View source for प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत)

{{Short description|Set of elements common to all of some sets}}
{{broader|Intersection (mathematics)}}
{{Infobox mathematical statement
| name = Intersection
| image = Venn0001.svg
| caption = The intersection of two sets <math>A</math> and <math>B,</math> represented by circles. <math>A \cap B</math> is in red.
| type = [[Set (mathematics)#Basic operations|Set operation]]
| field = [[Set (mathematics)|Set theory]]
| statement = The intersection is the set of elements that exists in both set <math>A</math> and set <math>B</math>.
| symbolic statement = <math>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}</math>
}}
समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन (गणित) <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित <math>A \cap B,</math><ref>{{Cite web|title=सेट्स का चौराहा|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S3/Intersection4.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu}}</ref> के सभी तत्वों से युक्त सेट है <math>A</math> वह भी संबंधित है <math>B</math> या समकक्ष, के सभी तत्व <math>B</math> वह भी संबंधित है <math>A.</math><ref>{{cite web|url=http://people.richland.edu/james/lecture/m170/ch05-rul.html|title=आँकड़े: संभाव्यता नियम|publisher=People.richland.edu|access-date=2012-05-08}}</ref>


== संकेतन और शब्दावली ==

चौराहा प्रतीक का उपयोग करके लिखा गया है<math>\cap</math>शर्तों के बीच; यानी इंफिक्स नोटेशन में। उदाहरण के लिए:
<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}</math>
<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\varnothing</math>
<math display=block>\Z\cap\N=\N</math>
<math display=block>\{x\in\R:x^2=1\}\cap\N=\{1\}</math>
दो से अधिक सेटों के प्रतिच्छेदन (सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
<math display=block>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>
जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की तालिका देखें।

== परिभाषा ==

[[File:Venn 0000 0001.svg|thumb|तीन सेटों का इंटरसेक्शन:<br><math>~A \cap B \cap C</math>]]
[[File:Venn diagram gr la ru.svg|thumb|केवल अक्षरों के आकार पर विचार करते हुए और उनके उच्चारण की उपेक्षा करते हुए, बिना उच्चारण वाले आधुनिक ग्रीक वर्णमाला, लैटिन लिपि और सिरिलिक लिपि लिपियों का चौराहा]]
[[File:PolygonsSetIntersection.svg|thumb|सेट के साथ चौराहे का उदाहरण]]दो सेटों का चौराहा <math>A</math> तथा <math>B,</math> द्वारा चिह्नित <math>A \cap B</math>,<ref name=":1">{{Cite web|title=सेट ऑपरेशंस {{!}} यूनियन {{!}} चौराहे {{!}} पूरक {{!}} अंतर {{!}} पारस्परिक रूप से अनन्य {{!}} विभाजन {{!}} डी मॉर्गन का नियम {{! }} वितरण नियम {{!}} कार्तीय उत्पाद|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-04|website=www.probabilitycourse.com}}</ref> उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों के सदस्य हैं <math>A</math> तथा <math>B.</math>
प्रतीकों में:
<math display=block>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}.</math>
वह है, <math>x</math> चौराहे का एक तत्व है <math>A \cap B</math> अगर और केवल अगर <math>x</math> दोनों का एक तत्व है <math>A</math> और का एक तत्व <math>B.</math><ref name=":1" />

उदाहरण के लिए:
* समुच्चय {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
* अंक 9 है {{em|not}} अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, क्योंकि 9 प्रधान नहीं है।

