)$ में $\mathbb {G} (k,n)$ पैरामीटराइज़िंग $H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}$ जहां $H$ है $k$-समतल में $\mathbb {P} ^{n}$ है, जिसका अर्थ है कि यह डिग्री का एम्बेडिंग $\mathbb {P} ^{k}$ है। चिकनी सतहों के लिए $\mathbb {P} ^{3}$ डिग्री का $d\geq 3$, गैर-रिक्त फ़ानो योजनाएँ $F_{k}(X)$ चिकने और शून्य-आयामी हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिकनी सतहों पर रेखाओं का स्व-प्रतिच्छेदन नकारात्मक होता है।

अंकों की हिल्बर्ट योजना

उदाहरणों का अन्य सामान्य समूह हिल्बर्ट योजनाएँ हैं $n$- योजना के बिंदु $X$, सामान्यतः $X^{[n]}$ दर्शाया जाता है। $\mathbb {P} ^{2}$ के लिए अच्छी ज्यामितीय व्याख्या है जहां सीमा लोकी है, $B\subset H$ बिंदुओं के प्रतिच्छेदन का वर्णन करते हुए उनके स्पर्शरेखा सदिशों के साथ-साथ बिंदुओं को पैरामीट्रिज़ करने के संबंध में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $(\mathbb {P} ^{2})^{[2]}$ ब्लोअप है $Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})$ विकर्ण का सममित क्रिया मॉड्यूलो होता है।

डिग्री d हाइपरसर्फेस

डिग्री k हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना $\mathbb {P} ^{n}$ प्रक्षेपीकरण $\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))$ द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, डिग्री 2 हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना $\mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {P} ^{2}$ द्वारा दी गई सार्वभौमिक हाइपर सतह के साथ है:

${\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}$

जहां अंतर्निहित वलय को बड़ा किया गया है।

वक्रों की हिल्बर्ट योजना और वक्रों का मापांक

निश्चित जाति के लिए $g$ बीजगणितीय वक्र $C$, त्रि-दंशीय दोहरीकरण शीफ की डिग्री $\omega _{C}^{\otimes 3}$ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी यूलर विशेषता वैश्विक वर्गों के आयाम से निर्धारित होती है, इसलिए;

$\chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})$.

इस सदिश समष्टि का आयाम $5g-5$ है, इसलिए $\omega _{C}^{\otimes 3}$ के वैश्विक खंड में एम्बेडिंग निर्धारित करें $\mathbb {P} ^{5g-6}$ प्रत्येक जाति के लिए $g$ वक्र है। रीमैन-रोच सूत्र का उपयोग करके, संबंधित हिल्बर्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)$.

फिर, हिल्बर्ट योजना;

${\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}$

सभी जीनस g वक्रों को मानकीकृत करता है। इस योजना का निर्माण बीजगणितीय वक्रों के मॉड्यूल स्टैक के निर्माण में प्रथम कदम है। अन्य मुख्य प्रौद्योगिकी उपकरण जीआईटी भागफल हैं, क्योंकि इस मॉड्यूलि समिष्ट का निर्माण भागफल के रूप में किया गया है:

${\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]$,

जहां $U_{g}$ हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों का उप-स्थान है।

मैनिफोल्ड पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना कभी-कभी किसी योजना पर 0-आयामी उप-योजनाओं की समयनिष्ठ हिल्बर्ट योजना को संदर्भित करती है। अनौपचारिक रूप से इसे किसी योजना पर बिंदुओं के सीमित संग्रह के रूप में सोचा जा सकता है, चूँकि जब कई बिंदु युग्मित होते हैं तो यह छवि अधिक भ्रामक हो सकती है।

बिंदुओं की कम हिल्बर्ट योजना से लेकर चाउ प्रकार के चक्रों तक हिल्बर्ट-चाउ रूपवाद है जो किसी भी 0-आयामी योजना को उसके संबंधित 0-चक्र में ले जाता है। (फ़ोगार्टी 1968, 1969, 1973).

हिल्बर्ट योजना M पर n बिंदुओं का $M^{[n]}$, M के n-वें सममित उत्पाद के लिए प्राकृतिक रूपवाद से सुसज्जित है। यह रूपवाद अधिकतम 2 आयाम के M के लिए द्विवार्षिक है। कम से कम 3 आयाम के M के लिए रूपवाद बड़े n के लिए द्विवार्षिक नहीं है: हिल्बर्ट योजना सामान्य रूप से कम करने योग्य है और इसमें सममित उत्पाद की तुलना में आयाम के घटक अधिक बड़े हैं।

वक्र C (आयाम-1 जटिल मैनिफोल्ड) पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना C की सममित शक्ति के समरूपी है। यह चिकनी है।

किसी सतह पर n बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना भी चिकनी (ग्रोथेंडिक) है। यदि $n=2$, से प्राप्त किया जाता है $M\times M$ विकर्ण को उड़ाकर और फिर से विभाजित करके $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ क्रिया से प्रेरित $(x,y)\mapsto (y,x)$ होता है। इसका उपयोग मार्क हैमन ने कुछ मैकडोनाल्ड बहुपदों के गुणांकों की धनात्मकता के प्रमाण में किया था।

