तर्कवाद

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गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जिसमे या से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।

सिंहावलोकन

इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित तर्कसंगत संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को नेचुरल संख्याएं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि नेचुरल संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।

ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से नेचुरल संख्याएं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में नेचुरल संख्याएं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।

यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस समस्या का सामना करता है।

वहीं, 1903 में रसेल ने "गणित के सिद्धांत" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में प्रारंभिक धारणाओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने "गणितीय सिद्धांत" में एकत्र किया था।[2]

आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है।

इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे नेचुरल संख्याएं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।[3] इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।

इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि नेचुरल संख्याएं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की समानता में कम विश्वसनीय है।[4]

तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से[5] और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।

'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति

आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।

सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे विशिष्ट के रूप में प्रस्तुत किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलतबअर्थात के अतिरिक्त (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, किन्तु उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , जिससे 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।[6]

रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।

तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य

इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और मूड समुच्चय करना (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है।

नेचुरल संख्याएं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के रचनावाद (गणित का दर्शन) के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है।

इतिहास

गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. किन्तु यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े भाग को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अतिरिक्त , युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत सम्मलित थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में सम्मलित किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं। (पृष्ठ 43)

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से प्रारंभ की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?

मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि केवल अनुमानों के माध्यम से, विचार के उन नियमों के एकमात्र समर्थन से, जो सभी विवरणों से परे हैं, अंकगणित में कितनी दूर तक आगे बढ़ा जा सकता है। मेरा प्रारंभिक कदम क्रम में क्रमबद्ध करने की अवधारणा को तार्किक परिणाम तक कम करने का प्रयास करना था, जिससे वहां से संख्या की अवधारणा की ओर आगे बढ़ा जा सके। किसी भी सहज ज्ञान युक्त चीज़ को यहां बिना ध्यान दिए प्रवेश करने से रोकने के लिए मुझे अनुमानों की श्रृंखला को अंतराल से मुक्त रखने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ा। . . मुझे भाषा की अपर्याप्तता बाधा लगी; इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कितने बोझिल भावों को स्वीकार करने के लिए तैयार था, जैसे-जैसे रिश्ते अधिक से अधिक जटिल होते गए, मैं उस सटीकता को प्राप्त करने में कम सक्षम होता गया जो मेरे उद्देश्य के लिए आवश्यक थी। यही कमी मुझे वर्तमान विचारधारा के विचार तक ले गयी। इसलिए, इसका पहला उद्देश्य हमें अनुमानों की श्रृंखला की वैधता का सबसे विश्वसनीय परीक्षण प्रदान करना है और हर उस पूर्वधारणा को इंगित करना है जो किसी का ध्यान नहीं जाने देने की कोशिश करती है (वैन हाइजेनोर्ट 1967:5 में फ़्रीज 1879)।

डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है। उनका मानना ​​था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए:

अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को समिष्ट और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी प्रकार स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)।

पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना निर्णय बताया है:

गणित की नींव से संबंधित प्रश्न, चूंकि हाल के दिनों में कई लोगों द्वारा हल किए गए हैं, फिर भी संतोषजनक समाधान का अभाव है। कठिनाई का मुख्य स्रोत भाषा की अस्पष्टता है। ¶ इसीलिए हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों की सावधानीपूर्वक जांच करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। मेरा लक्ष्य इस परीक्षा को देना है (पीनो 1889 वैन हाइजेनोर्ट 1967:85 में)।

रसेल 1903 अपने 190 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन करता है गणित के 3 सिद्धांत:

वर्तमान कार्य के दो मुख्य उद्देश्य हैं। इनमें से एक, यह प्रमाण है कि सभी शुद्ध गणित विशेष रूप से बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणाओं से संबंधित हैं, और इसके सभी प्रस्ताव बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक सिद्धांतों से निकाले जा सकते हैं (प्रस्तावना 1903:vi)।
वर्तमान कार्य की उत्पत्ति के बारे में कुछ शब्द चर्चा किए गए प्रश्नों के महत्व को दर्शाने का काम कर सकते हैं। लगभग छह साल पहले, मैंने डायनेमिक्स के दर्शन की जांच प्रारंभ की थी। . . . [दो प्रश्नों से - अंतरिक्ष के संबंधपरक सिद्धांत में त्वरण और पूर्ण गति] मुझे ज्यामिति के सिद्धांतों की फिर से जांच करने के लिए प्रेरित किया गया, वहां से निरंतरता और अनंत के दर्शन तक, और फिर, के अर्थ की अविष्कार करने की दृष्टि से कोई भी शब्द, प्रतीकात्मक तर्क के लिए (प्रस्तावना 1903:vi-vii)।

ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद

इस प्रकार डेडेकाइंड और पूछा की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये विधि अपने आप में पर्याप्त होंगे।

डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि:

क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)।

वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)।

इस प्रकार लियोपोल्ड क्रोनकर, अपने प्रमाण के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है[7] उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी सम्मलित था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस सीमा तक कि वह पूर्णांक को उसके आवश्यक गुणों के साथ हठधर्मिता के रूप में स्वीकार करता है और पीछे मुड़कर नहीं देखता।[8] और अपने चरम रचनावादी रुख को ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद के साथ जोड़ा, दोनों पर व्यक्तिवाद का आरोप लगाया: यह विज्ञान के कार्य का भाग है कि वह हमें इच्छानुसार, भावना और आदत से मुक्त करे और हमें उस व्यक्तिवाद से बचाए जो पहले से ही क्रोनकर के विचारों में खुद को महसूस कर चुका है और मुझे ऐसा लगता है कि इसकी परिणति अंतर्ज्ञानवाद में होती है।[9] हिल्बर्ट फिर कहते हैं कि गणित पूर्वधारणा रहित विज्ञान है। इसे पाने के लिए मुझे ईश्वर की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि क्रोनकर को है। . . (पृ. 479).

इस प्रकार रसेल के दार्शनिक यथार्थवाद ने उन्हें ब्रिटिश आदर्शवाद के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया,[10] यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश अनुभववाद से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।।[11] आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा,[12] जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा।[13] रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)[14]

किन्तु जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह आदर्शवाद सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) उस विशिष्ट का दिमाग सम्मलित नहीं होता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)।

इस प्रकार रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका प्रमाणित है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य उपस्थित है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है:

दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की अन्य -अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषजनक दर्शन के लिए काफी अपरिहार्य हैं, जैसा कि मुझे आशा है कि निम्नलिखित पृष्ठ दिखाएंगे। . . . औपचारिक रूप से, मेरा परिसर केवल मान लिया गया है; किन्तु तथ्य यह है कि वे गणित को सत्य होने की अनुमति देते हैं, जो कि अधिकांश वर्तमान दर्शन नहीं करते हैं, निश्चित रूप से उनके पक्ष में शक्तिशाली तर्क है। (प्रस्तावना 1903:viii)

1902 में रसेल ने फ़्रीज के ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ डेर अरिथमेटिक में दुष्चक्र (रसेल का विरोधाभास) की अविष्कार की, जो फ़्रीज के बेसिक लॉ V से लिया गया था और उन्होंने अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों में इसे नहीं दोहराने का दृढ़ संकल्प किया था। अंतिम समय में जोड़े गए दो परिशिष्टों में उन्होंने अपने स्वयं के विपरीत फ्रेगे के सिद्धांत के विस्तृत विश्लेषण और विरोधाभास के समाधान दोनों के लिए 28 पृष्ठ समर्पित किए। किन्तु वह परिणाम को लेकर आशावादी नहीं थे:

वर्गों के स्थितियों में, मुझे स्वीकार करना होगा, मैं वर्ग की धारणा के लिए अपेक्षित शर्तों को पूरा करने वाली किसी भी अवधारणा को समझने में विफल रहा हूं। और विरोधाभास की चर्चा अध्याय x में की गई है। यह सिद्ध करता है कि कुछ गड़बड़ है, किन्तु यह क्या है, मैं अब तक इसका पता लगाने में असफल रहा हूं। (रसेल 1903 की प्रस्तावना:vi)

गोडेल अपने 1944 में 1903 के युवा रसेल से असहमत होंगे ([मेरा परिसर] गणित को सच होने की अनुमति देता है) किन्तु संभवतः ऊपर उद्धृत रसेल के कथन से सहमत होंगे (कुछ गड़बड़ है); रसेल का सिद्धांत गणित की संतोषजनक नींव पर पहुंचने में विफल रहा था: परिणाम अनिवार्य रूप से ऋणात्मक था; अर्थात इस प्रकार से प्रस्तुत की गई कक्षाओं और अवधारणाओं में गणित के उपयोग के लिए आवश्यक सभी गुण नहीं हैं (गोडेल 1944:132)।

रसेल इस स्थिति में कैसे पहुंचे? गोडेल का मानना ​​है कि रसेल ट्विस्ट के साथ आश्चर्यजनक यथार्थवादी है: वह रसेल के 1919:169 तर्क का हवाला देते हुए वास्तविक दुनिया से उतना ही चिंतित है जितना कि प्राणीशास्त्र (गोडेल 1944:120)। किन्तु उनका मानना ​​है कि जब उन्होंने किसी ठोस समस्या पर काम प्रारंभ किया, तो विश्लेषण की जाने वाली वस्तुएं (उदाहरण के लिए कक्षाएं या प्रस्ताव) जल्द ही अधिकांश भाग तार्किक कल्पनाओं में बदल गईं। . . [अर्थ] केवल इतना कि हमें उनके बारे में कोई प्रत्यक्ष धारणा नहीं है। (गोडेल 1944:120)

रसेल के तर्कवाद के ब्रांड से संबंधित अवलोकन में, पेरी टिप्पणी करते हैं कि रसेल यथार्थवाद के तीन चरणों से गुज़रे: चरम, मध्यम और रचनात्मक (पेरी 1997:xxv)। 1903 में वे अपनी चरम अवस्था में थे; 1905 तक वह अपने मध्यम चरण में होंगे। कुछ ही वर्षों में वह दुनिया के फर्नीचर के बुनियादी टुकड़ों के रूप में भौतिक या भौतिक वस्तुओं से दूर हो जाएगा। वहअपनी अगली पुस्तक अवर नॉलेज ऑफ द एक्सटर्नल वर्ल्ड [1914] (पेरी 1997:xxvi) में इंद्रिय-डेटा से इनका निर्माण करने का प्रयास करेंगे।

गोडेल 1944 में इन निर्माणों को नाममात्रवादी रचनावाद कहा जाएगा ... जिसे रसेल के अधिक कट्टरपंथी विचार, नो-क्लास सिद्धांत (पृष्ठ 125) से प्राप्त काल्पनिकवाद कहा जा सकता है:

जिसके अनुसार कक्षाएं या अवधारणाएं कभी भी वास्तविक वस्तुओं के रूप में उपस्थित नहीं होती हैं, और इन शब्दों वाले वाक्य केवल तभी सार्थक होते हैं क्योंकि उनकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है ... अन्य चीजों के बारे में बोलने का विधि (पृष्ठ 125)।

नीचे आलोचना अनुभागों में और अधिक देखें।

नेचुरल संख्याएं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण

इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, नेचुरल संख्याएं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - नेचुरल संख्याएं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध उपस्थित नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी स्थितियों में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (किन्तु ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसमुच्चय्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप विधि से प्राप्त किए जा सकते हैं।

प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ की प्रकार , संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से प्रारंभ करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।[15] तार्किक व्युत्पत्ति इस प्रकार से निर्मित कार्डिनल संख्याओं को नेचुरल संख्याएं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ समुच्चय सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति P है और N+1 के पास संपत्ति पी है जब भी N के पास संपत्ति पी है।)

यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी नेचुरल संख्याएं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)।

नेचुरल संख्याएं के निर्माण के तर्कवादी फलन का महत्व रसेल के इस तर्क से मिलता है कि सभी पारंपरिक शुद्ध गणित नेचुरल संख्याएं से प्राप्त किया जा सकता है, यह बहुत हाल ही का अविष्कार है, चूंकि इस पर लंबे समय से संदेह था (1919:4)। वास्तविक संख्याओं की व्युत्पत्ति डेडेकाइंड कट सिद्धांत से प्राप्त होती है, जो तर्कसंगत संख्याओं में कटौती करती है, तर्कसंगत संख्याएँ स्वाभाविक रूप से प्राप्त होती हैं। चूंकि यह कैसे किया जाता है इसका उदाहरण उपयोगी है, यह पहले नेचुरल संख्याएं की व्युत्पत्ति पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि नेचुरल संख्याएं की तार्किक व्युत्पत्ति में दार्शनिक कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं, तो ये समस्याएँ हल होने तक फलन को रोकने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए (नीचे आलोचनाएँ देखें)।

नेचुरल संख्याएं के निर्माण का प्रयास बर्नेज़ 1930-1931 द्वारा संक्षेपित किया गया है।[16] किन्तु बर्नेज़ के संक्षेपण का उपयोग करने के अतिरिक्त , जो कुछ विवरणों में अधूरा है, रसेल के निर्माण के संक्षिप्त विवरण का प्रयास, जिसमें कुछ सीमित चित्रण सम्मलित हैं, नीचे दिया गया है:

प्रारंभिक

इस प्रकार रसेल के लिए, संग्रह (वर्ग) उचित नामों से निर्दिष्ट चीजों का समुच्चय है, जो प्रस्तावों (किसी चीज या चीजों के बारे में तथ्य का प्रमाणित) के परिणाम के रूप में आते हैं। रसेल ने इस सामान्य धारणा का विश्लेषण किया। वह वाक्यों में शब्दों से प्रारंभ करते हैं, जिसका उन्होंने इस प्रकार विश्लेषण किया:

रसेल के लिए, शब्द या तो चीजें या अवधारणाएं हैं: जो कुछ भी विचार का विषय हो सकता है, या किसी भी सही या गलत प्रस्ताव में हो सकता है, या के रूप में गिना जा सकता है, मैं शब्द कहता हूं। अतः यह दार्शनिक शब्दावली का सबसे व्यापक शब्द है। मैं इसके पर्यायवाची के रूप में इकाई, विशिष्ट और इकाई शब्दों का उपयोग करूंगा। पहले दो इस तथ्य पर जोर देते हैं कि प्रत्येक पद है, जबकि तीसरा इस तथ्य से लिया गया है कि प्रत्येक पद का अस्तित्व है, अर्थात कुछ अर्थों में है। आदमी, क्षण, संख्या, वर्ग, संबंध, कल्पना, या कुछ और जिसका उल्लेख किया जा सकता है, निश्चित रूप से शब्द होगा; और इस बात से इनकार करना कि फलां चीज शब्द है, हमेशा गलत होना चाहिए (रसेल 1903:43)