=== इंटरसेक्टिंग और डिसजॉइंट सेट ===

हम कहते हैं {{em|{{visible anchor|<math>A</math> intersects (meets) <math>B</math>|Intersects|To intersect|Meets|To meet}}}} अगर कुछ मौजूद है <math>x</math> वह दोनों का एक तत्व है <math>A</math> तथा <math>B,</math> ऐसे में हम भी यही कहते हैं {{em|<math>A</math> intersects (meets) <math>B</math> '''at''' <math>x</math>}}. समान रूप से, <math>A</math> काटती है <math>B</math> अगर उनका चौराहा <math>A \cap B</math> एक {{em|[[inhabited set]]}}, जिसका अर्थ है कि कुछ मौजूद है <math>x</math> ऐसा है कि <math>x \in A \cap B.</math> हम कहते हैं {{em|<math>A</math> and <math>B</math> are [[Disjoint sets|disjoint]]}} यदि <math>A</math> प्रतिच्छेद नहीं करता <math>B.</math> सरल भाषा में, उनके पास सामान्य तत्व नहीं हैं। <math>A</math> तथा <math>B</math> असंयुक्त हैं यदि उनका चौराहा खाली सेट है, चिह्नित है <math>A \cap B = \varnothing.</math>
उदाहरण के लिए, सेट्स <math>\{1, 2\}</math> तथा <math>\{3, 4\}</math> असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणक (गणित) के समुच्चय को 6 के गुणज में काटता है।

== बीजगणितीय गुण ==
{{See also|List of set identities and relations|Algebra of sets}}
बाइनरी चौराहा एक साहचर्य ऑपरेशन है; यानी किसी भी सेट के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> किसी के पास

<math display=block>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C.</math>इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी लिखा जा सकता है <math>A \cap B \cap C</math>. चौराहा भी कम्यूटेटिव संपत्ति है। यानी किसी के लिए <math>A</math> तथा <math>B,</math> किसी के पास<math display=block>A \cap B = B \cap A.</math>
खाली सेट के साथ किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन खाली सेट में परिणाम देता है; यानी कि किसी भी सेट के लिए <math>A</math>,
<math display=block>A \cap \varnothing = \varnothing</math>
इसके अलावा, चौराहा ऑपरेशन Idempotence है; यानी कोई भी सेट <math>A</math> संतुष्ट करता है <math>A \cap A = A</math>. ये सभी गुण तार्किक संयोजन के बारे में समान तथ्यों से अनुसरण करते हैं।

इंटरसेक्शन डिस्ट्रीब्यूटिव प्रॉपर्टी ओवर यूनियन (सेट थ्योरी) और यूनियन डिस्ट्रीब्यूट ओवर इंटरसेक्शन। यानी किसी भी सेट के लिए <math>A, B,</math> तथा <math>C,</math> किसी के पास
<math display=block>\begin{align}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\end{align}</math>
एक ब्रह्मांड के अंदर <math>U,</math> कोई पूरक (सेट सिद्धांत) को परिभाषित कर सकता है <math>A^c</math> का <math>A</math> के सभी तत्वों का समुच्चय होना <math>U</math> अंदर नही <math>A.</math> इसके अलावा, का चौराहा <math>A</math> तथा <math>B</math> डी मॉर्गन के कानूनों से आसानी से प्राप्त उनके पूरक के संघ (सेट सिद्धांत) के पूरक के रूप में लिखा जा सकता है:<math display="block">A \cap B = \left(A^{c} \cup B^{c}\right)^c</math>


== मनमाना चौराहा ==
{{Further information|Iterated binary operation}}
सबसे सामान्य धारणा मनमाना का प्रतिच्छेदन है {{em|nonempty}} सेट का संग्रह।
यदि <math>M</math> एक खाली सेट सेट है जिसके तत्व स्वयं सेट होते हैं <math>x</math> का एक तत्व है {{em|intersection}} का <math>M</math> अगर और केवल अगर सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व <math>A</math> का <math>M,</math> <math>x</math> का एक तत्व है <math>A.</math>
प्रतीकों में:
<math display=block>\left( x \in \bigcap_{A \in M} A \right) \Leftrightarrow \left( \forall A \in M, \ x \in A \right).</math>
इस अंतिम अवधारणा के लिए अंकन काफी भिन्न हो सकते हैं। सेट थ्योरी कभी लिखेंगे<math>\cap M</math>, जबकि अन्य इसके बजाय लिखेंगे<math>\cap_{A \in M} A</math>.
बाद के अंकन को सामान्यीकृत किया जा सकता है<math>\cap_{i \in I} A_i</math>, जो संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है <math>\left\{ A_i : i \in I \right\}.</math>
यहां <math>I</math> एक गैर-खाली सेट है, और <math>A_i</math> प्रत्येक के लिए एक सेट है <math>i \in I.</math>
मामले में कि सूचकांक सेट <math>I</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, अनंत गुणनफल के अनुरूप अंकन देखा जा सकता है:
<math display=block>\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i.</math>
जब स्वरूपण कठिन हो, तो इसे भी लिखा जा सकता है<math>A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots</math>. यह अंतिम उदाहरण, अनगिनत सेटों का प्रतिच्छेदन, वास्तव में बहुत सामान्य है; उदाहरण के लिए, सिग्मा बीजगणित|σ-अलजेब्रा पर लेख देखें।