3 या अधिक आयाम की चिकनी मैनिफोल्ड की हिल्बर्ट योजना सामान्यतः चिकनी नहीं होती है।

हिल्बर्ट योजनाएं और हाइपरकेहलर ज्यामिति

मान लीजिए कि M जटिल काहलर सतह $c_{1}=0$ (K3 सतह या टोरस) है। M का विहित बंडल तुच्छ है, जैसा कि सतहों के एनरिक्स-कोडैरा वर्गीकरण से मिलता है। इसलिए M होलोमोर्फिक सिंपलेक्टिक ज्यामिति रूप को स्वीकार करता है। इसे अकीरा फुजिकी (के लिए) द्वारा देखा गया था $n=2$) और अरनॉड ब्यूविल $M^{[n]}$ भी होलोमोर्फिक रूप से सहानुभूतिपूर्ण है। इसे देखना बहुत कठिन नहीं है, उदाहरण के लिए, $n=2$ है। वास्तव में, $M^{[2]}$, M के सममित वर्ग का विस्फोट है। $\operatorname {Sym} ^{2}M$ की विलक्षणताएँ स्थानीय रूप से समरूपी हैं $\mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ का विस्फोट $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ है $T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ है, और यह स्थान सहानुभूतिपूर्ण है। इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि सहानुभूतिपूर्ण रूप स्वाभाविक रूप से असाधारण विभाजकों के चिकने भाग $M^{[n]}$तक विस्तारित होता है। इसे शेष $M^{[n]}$ हार्टोग्स के सिद्धांत द्वारा विस्तारित किया गया है।

होलोमोर्फिक रूप से सहानुभूतिपूर्ण, काहलर मैनिफोल्ड हाइपरकाहलर है, जैसा कि कैलाबी-यॉ प्रमेय से निम्नानुसार है। K3 सतह पर और 4-आयामी टोरस पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाएँ हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों की दो श्रृंखलाएँ देती हैं: K3 पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना और सामान्यीकृत कुमेर सतह है।

यह भी देखें

• उद्धरण योजना
• कास्टेलनुवो-मम्फोर्ड नियमितता
• मात्सुसाका का बड़ा प्रमेय
• बीजगणितीय वक्रों का मापांक
• मोडुली समिष्ट
• हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह
• सीगल मॉड्यूलर प्रकार

संदर्भ

• Beauville, Arnaud (1983), "Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle", Journal of Differential Geometry, 18 (4): 755–782, doi:10.4310/jdg/1214438181, MR 0730926
• I. Dolgachev (2001) [1994], "Hilbert scheme", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3541-8, MR 2222646
• Fogarty, John (1968), "Algebraic families on an algebraic surface", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi:10.2307/2373541, JSTOR 2373541, MR 0237496
• Fogarty, John (1969), "Truncated Hilbert functors", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 234: 65–88, MR 0244268, archived from the original on 2013-02-12
• Fogarty, John (1973), "Algebraic families on an algebraic surface. II. The Picard scheme of the punctual Hilbert scheme", American Journal of Mathematics, Johns Hopkins University Press, 95 (3): 660–687, doi:10.2307/2373734, JSTOR 2373734, MR 0335512
• Göttsche, Lothar (1994), Hilbert schemes of zero-dimensional subschemes of smooth varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1572, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, MR 1312161
• Grothendieck, Alexander (1961), Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221 Reprinted in Adrien Douady; Roger Godement; Alain Guichardet ... (1995), Séminaire Bourbaki, Vol. 6, Paris: Société Mathématique de France, pp. 249–276, ISBN 2-85629-039-6, MR 1611822
• Hartshorne, Robin (1966), "Connectedness of the Hilbert scheme", Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR 0213368
• Macaulay, Francis Sowerby (1927), "Some properties of enumeration in the theory of modular systems", Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 26: 531–555, doi:10.1112/plms/s2-26.1.531
• Mumford, David (1966-08-21), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6
• Nakajima, Hiraku (1999), Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces, University Lecture Series, vol. 18, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1956-2, MR 1711344
• Nitsure, Nitin (2005), "Construction of Hilbert and Quot schemes", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 105–137, arXiv:math/0504590, Bibcode:2005math......4590N, MR 2223407
• Qin, Zhenbo (2018), Hilbert schemes of points and infinite dimensional Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 228, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4188-3

उदाहरण और अनुप्रयोग

• arxiv:alg-geom/9411005|बॉट का सूत्र और गणनात्मक ज्यामिति
• मुड़े हुए घनों की संख्या क्विंटिक थ्रीफोल्ड पर
• कैलाबी-याउ थ्रीफोल्ड्स पर तर्कसंगत वक्र: दर्पण समरूपता भविष्यवाणियों का सत्यापन

बाहरी संबंध

• Bertram, Aaron (1999), Construction of the Hilbert scheme, retrieved 2008-09-06
• Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, A general introduction to the Hilbert scheme of points on the plane (PDF), archived from the original on 2017-08-30{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Maclagan, Diane, Notes on Hilbert Schemes (PDF), archived from the original on 2016-03-07{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)