शब्दों के बीच, दो प्रकारों को अलग करना संभव है, जिन्हें मैं क्रमशः चीजें और अवधारणाएं कहूंगा; पहले वे शब्द हैं जो उचित नामों से संकेतित होते हैं, बाद वाले वे शब्द हैं जो अन्य सभी शब्दों से संकेतित होते हैं। . . अवधारणाओं के बीच, फिर से, कम से कम दो प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए, अर्थात् वे जो विशेषणों द्वारा इंगित किए जाते हैं और वे जो क्रिया द्वारा इंगित किए जाते हैं (1903:44)।

पहले प्रकार को अधिकांशतः विधेय या वर्ग-अवधारणाएँ कहा जाएगा; उत्तरार्द्ध हमेशा या लगभग हमेशा संबंध होते हैं। (1903:44)

मैं किसी प्रस्ताव की शर्तों के बारे में उन शब्दों के रूप में बात करूंगा, चाहे वे कितने ही असंख्य क्यों न हों, जो प्रस्ताव में होते हैं और उन विषयों के रूप में माने जा सकते हैं जिनके बारे में प्रस्ताव है। यह किसी प्रस्ताव की शर्तों की विशेषता है कि उनमें से किसी को भी किसी अन्य इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना हमारे प्रस्ताव को समाप्त किए। इस प्रकार हम कहेंगे कि सुकरात मानव है, यह केवल पद वाला प्रस्ताव है; प्रस्ताव के शेष घटक में से क्रिया है, दूसरा विधेय है... . विधेय, क्रिया के अतिरिक्त अन्य अवधारणाएँ हैं, जो केवल पद या विषय वाले प्रस्तावों में होती हैं। (1903:45)

मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस विशिष्ट के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है।

वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या निर्णय से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात प्रस्ताव फलन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। किन्तु यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को सामान्यतः अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस सीमा तक निर्णय का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66)

वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56)

71. वर्ग को विस्तारात्मक या जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, हम उस प्रकार की वस्तु को परिभाषित कर सकते हैं जो वर्ग है, या उस प्रकार की अवधारणा जो वर्ग को दर्शाती है: यह इसका सटीक अर्थ हैइस संबंध में विस्तार और आशय का विरोध। किन्तु यद्यपि सामान्य धारणा को इस दो-तरफा विधि से परिभाषित किया जा सकता है, विशेष वर्गों को, जब तक कि वे परिमित न हों, केवल जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ऐसी और ऐसी अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में। . . तर्क में; विस्तारित परिभाषा अनंत वर्गों पर समान रूप से लागू होती प्रतीत होती है, किन्तु व्यावहारिक रूप से, यदि हम इसका प्रयास करते हैं, तो मृत्यु अपने लक्ष्य को प्राप्त करने से पहले हमारे प्रशंसनीय प्रयास को छोटा कर देगी। (1903:69)

नेचुरल संख्याएं की परिभाषा

प्रिनिसिपिया में, प्राकृतिक संख्याएँ उन सभी प्रस्तावों से प्राप्त होती हैं जिन्हें संस्थाओं के किसी भी संग्रह के बारे में प्रमाणित किया जा सकता है। रसेल इसे नीचे दूसरे (इटैलिकाइज़्ड) वाक्य में स्पष्ट करते हैं।

सबसे पहले, संख्याएँ स्वयं अनंत संग्रह बनाती हैं, और इसलिए उन्हें गणना द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। दूसरे समिष्ट पर, शब्दों की दी गई संख्या वाले संग्रह स्वयं संभवतः अनंत संग्रह बनाते हैं: उदाहरण के लिए, यह माना जाना चाहिए कि दुनिया में तिकड़ी का अनंत संग्रह है, क्योंकि यदि ऐसा नहीं होता तो कुल दुनिया में चीजों की संख्या सीमित होगी, जो संभव होते हुए भी असंभाव्य लगती है। तीसरे समिष्ट पर, हम संख्या को इस प्रकार परिभाषित करना चाहते हैं कि अनंत संख्याएँ संभव हो सकें; इस प्रकार हमें अनंत संग्रह में शब्दों की संख्या के बारे में बात करने में सक्षम होना चाहिए, और इस प्रकार के संग्रह को निर्णय से परिभाषित किया जाना चाहिए, अर्थात ऐसी संपत्ति द्वारा जो इसके सभी सदस्यों के लिए सामान्य और उनके लिए विशिष्ट हो। (1919:13)

स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित सीमित उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि सड़क पर 12 परिवार हैं। कुछ के बच्चे हैं, कुछ के नहीं। इन घरों में बच्चों के नामों पर चर्चा करने के लिए 12 प्रस्तावों की आवश्यकता होती है, जिसमें कहा गया है कि बच्चे का नाम परिवार में बच्चे का नाम है एफएन, एफ1, एफ2, नाम वाले परिवारों की विशेष सड़क पर घरों के इस संग्रह पर लागू होता है। . . F12. 12 प्रस्तावों में से प्रत्येक इस बात पर विचार करता है कि बच्चे का नाम तर्क किसी विशेष घर के बच्चे पर लागू होता है या नहीं। प्रस्तावित फलन f(x) में बच्चों के नाम (बच्चे का नाम) को x के रूप में सोचा जा सकता है, जहां फलन परिवार में Fn नाम वाले बच्चे का नाम है।[17][original research?]

जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण सीमित संख्या में परिवारों की सीमित सड़क पर परिवार Fn' में बच्चों के सीमित प्रस्तावात्मक फलन चाइल्डनेम्स पर सीमित है, रसेल ने स्पष्ट रूप से अनंत डोमेन पर फैले सभी प्रस्तावात्मक कार्यों का विस्तार करने का निर्णय किया है जिससे अनुमति दी जा सके सभी संख्याओं का निर्माण किया है.

क्लेन का मानना ​​है कि रसेल ने अव्यवस्थितता परिभाषा निर्धारित की है जिसे उसे हल करना होगा, या रसेल विरोधाभास जैसा कुछ प्राप्त करने का जोखिम उठाना होगा। इसके अतिरिक्त यहां हम प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की परिभाषा से पहले, तर्क में उपस्थित कार्डिनल संख्याओं के सभी गुणों की समग्रता का अनुमान लगाते हैं (क्लीन 1952:44)। समस्या यहां प्रस्तुत किए गए सीमित उदाहरण में भी दिखाई देगी, जब रसेल इकाई वर्ग से निपटता है (सीएफ. रसेल 1903:517)।

प्रश्न उठता है कि वास्तव में वर्ग क्या है या होना चाहिए। डेडेकाइंड और फ़्रीज के लिए, वर्ग अपने आप में विशिष्ट इकाई है, 'एकता' जिसे उन सभी संस्थाओं के साथ पहचाना जा सकता है जो कुछ प्रस्तावित फलन एफ को संतुष्ट करते हैं। (यह प्रतीकवाद रसेल में प्रकट होता है, जिसका श्रेय फ़्रीज को दिया जाता है: सार फलन का वह भाग है जो x हटा दिए जाने पर बचता है, अर्थात उपरोक्त उदाहरण में, 2( )3+( ). तर्क x फलन से संबंधित नहीं है, किन्तु दोनों मिलकर संपूर्ण बनाते हैं (ib. p. 6 [अर्थात फ़्रीज का 1891 फलन अंड बेग्रिफ़] (रसेल 1903:505)।) उदाहरण के लिए, विशेष एकता को नाम दिया जा सकता है ; मान लीजिए कि परिवार Fα में एनी, बार्बी और चार्ल्स नाम वाले बच्चे हैं:

{ a, b, c }Fα

वस्तु के रूप में संग्रह या वर्ग की यह धारणा, जब बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग की जाती है, तो रसेल के विरोधाभास का परिणाम होता है; अव्यवहारिकता के बारे में नीचे और अधिक देखें। रसेल का समाधान वर्ग की धारणा को केवल उन तत्वों के रूप में परिभाषित करना था जो प्रस्ताव को संतुष्ट करते हैं, उनका तर्क यह था कि, वास्तव में, तर्क x फलन द्वारा बनाए गए प्रस्ताव फलन उर्फ ​​​​वर्ग से संबंधित नहीं हैं। वर्ग को अपने आप में एकात्मक वस्तु के रूप में नहीं माना जाना चाहिए, यह केवल प्रकार की उपयोगी कल्पना के रूप में उपस्थित है: हमने इस निर्णय से बचाव किया है कि क्या चीजों के वर्ग का किसी भी अर्थ में वस्तु के रूप में अस्तित्व है। किसी भी प्रकार से इस प्रश्न का निर्णय हमारे तर्क के प्रति उदासीन है (प्रिंसिपिया मैथमेटिका का पहला संस्करण 1927:24)।

रसेल ने 1919 में भी यही राय कायम रखी; प्रतीकात्मक काल्पनिक शब्दों पर गौर करें:[original research?]

जब हमने निश्चित कर लिया है कि वर्ग अपने सदस्यों के समान प्रकार की चीजें नहीं हो सकते हैं, कि वे केवल ढेर या समुच्चय नहीं हो सकते हैं, और यह भी कि उन्हें प्रस्तावित कार्यों से पहचाना नहीं जा सकता है, तो यह देखना बहुत मुश्किल हो जाता है कि वे क्या हो सकते हैं, यदि वे प्रतीकात्मक कल्पनाओं से कहीं अधिक हैं। और यदि हम प्रतीकात्मक कल्पना के रूप में उनसे निपटने का कोई विधि ढूंढ सकते हैं, तो हम अपनी स्थिति की तार्किक सुरक्षा बढ़ाते हैं, क्योंकि हम यह मानने की आवश्यकता से बचते हैं कि वर्ग हैं, बिना विपरीत धारणा बनाने के लिए मजबूर हुए कि कोई वर्ग नहीं हैं। हम केवल दोनों धारणाओं से दूर रहते हैं। . . . किन्तु जब हम इस बात पर जोर देने से इनकार करते हैं कि कक्षाएं हैं, तो हमें हठधर्मिता से यह नहीं कहना चाहिए कि कोई कक्षाएं नहीं हैं। हम उनके संबंध में केवल अज्ञेयवादी हैं। . .. (1919:184)

और पीएम (1927) के दूसरे संस्करण में रसेल का मानना ​​है कि कार्य केवल उनके मूल्यों के माध्यम से होते हैं। . . कार्यों के सभी कार्य विस्तारित हैं, . . . [और] परिणामस्वरूप कार्यों और वर्गों के बीच अंतर करने का कोई कारण नहीं है। . . इस प्रकार, वर्ग, कार्यों से भिन्न, उस छायादार अस्तित्व को भी खो देते हैं जिसे वे *20 (पृष्ठ xxxix) में बनाए रखते हैं। दूसरे शब्दों में, अलग धारणा के रूप में वर्ग पूरी प्रकार से गायब हो गए हैं।

'चरण 2: समान वर्गों को 'बंडलों' में एकत्रित करें': इन उपरोक्त संग्रहों को समरूपता द्वारा द्विआधारी संबंध (समानता) में रखा जा सकता है, जिसे यहां '≈' द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात तत्वों का एक- पत्राचार,[18] और इस प्रकार रसेलियन वर्गों की कक्षाएं या जिसे रसेल बंडल कहते हैं, बनाते हैं। हम मान सकते हैं कि सभी जोड़े बंडल में, सभी तिकड़ी दूसरे में, इत्यादि। इस प्रकार हम संग्रहों के विभिन्न बंडल प्राप्त करते हैं, प्रत्येक बंडल में सभी संग्रह सम्मलित होते हैं जिनमें निश्चित संख्या में शब्द होते हैं। प्रत्येक बंडल वर्ग है जिसके सदस्य संग्रह हैं, अर्थात वर्ग; इस प्रकार प्रत्येक वर्ग वर्गों का वर्ग है (रसेल 1919:14)।

चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें: ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, अर्थात कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके प्रमाण ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है।

परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? पीएम में रसेल कहते हैं कि a वर्ग को अस्तित्व तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम सदस्य हो। . . वह वर्ग जिसमें कोई सदस्य नहीं है, शून्य वर्ग कहलाता है। . . α शून्य-वर्ग है जो α के समतुल्य है, उपस्थित नहीं है। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है कि क्या शून्य वर्ग स्वयं 'अस्तित्व में' है? इस प्रश्न से संबंधित कठिनाइयाँ रसेल के 1903 के कार्य में आती हैं।[19] फ़्रीज के ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ में विरोधाभास की अविष्कार के बाद उन्होंने अपने 1903 में परिशिष्ट a जोड़ा जहां शून्य और इकाई वर्गों की प्रकृति के विश्लेषण के माध्यम से, उन्होंने प्रकारों के सिद्धांत की आवश्यकता की अविष्कार की; इकाई वर्ग, असंबद्धता की समस्या और रसेल के दुष्चक्र सिद्धांत के बारे में नीचे और अधिक देखें।[19]

चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें: संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक इच्छानुसार हैं.

चरण 5: 0 को परिभाषित करें फ़्रीज के बाद, रसेल ने इस भूमिका को भरने के लिए उपयुक्त वर्ग के रूप में वर्गों के खाली या शून्य वर्ग को चुना, यह उन वर्गों का वर्ग है जिनमें कोई सदस्य नहीं है। कक्षाओं के इस शून्य वर्ग को 0 लेबल किया जा सकता है

चरण 6: उत्तराधिकारी की धारणा को परिभाषित करें: रसेल ने नई विशेषता वंशानुगत (सीएफ फ्रेज के 'पैतृक') को परिभाषित किया, जो कुछ वर्गों की संपत्ति है जिसमें किसी अन्य वर्ग (जो वर्गों का वर्ग हो सकता है) से विशेषता प्राप्त करने की क्षमता होती है अर्थात संपत्ति इसे प्राकृतिक-संख्या श्रृंखला में वंशानुगत कहा जाता है यदि, जब भी यह किसी संख्या n से संबंधित होता है, तो यह n+1, n के उत्तराधिकारी से भी संबंधित होता है। (1903:21). उनका प्रमाणित है कि प्राकृतिक संख्याएँ संतान हैं - बच्चे, उत्तराधिकारी के उत्तराधिकारी - 0 के तत्काल पूर्ववर्ती (जो उत्तराधिकारी का विपरीत है) के संबंध में 0 (1919:23)।

