पूरक (समुच्चय सिद्धांत)

यदिA इस छवि में लाल रंग का क्षेत्र है ...

…तोA का पूरक शेष सब कुछ है।

समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय A का पूरक, जिसे प्रायः A^∁ (या A′) द्वारा निरूपित किया जाता है, तत्व का समुच्चय A नहीं है

जब ब्रह्माण्ड में सभी समुच्चय, अर्थात विचाराधीन सभी समुच्चय, किसी दिए गए समुच्चय U के तत्व माने जाते हैं, A का पूर्ण पूरक U में तत्वों का समुच्चय है जो A में नहीं हैं।

समुच्चय B के संबंध में A के सापेक्ष पूरक को लिखित रूप में B और A के समुच्चय का अंतर भी कहा जाता है $B\setminus A,$ B में उन तत्वों का समुच्चय है जो A में नहीं हैं।

पूर्ण पूरक

सफेद डिस्क का पूर्ण पूरक लाल क्षेत्र है

परिभाषा

यदि A समुच्चय है, तो A का पूर्ण पूरक तत्वों का समुच्चय है, जो A में नहीं है ( बड़े समुच्चय के अंदर जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है)। दूसरे शब्दों में,U को ऐसा समुच्चय होने दें जिसमें अध्ययन के अंतर्गत सभी तत्व सम्मलित हों; यदि U का उल्लेख करने की कोई आवश्यकता नहीं है, या तो क्योंकि यह पूर्व निर्दिष्ट किया गया है, या यह स्पष्ट और अद्वितीय है, तो A का पूर्ण पूरक U में A का सापेक्ष पूरक है:

$$A^{\complement }=U\setminus A.$$

औपचारिक रूप से:

$$A^{\complement }=\{x\in U:x\notin A\}.$$

A का पूर्ण पूरक सामान्यतः A^∁ द्वारा निरूपित किया जाता है अन्य अंकन में ${\overline {A}},A',$ $\complement _{U}A,{\text{ और }}\complement A$ सम्मिलित हैं।

उदाहरण

• मान लें कि ब्रह्मांड पूर्णांकों का समुच्चय है। यदि A विषम संख्याओं का समुच्चय है, तो A का पूरक सम संख्याओं का समुच्चय है। यदि B 3 गुणक का समुच्चय है, तो B का पूरक 1 या 2 मॉड्यूल 3 में, पूर्णांक जो 3 के गुणक नहीं हैं) के लिए मॉड्यूलर अंकगणितीय संख्याओं का समुच्चय है।
• मान लें कि ब्रह्मांड मानक 52-कार्ड डेक है। यदि समुच्चय A हुकुम का सूट है, तो A का पूरक क्लब, हीरे और दिल के सूट का संघ है। यदि समुच्चय B क्लब और हीरे के सूट का मिलन है, फिर B का पूरक दिल और हुकुम के सूट का मिलन है।

गुण

मान लीजिए A तथा B ब्रह्मांड U में दो समुच्चय हैं। निम्नलिखित सर्वसमिका निरपेक्ष पूरक के महत्वपूर्ण गुण ग्रहण करती हैं:

डी मॉर्गन के नियम इस प्रकार है:* $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$

• $\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

पूरक नियम इस प्रकार है:* $A\cup A^{\complement }=U.$

• $A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
• $\varnothing ^{\complement }=U.$
• $U^{\complement }=\varnothing .$
• ${\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$

  (यह इसके प्रतिसकारात्मक के साथ नियमानुसार तुल्यता से अनुसरण करता है)।

समावेशन या दोहरा पूरक नियम इस प्रकार है:

• $\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

सापेक्ष और पूर्ण पूरक के मध्य संबंध है:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

समुच्चय अंतर के साथ संबंध है:

• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

उपरोक्त प्रथम दो पूरक नियम बताते हैं कि यदि A का गैर-रिक्त, उचित उपसमुच्चय U है, तब {A, A^∁} के समुच्चय U का विभाजन है।

सापेक्ष पूरक

परिभाषा

यदि A तथा B समुच्चय हैं, तब B में A के सापेक्ष पूरक को B और A के समुच्चय अंतर भी कहा जाता है l B में तत्वों का समुच्चय है किन्तु A में नहीं है।

B में A के सापेक्ष पूरक : $B\cap A^{\complement }=B\setminus A$

B में A के सापेक्ष आईएसओ 31-11 मानक के अनुसार $B\setminus A$ निरूपित किया जाता है । यह कभी-कभी $B-A,$ लिखा जाता है किन्तु यह अंकन अस्पष्ट है, जैसा कि कुछ संदर्भों में (उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में मिन्कोव्स्की जोड़)इसे सभी तत्वों के सेट के रूप में अध्ययन किया जा सकता है $b-a,$ जहाँ b को B और a को A से लिया गया है.