== शून्य चौराहा ==
[[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन<br><br>बिना किसी तर्क का संयोजन टॉटोलॉजी (तर्क) है (तुलना करें: खाली उत्पाद); तदनुसार बिना सेट का प्रतिच्छेदन ब्रह्मांड (सेट सिद्धांत) है।]]ध्यान दें कि पिछले अनुभाग में, हमने उस मामले को बाहर कर दिया था जहाँ <math>M</math> खाली सेट था (<math>\varnothing</math>). कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन <math>M</math> सेट के रूप में परिभाषित किया गया है (सेट-बिल्डर नोटेशन देखें)
<math display=block>\bigcap_{A \in M} A = \{x : \text{ for all } A \in M, x \in A\}.</math>
यदि <math>M</math> खाली है, कोई सेट नहीं है <math>A</math> में <math>M,</math> तो सवाल बन जाता है कौन सा <math>x</math><nowiki>'</nowiki>कथित शर्तों को पूरा करते हैं? उत्तर लगता है {{em|every possible <math>x</math>}}. कब <math>M</math> खाली है, ऊपर दी गई शर्त एक खाली सच्चाई का उदाहरण है। तो खाली परिवार का चौराहा सार्वभौमिक सेट होना चाहिए (प्रतिच्छेदन के संचालन के लिए पहचान तत्व),<ref>{{cite book|last=Megginson|first=Robert E.|author-link=Robert Megginson|title=बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=183|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1998|pages=xx+596|isbn=0-387-98431-3|chapter=Chapter 1}}</ref>
लेकिन मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) सेट सिद्धांत में, सार्वभौमिक सेट मौजूद नहीं है।

प्रकार सिद्धांत में हालांकि, <math>x</math> निर्धारित प्रकार का है <math>\tau,</math> इसलिए चौराहा प्रकार का समझा जाता है <math>\mathrm{set}\ \tau</math> (सेट का प्रकार जिसके तत्व अंदर हैं <math>\tau</math>), और हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\bigcap_{A \in \empty} A</math> का सार्वभौमिक सेट होना <math>\mathrm{set}\ \tau</math> (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद हैं <math>\tau</math>).

== यह भी देखें ==

{{commons category}}
* {{annotated link|Algebra of sets}}
* {{annotated link|Cardinality}}
* {{annotated link|Complement (set theory)|Complement}}
* {{annotated link|Intersection (Euclidean geometry)}}
* {{annotated link|Intersection graph}}
* {{annotated link|Intersection theory}}
* {{annotated link|List of set identities and relations}}
* {{annotated link|Logical conjunction}}
* {{annotated link|MinHash}}
* {{annotated link|Naive set theory}}
* {{annotated link|Symmetric difference}}
* {{annotated link|Union (set theory)|Union}}


==संदर्भ==

{{reflist}}


==अग्रिम पठन==

* {{cite book|author-link=Keith J. Devlin|last=Devlin|first=K. J.|title=The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory|edition=Second|publisher=Springer-Verlag|location=New York, NY|year=1993|isbn=3-540-94094-4}}
* {{cite book|last=Munkres|first=James R.|author-link=James Munkres|title=Topology|edition=Second|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|chapter=Set Theory and Logic|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}
* {{cite book|title=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Kenneth|last=Rosen|location=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2007|edition=Sixth|isbn=978-0-07-322972-0|chapter=Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums}}



==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==

==बाहरी संबंध==

* {{MathWorld|title=Intersection|id=Intersection}}

{{Set theory}}
{{Mathematical logic}}
[[Category: समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा]]
[[Category: सेट पर संचालन]]
[[Category: चौराहा]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/11/2022]]