नोट रसेल ने यहां बिना परिभाषा के कुछ शब्दों का उपयोग किया है, विशेष रूप से संख्या श्रृंखला, संख्या एन, और उत्तराधिकारी। वह उचित समय पर इन्हें परिभाषित करेंगे। विशेष रूप से ध्यान दें कि रसेल उत्तराधिकारी के निर्माण के लिए कक्षा 1 की इकाई वर्ग का उपयोग नहीं करता है। इसका कारण यह है कि, रसेल के विस्तृत विश्लेषण में,[20] यदि इकाई वर्ग अपने आप में इकाई बन जाता है, तो वह भी अपने स्वयं के प्रस्ताव में तत्व हो सकता है; इससे प्रस्ताव अव्यावहारिक हो जाता है और परिणामस्वरूप दुष्चक्र बन जाता है। बल्कि, वह कहते हैं: हमने अध्याय II में देखा कि कार्डिनल संख्या को वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, और अध्याय III में संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, जिनमें से केवल है सदस्य, जैसा कि हमें कहना चाहिए किन्तु दुष्चक्र के लिए। बेशक, जब संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इकाई वर्गों को परिभाषित किया जाना चाहिए जिससे यह न मान लिया जाए कि हम जानते हैं कि का क्या तात्पर्य है (1919:181)।

उत्तराधिकारी की अपनी परिभाषा के लिए, रसेल अपनी इकाई के लिए इकाई या शब्द का उपयोग इस प्रकार करेगा:

उत्तराधिकारी को परिभाषित करना बाकी है। किसी भी संख्या n को देखते हुए मान लीजिए α वर्ग है जिसमें n सदस्य हैं, और मान लीजिए कि x पद है जो α का सदस्य नहीं है। फिर α और x जोड़ने वाले वर्ग में +1 सदस्य होंगे। इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित परिभाषा है:
वर्ग α में पदों की संख्या का उत्तराधिकारी वर्ग में α के साथ x से युक्त पदों की संख्या है, जहां x वर्ग से संबंधित कोई पद नहीं है। (1919:23)

रसेल की परिभाषा के लिए नए शब्द की आवश्यकता होती है जिसे बंडलों के अंदर संग्रह में जोड़ा जाता है।

'चरण 7: शून्य वर्ग के उत्तराधिकारी का निर्माण करें'।

'चरण 8: समतुल्य वर्गों के प्रत्येक वर्ग के लिए, उसका उत्तराधिकारी बनाएं।'

'चरण 9: संख्याओं को क्रमित करें': उत्तराधिकारी बनाने की प्रक्रिया के लिए संबंध की आवश्यकता होती है। . . का उत्तराधिकारी है. . . , जिसे विभिन्न अंकों के बीच S से दर्शाया जा सकता है . अब हमें 0, 1, 2, 3, क्रम में नेचुरल संख्याएं के क्रमबद्ध चरित्र पर विचार करना चाहिए। . . हम सामान्यतः संख्याओं के बारे में इसी क्रम में सोचते हैं, और यह तार्किक शब्दों में क्रम या श्रृंखला की परिभाषा खोजने के लिए हमारे डेटा का विश्लेषण करने के काम का अनिवार्य भाग है। . . . यह क्रम पदों के वर्ग में नहीं, बल्कि वर्ग के सदस्यों के बीच के संबंध में निहित है, जिसके संबंध में कुछ पहले और कुछ बाद में दिखाई देते हैं। (1919:31)

इस प्रकार रसेल क्रमबद्ध संबंध की धारणा पर तीन मानदंड लागू करता है: सबसे पहले, वह विषमता की धारणा को परिभाषित करता है अर्थात दो पदों x, और y के बीच S (... का उत्तराधिकारी है...) जैसे संबंध को देखते हुए: y: x S y ≠ y S x. दूसरा, वह तीन अंकों x, y और z के लिए परिवर्तनशीलता की धारणा को परिभाषित करता है: यदि x S y और y S z तो x S z। तीसरा, वह जुड़े हुए की धारणा को परिभाषित करता है: वर्ग के किन्हीं दो शब्दों को देखते हुए जिन्हें क्रमबद्ध किया जाना है, ऐसा होना चाहिए जो पहले हो और दूसरा जो बाद में हो। . . . संबंध तब जुड़ा होता है, जब उसके क्षेत्र के किन्हीं दो अलग-अलग पदों को दिया जाता है [किसी संबंध के डोमेन और विपरीत डोमेन दोनों जैसे। पति बनाम पत्नी के संबंध में विवाहित] संबंध पहले और दूसरे के बीच या दूसरे और पहले के बीच होता है (इस संभावना को छोड़कर नहीं कि दोनों हो सकते हैं, चूंकि संबंध विषम होने पर दोनों नहीं हो सकते)।(1919:32) )

उन्होंने निष्कर्ष निकाला: . . . [प्राकृतिक] संख्या m को दूसरी संख्या n से कम कहा जाता है जब n के पास m के उत्तराधिकारी के पास उपस्थित प्रत्येक वंशानुगत संपत्ति होती है। यह देखना आसान है, और सिद्ध करना मुश्किल नहीं है, कि इस प्रकार परिभाषित से कम संबंध, असममित, संक्रमणीय और जुड़ा हुआ है, और इसके क्षेत्र के लिए [प्राकृतिक] संख्याएं हैं [यानी। डोमेन और कॉनवर्स डोमेन दोनों संख्याएँ हैं]। (1919:35)

आलोचना

पुनरावृत्ति की 'बहिर्वाहिक' धारणा की धारणा: क्लेन का कहना है कि तर्कवादी थीसिस पर अंततः इस आधार पर सवाल उठाया जा सकता है कि तर्क पहले से ही अपने निर्माण में गणितीय विचारों को मानता है। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण में, पुनरावृत्ति के विचार में आवश्यक गणितीय कर्नेल निहित है (क्लीन 1952:46)

बर्नेज़ 1930-1931 का मानना ​​है कि यह धारणा दो चीजें पहले से ही कुछ मानती है, यहां तक ​​​​कि दो चीजों के अस्तित्व के प्रमाण के बिना भी, और विधेय के संदर्भ के बिना भी, जो दो चीजों पर लागू होता है; इसका सीधा सा तात्पर्य है, चीज़ और और चीज़। . . . इस सरल परिभाषा के संबंध में, संख्या अवधारणा प्रारंभिक संरचनात्मक अवधारणा बन जाती है। . . तर्कशास्त्रियों का यह प्रमाणित कि गणित पूरी प्रकार से तार्किक ज्ञान है, सैद्धांतिक तर्क का बारीकी से अवलोकन करने पर धुंधला और भ्रामक सिद्ध होता है। . . . [कोई तार्किक की परिभाषा का विस्तार कर सकता है] चूंकि , इस परिभाषा के माध्यम से जो ज्ञानमीमांसीय रूप से आवश्यक है उसे छुपाया जाता है, और जो गणित के लिए विशिष्ट है उसे अनदेखा कर दिया जाता है (मैनकोसु 1998:243 में)।