औपचारिक रूप से:

$$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$$

उदाहरण

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
• यदि $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है तो $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

गुण

See also: सेट पहचान और संबंधों की सूची and और समुच्चयों का बीजगणित

माना A, B, तथा C तीन समुच्चय हैं। निम्नलिखित पहचान (गणित) सापेक्ष पूरक के उल्लेखनीय गुण प्राप्त करते हैं:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$

*: महत्वपूर्ण विशेष स्थिति के साथ $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ यह दर्शाता है कि प्रतिच्छेदन को केवल सापेक्ष पूरक संक्रिया का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
• $A\setminus A=\emptyset .$
• $\emptyset \setminus A=\emptyset .$
• $A\setminus \emptyset =A.$
• $A\setminus U=\emptyset .$
• यदि $A\subset B$, फिर $C\setminus A\supset C\setminus B$.
• $A\supseteq B\setminus C$ के बराबर है $C\supseteq B\setminus A$.

पूरक संबंध

द्विआधारी संबंध $R$ समुच्चय को उत्पाद के उपसमुच्चय $X\times Y$ के रूप में परिभाषित किया गया है पूरक संबंध ${\bar {R}}$ का समुच्चय $R$ में $X\times Y$ का पूरक है जिसे संबंध $R$ का पूरक लिखा जा सकता है:

$${\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.$$

यहां, $R$ सामान्यतः तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाली पंक्तियों के साथ तार्किक आव्यूह $X$ के रूप में और स्तंभों के तत्व $Y.$ के रूप में देखे जाते है $aRb$ पंक्ति में 1 से युग्मित होता है $a,$ स्तम्भ $b.$ के पूरक संबंध का निर्माण $R$ पूरक के तार्किक आव्यूह के लिए सभी 1s से 0s, और 0s से 1s स्विच करने के अनुरूप है।

संबंधों की संरचना और विलोम संबंधों के साथ, पूरक संबंध और समुच्चयों का बीजगणित संबंधों की कलन की प्राथमिक संक्रियाएं (गणित) हैं।

लाटीएक्स संकेतन

लाटीएक्स टाइपसेटिंग भाषा में, कमांड \setminus प्रायः समुच्चय डिफरेंशियल सिंबल को रेंडर करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो बैकस्लैश सिंबल के समान होता है। जब प्रदान किया जाता है, तो \setminus आदेश समान दिखता है \backslash, इसके अतिरिक्त कि इसमें स्लैश के आगे और पीछे थोड़ा अधिक स्थान है, लाटीएक्स अनुक्रम के समान \mathbin{\backslash} प्रकार \smallsetminus amssymb पैकेज में उपलब्ध है। प्रतीक $\complement$ (विरोध के रूप में $C$) द्वारा निर्मित है \complement. (यह यूनिकोड प्रतीक ∁ से संबंधित है।)

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में

कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में उनके अंतर्निहित डेटा संरचनाओं के मध्य समुच्चय होता है। ऐसी डेटा संरचना परिमित समुच्चय के रूप में व्यवहार करती है, अर्थात इसमें डेटा की सीमित संख्या होती है जो विशेष रूप से आदेशित नहीं होती है, और इस प्रकार इसे समुच्चय के तत्व के रूप में माना जा सकता है। कुछ विषयों में, तत्व आवश्यक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, और डेटा संरचना समुच्चय के अतिरिक्त बहुत सारे समुच्चय को कोड करती है। इन प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में पूरक और समुच्चय अंतर की गणना के लिए ऑपरेटर या फलन होते हैं।

इन ऑपरेटरों को सामान्यतः उन डेटा संरचनाओं पर भी प्रारम्भ किया जा सकता है जो वास्तव में गणितीय समुच्चय नहीं हैं, जैसे कि सूची या सरणी डेटा संरचना है। यह इस प्रकार है कि कुछ प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में फलन हो सकता है जिसे सेट_डिफरेंस, कहा जाता है भले ही उनके निकट समुच्चय के लिए कोई डेटा संरचना न हो।

यह भी देखें

• समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets
• प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) – Set of elements common to all of some sets
• सेट पहचान और संबंधों की सूची
• सरलमति समुच्चय सिद्धांत
• सममित अंतर – Elements in exactly one of two sets
• संघ (समुच्चय सिद्धांत)

संदर्भ

• Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (in français). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Complement". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Complement Set". MathWorld.