हिल्बर्ट 1931:266-7, बर्नेज़ की प्रकार , मानते हैं कि गणित में कुछ अतिरिक्त-तार्किक है: अनुभव और विचार के अतिरिक्त , ज्ञान का तीसरा स्रोत भी है। भले ही आज हम विवरण में कांट से सहमत नहीं हो सकते हैं, फिर भी कांटियन ज्ञानमीमांसा का सबसे सामान्य और मौलिक विचार अपना महत्व बरकरार रखता है: विचार की सहज प्राथमिक पद्धति का पता लगाना, और इस प्रकार की स्थिति की जांच करना सभी ज्ञान की संभावना. मेरी राय में गणित के सिद्धांतों की मेरी जांच में अनिवार्य रूप से यही होता है। यहां प्राथमिकता विचार की मौलिक विधा से अधिक और कुछ भी कम नहीं है, जिसे मैं विचार की परिमित विधा भी कहता हूं: प्रतिनिधित्व के हमारे संकाय में हमें पहले से ही कुछ दिया जाता है: कुछ अतिरिक्त- तार्किक ठोस वस्तुएँ जो सभी विचारों से पहले तात्कालिक अनुभव के रूप में सहज रूप से उपस्थित होती हैं। यदि तार्किक निष्कर्ष निश्चित करना है, तो इन वस्तुओं को उनके सभी हिस्सों में पूरी प्रकार से सर्वेक्षण योग्य होना चाहिए, और उनकी प्रस्तुति, उनके मतभेद, उनका दूसरे के बाद आना या उनका दूसरे के बगल में व्यवस्थित होना तुरंत और सहज रूप से हमें दिया जाता है, साथ ही वस्तुएँ, ऐसी चीज़ के रूप में जिसे न तो किसी अन्य चीज़ में घटाया जा सकता है, न ही ऐसी कमी की आवश्यकता है। (हिल्बर्ट 1931 मैनकोसु 1998 में: 266, 267)।

संक्षेप में, हिल्बर्ट और बर्नेज़ के अनुसार, अनुक्रम या उत्तराधिकारी की धारणा प्राथमिक धारणा है जो प्रतीकात्मक तर्क से बाहर है।

हिल्बर्ट ने तर्कवाद को गलत मार्ग के रूप में खारिज कर दिया: कुछ ने संख्याओं को विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से परिभाषित करने का प्रयास किया; दूसरों ने स्वयं-स्पष्ट होने के लिए अनुमान के सामान्य संख्या-सैद्धांतिक विधियों को अपनाया। दोनों रास्तों पर उन्हें ऐसी बाधाओं का सामना करना पड़ा जो दुर्गम सिद्ध हुईं। (हिल्बर्ट 1931 मैनकोसो 1998:267 में)। अपूर्णता प्रमेय यकीनन हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म के लिए समान बाधा का गठन करते हैं।

मैनकोसु का कहना है कि ब्रौवर ने निष्कर्ष निकाला कि: तर्क के शास्त्रीय विधि या सिद्धांत कथित नियमितता [प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व में] का भाग हैं; वे गणितीय निर्माणों के पोस्ट फैक्टम रिकॉर्ड से प्राप्त हुए हैं। . . सैद्धांतिक तर्क. . . [है] अनुभवजन्य विज्ञान और गणित का अनुप्रयोग (ब्राउवर मैनकोसु 1998:9 द्वारा उद्धृत)।

रसेलियन तर्कवाद के तकनीकी पहलुओं के संबंध में, जैसा कि प्रिंसिपिया मैथमैटिका (कोई भी संस्करण) में दिखाई देता है, 1944 में गोडेल निराश थे:

यह खेदजनक है कि गणितीय तर्क और उससे गणित की व्युत्पत्ति की इस पहली व्यापक और संपूर्ण प्रस्तुति में नींव में औपचारिक परिशुद्धता की इतनी कमी है ( के *1-*21 में निहित) प्रिंसिपिया) कि यह इस संबंध में फ़्रीज की समानता में महत्वपूर्ण कदम पीछे प्रस्तुत करता है। सबसे पहले, जो चीज़ गायब है, वह है औपचारिकता के वाक्य-विन्यास का सटीक विवरण(गोडेल 1944 कलेक्टेड वर्क्स 1990:120 में सीएफ फुटनोट 1)।

विशेष रूप से उन्होंने बताया कि यह स्थिति प्रतिस्थापन के नियम और परिभाषित प्रतीकों को उनकी परिभाषाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए विशेष रूप से संदिग्ध है (रसेल 1944:120)

उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना। . . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें।

संबंधों के जटिल सिद्धांत ने रसेल की व्याख्यात्मक 1919 गणितीय दर्शन का परिचय और उनके 1927 के प्रिंसिपिया के दूसरे संस्करण का गला घोंटना जारी रखा। समुच्चय सिद्धांत, इस बीच समुच्चय की क्रमबद्ध जोड़ी के संबंध में कमी के साथ आगे बढ़ गया था। ग्राटन-गिनीज का मानना ​​है कि प्रिंसिपिया के दूसरे संस्करण में रसेल ने इस कमी को नजरअंदाज कर दिया जो उनके अपने छात्र नॉर्बर्ट वीनर (1914) द्वारा हासिल की गई थी। शायद शेष झुंझलाहट के कारण, रसेल ने बिल्कुल भी प्रतिक्रिया नहीं दी।[21] 1914 तक हॉसडॉर्फ और समकक्ष परिभाषा प्रदान करेगा, और 1921 में कुराटोस्की आज उपयोग में आने वाली परिभाषा प्रदान करेगा।[22]


इकाई वर्ग, अव्यावहारिकता, और दुष्चक्र सिद्धांत

मान लीजिए कि लाइब्रेरियन अपने संग्रह को ही पुस्तक में अनुक्रमित करना चाहता है (इसे सूचकांक के लिए कहें)। उसका सूचकांक पुस्तकालय में सभी पुस्तकों और उनके स्थानों को सूचीबद्ध करेगा। जैसा कि पता चला, केवल तीन पुस्तकें हैं, और इनके शीर्षक Ά, β, और Γ हैं। अपना सूचकांक I बनाने के लिए, वह बाहर जाती है और 200 खाली पन्नों की किताब खरीदती है और उस पर I का लेबल लगाती है। अब उसके पास चार किताबें हैं: I, Ά, β, और Γ। उसका काम कठिन नहीं है. पूरा होने पर, उसकी अनुक्रमणिका I की सामग्री 4 पृष्ठों की होती है, प्रत्येक का अद्वितीय शीर्षक और अद्वितीय समिष्ट होता है (प्रत्येक प्रविष्टि को शीर्षक के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। स्थान)T):

मैं = { आई.एलI, ए.एलΆ, बी.एलβ, जी.एलΓ}.

पोंकारे ने I की इस प्रकार की परिभाषा को अव्यावहारिक माना था। ऐसा प्रतीत होता है कि उन्होंने माना है कि गणित में केवल विधेयात्मक परिभाषाओं की ही अनुमति दी जा सकती है:

परिभाषा 'विधेयात्मक' होती है और तार्किक रूप से केवल तभी स्वीकार्य होती है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को सम्मलित नहीं किया जाता है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, अर्थात, जो किसी भी प्रकार से इसके द्वारा निर्धारित की जा सकती हैं।[23]

पोंकारे की परिभाषा के अनुसार, लाइब्रेरियन की सूचकांक पुस्तक अपरिहार्य है क्योंकि I की परिभाषा समग्रता I, Ά, β, और Γ की परिभाषा पर निर्भर है। जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है, कुछ टिप्पणीकार इस बात पर जोर देते हैं कि सामान्य ज्ञान संस्करणों में असंवेदनशीलता हानिरहित है, किन्तु जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि ऐसे संस्करण भी हैं जो हानिरहित नहीं हैं। इन कठिनाइयों के जवाब में, रसेल ने मजबूत निषेध की वकालत की, उसका दुष्चक्र सिद्धांत:

किसी भी समग्रता में केवल इस समग्रता के संदर्भ में परिभाषित सदस्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, या इस समग्रता (दुष्चक्र सिद्धांत) में सम्मलित या पूर्वकल्पित सदस्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं (गोडेल 1944 कलेक्टेड वर्क्स वॉल्यूम II 1990:125 में प्रदर्शित)।[24]

यह स्पष्ट करने के लिए कि असंवेदनशीलता का खतरनाक उदाहरण क्या हो सकता है, आउटपुट ω = 1 - α के साथ फलन (गणित) एफ में तर्क α इनपुट करने के परिणाम पर विचार करें। इसे 'प्रतीकात्मक-तर्क' अभि विशिष्ट ω = NOT-α के समतुल्य बूलियन तर्क | 'बीजगणितीय-तर्क' अभि विशिष्ट के रूप में देखा जा सकता है, सत्य मान 1 और 0 के साथ। जब इनपुट α = 0, आउटपुट ω = 1; जब इनपुट α = 1, आउटपुट ω = 0.

फलन को अपरिहार्य बनाने के लिए, आउटपुट के साथ इनपुट की पहचान करें, जिससे α = 1-α प्राप्त हो

मान लीजिए, परिमेय संख्याओं के बीजगणित में समीकरण तब संतुष्ट होता है जब α = 0.5 होता है। किन्तु उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित में, जहां केवल सत्य मान 0 और 1 की अनुमति है, तो समानता को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।

तर्कशास्त्री फलन में कुछ कठिनाइयाँ α = NOT-α विरोधाभास से उत्पन्न हो सकती हैं[25] रसेल ने फ्रेज के 1879 टर्म पेपर में खोजा[26] फ़्रीज ने फलन को अपने इनपुट फ़ंक्शनल (इसके वेरिएबल का मान) को न केवल किसी ऑब्जेक्ट (वस्तु, शब्द) से प्राप्त करने की अनुमति दी थी, बल्कि फलन के स्वयं के आउटपुट से भी प्राप्त करने की अनुमति दी थी।[27] जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़्रीज और रसेल दोनों की नेचुरल संख्याएं का निर्माण समतुल्य वर्गों (बंडलों) के गठन से प्रारंभ होता है, इसके बाद प्रत्येक बंडल के लिए अद्वितीय अंक निर्दिष्ट किया जाता है, और फिर बंडलों को क्रम में रखा जाता है। संबंध S जो असममित है: x S y ≠ y S x। किन्तु फ्रेगे ने, रसेल के विपरीत, इकाई वर्गों के वर्ग को इकाई के रूप में पहचानने की अनुमति दी:

लेकिन, चूंकि अंक 1 वाला वर्ग अपने आप में एकल वस्तु या इकाई है, इसलिए इसे भी इकाई वर्गों के वर्ग में सम्मलित किया जाना चाहिए। इस समावेशन के परिणामस्वरूप बढ़ते प्रकार और बढ़ती सामग्री का अनंत प्रतिगमन होता है।

रसेल ने वर्ग को अधिक या काल्पनिक घोषित करके इस समस्या से बचा लिया। इससे उनका तात्पर्य यह था कि वर्ग केवल उन्हीं तत्वों को नामित कर सकता है जो उसके प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं और कुछ नहीं। कल्पना के रूप में किसी वर्ग को वस्तु नहीं माना जा सकता: इकाई, शब्द, विलक्षणता, इकाई। यह संयोजन है किन्तु रसेल के विचार में यह वस्तु-रूप के योग्य नहीं है:

जितने वर्ग उतने . . . आपत्तिहीन है, परन्तु अनेक है, नहीं। यदि हम चाहें, तो हम इसे ही प्रतीक द्वारा निरूपित कर सकते हैं: इस प्रकार x ε u का अर्थ होगा कि x, u में से है'एस। इसे दो पदों, x और u के संबंध के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए, क्योंकि संख्यात्मक संयोजन के रूप में u एकल पद नहीं है। . . इस प्रकार वर्गों का वर्ग अनेक अनेक होगा; इसके प्रत्येक घटक केवल अनेक होंगे, और इसलिए किसी भी अर्थ में, कोई यह मान सकता है, एकल घटक नहीं हो सकता।[आदि] (1903:516)।

यह मानता है कि नीचे प्रत्येक एकल शब्द को किसी भी वर्ग के लिए, किसी भी वर्ग के वर्ग के लिए, वर्गों के वर्गों के वर्ग आदि के लिए सूचीबद्ध किया जा सकता है, किन्तु यह नई समस्या का परिचय देता है - प्रकारों का पदानुक्रम कक्षाओं का.

असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम

गोडल ने 1944:131 में देखा कि "रसेल ने कक्षाओं के विस्तारीकरण दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण पेश किए हैं, जिसमें (1) शून्य कक्ष, जो बहुत अच्छी प्रकार से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई कक्ष, जो अपने एकल तत्वों से एकसार होना चाहिए।" उन्होंने सुझाव दिया कि रसेल को इन्हें कल्पित, किन्तु यह और निकलना चाहिए था कि सभी कक्षाएं (जैसे कि कक्षा-के-कक्षा जो नंबर 2, 3, आदि की परिभाषा करती हैं) कल्पनात्मक हैं।

किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया, अपने 1903 में परिशिष्ट A: फ्रेग के तार्किक और अंखगणितीय धरोहर में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला:

"जो तार्किक धरोहर इस प्रकार हमारे ऊपर थोपा जा रहा है, वह यह है: प्रस्तावना का विषय एकल शब्द नहीं हो सकता, बल्कि मूल रूप से कई शब्द हो सकते हैं; यह वह स्थिति है जिसमें 0 और 1 के अतिरिक्त कोई अन्य नंबर जो संख्याएं घोषित करते हैं।" (1903:516)

निम्नलिखित सूचना में "कक्षा जैसे कई" के शब्दों का उपयोग हुआ है - कक्षा वह श्रेणी है जिसमें वे शब्द (चीजें) सम्मिलित होते हैं जो प्रस्तावनात्मक क्रिया को पूरा करते हैं, किन्तु यह वस्तु खुद में चीज नहीं है।

"इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष है, कि कक्षाओं के सही सिद्धांत विषयों के तार्किक धरोहर चैप्टर VI की तुलना में भी विस्तारशील है; कक्षा जैसे कई वह विषय है जो सदैव किसी प्रस्तावनात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित होता है, और यह आधुनिक गणित के लिए पर्याप्त है" (1903:518)।

ऐसा लगता है जैसे कि गोपालक खेती के सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़े) को तीन कल्पनात्मक चारों में एकत्र करे (भेड़ों के लिए, गायों के लिए दूसरा और घोड़ों के लिए तीसरा) जो कि उसके कल्पनात्मक गोदामों में स्थित हैं। वास्तव में जो उपस्तिथ है, वे हैं भेड़, गाय और घोड़े (विस्तार), किन्तु कल्पनात्मक "धारणाएँ" गोदाम और खेती नहीं हैं।[original research?]

जब रसेल ने घोषित किया कि सभी कक्षाएं उपयुक्त कल्पनात्मक भ्रामक हैं, तो उन्होंने "इकाई" कक्ष की समस्या को हल कर दिया था, किन्तु समग्र समस्या ठीक नहीं हुई थी; वरना यह नए रूप में आ गई थी: "अब तो यह जरूरी हो जाएगा कि (1) शब्दें, (2) कक्षाएं, (3) कक्षाओं के कक्षाएं, और इसी प्रकार से अनंतता तक का अंतर करना पड़ेगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय के किसी भी सदस्य का किसी भी अन्य समुच्चय के सदस्य के रूप में आना संभव नहीं है, और x ε u इसका मतलब है कि x को उस समुच्चय का सदस्य होना चाहिए जो u से डिग्री कम है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्तावना हो जाएगी; और इस प्रकार से विरोध से बचा जाएगा"(1903:517)।

यह रसेल की "प्रकार का सिद्धांत" है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए कि x ε x जैसे अप्रेडिकटिव अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में उपयोग किया जा सके, रसेल ने इस प्रकार की कार्यकारी अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाएं विधेय परिभाषाओं हैं। इस अनुमान के लिए, उन्होंने "फलन-आदेश" और विवाद- "प्रकार" के धारणाएं ज़रूरी किए। पहले, फलन (और उनके विस्तार-के-रूप में-कक्षाएं, अर्थात् "आव्यूह") को उनके "आदेश" द्वारा वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फलन आदेश 1 के होते हैं, फलन के फलन (कक्षाओं के कक्षाएं) के आदेश 2 के होते हैं, और इसी प्रकार। आगे, उन्होंने फलन के तर्कों (फलन के "इनपुट") के "प्रकार" को तय किया, अर्थात् उनके "प्रासंगिक अर्थ के विस्तार", अर्थात् वे प्रविष्टियों अल्फा (व्यक्तियों? कक्षाओं? कक्षाओं-के-कक्षाओं? आदि) क्या हैं, जो f(x) में डाले जाएं, वे कौन से ऐसे प्रविष्टियां हैं जो मानवीय परिणाम ω को मानवीय बनाते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब है कि "प्रकार" अर्थात् मिश्रित आदेश का हो सकता है, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है:

"जो डिमैजियो और यैंकीस ने 1947 विश्व सीरीज जीती।"

यह वाक्य दो शब्दों में विभक्त किया जा सकता है: "x ने 1947 विश्व सीरीज जीती" + "y ने 1947 विश्व सीरीज जीती"। पहला वाक्य अपने चरण के रूप में विशिष्ट "जो डिमैजियो" को अपना इनपुट लेता है, दूसरा वाक्य समूह "यैंकीस" को अपना इनपुट लेता है। इस प्रकार, संयुक्त-वाक्य का (मिश्रित) प्रकार 2 होता है, अद्ययावर्गों के अनुसार मिश्रित (1 और 2)। होता है।

"विधेय",के माध्यम से, रसेल का अर्थ है कि फलन को अपने चरण (चरणों) के "प्रकार" से अधिक आदेश होना चाहिए। इसलिए, फलन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने चरण (चरणों) के वे प्रस्तावनात्मक अर्गुमेंट्स स्वीकार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और विशिष्ट (प्रकार 0) होते हैं, क्योंकिये निम्नतर अभिव्यक्तियां होती हैं। प्रकार 3 केवल प्रकार 2, 1 या 0 इत्यादि को स्वीकार कर सकता है। किन्तु इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: "z ने 1947 विश्व सीरीज जीती", वह विशिष्ट (प्रकार 0) "जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है", और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें।

द्विघात सिद्धांत (न्यूनीकरण का अभिगृहीत) होता है कि किसी भी आदेश के किसी भी फलन को उसके उपयुक्त आदेश के प्रामाणिक फलन में घटाया जा सकता है।[28] पहले संस्करण को सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि एनथ आदेश प्रामाणिक फलन को "सब से नीचे तक" बड़े "आव्यूह" या व्यक्तिगत परमाणु वाक्यों का समूह के रूप में व्यक्त करने की जरूरत नहीं होती। "क्योंकि व्यवहार में केवल परस्पर आधारित चरों के प्रकार प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार, किसी दिए गए संदर्भ में पाए जाने वाले सबसे निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का प्रकार कहा जा सकता है" (पृष्ठ 161)। किन्तु द्विघात सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि सिद्धांत में विद्यमानता "सब से नीचे तक" अवश्य संभव है।

चूंकि, 1927 के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने द्विघात सिद्धांत पर आत्मसमर्पण कर दिया था और उन्होंने निर्धारित किया था कि उन्हें वास्तव में विभाजित प्रमाणिक फलन को "सब से नीचे तक" उसके आधारभूत प्रस्तावनात्मक वाक्यों तक पहुंचाना होगा, जिसे तार्किक ऑपरेटरों के साथ जोड़ा जाता है:

"सभी प्रस्तावनाएं, चाहे किसी भी आदेश की क्यों न हों, आव्यूह से निर्धारित होती हैं, जिसमें तार्किक ऑपरेटरों के द्वारा जुड़ा गया है" (पीएम 1927 परिशिष्ट a, पृष्ठ 385)

यह "स्ट्रोक" शेफर का स्ट्रोक है - जिसे PM के 2वें संस्करण में अपनाया गया था - एकल द्वितार्किक तार्किक फलन है जिससे सभी अन्य तार्किक फलन को परिभाषित किया जा सकता है।

इसके परिणाम में, रसेल के सिद्धांत का अस्थिर हो जाना था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि "आदेशिकता और कार्डिनलों का सिद्धांत बच जाता है... किन्तु अप्रशासनिक और वास्तविक संख्याएँ सामान्य रूप से ठीक से नहीं निपटा जा सकता है।... शायद कुछ और सिद्धांत, आदेशिकता की तुलना में कम विरोधनीय हो, ऐसा परिणाम दे सकता है, किन्तु हमें ऐसा सिद्धांत खोज में सफलता नहीं मिली है" (पीएम 1927:xiv)

गोडल 1944 सहमत है कि रसेल के लॉजिसिस्ट परियोजना को रोक दिया गया था; उन्हें ऐसा लगता है कि अंकित संख्याएँ भी बच नहीं गईं:

"[दूसरे संस्करण में] द्विघात सिद्धांत को छोड़ दिया गया है, और स्पष्ट रूप से कहा गया है कि सभी प्राथमिक प्रेडिकेट निम्नतम आदेश के होते हैं और उच्च्तम आदेश और प्रकार के चरों (और स्पष्ट रूप से निर्देशकों) का एकमात्र उद्देश्य इसका संभव होता है कि परमाणु वाक्यों के अधिक जटिल सत्य-फलन की घोषणा की जाए" (गोडल 1944 कलेक्टेड वर्क्स: 134)।

चूंकि , गोडेल का प्रमाणित है कि यह प्रक्रिया किसी रूप में अंकगणित की पूर्वाग्रह में प्रेसूम करती है (पृष्ठ 134)। उन्होंने यह भी निष्कर्ष निकाला कि "अलग आदेश के अंक" प्राप्त करते हैं (पृष्ठ 134-135); रसेल 1927 पीएम अपेंडिक्स B में "आदेश 5 से अधिक आदेश के अंक आदेश 5 के अंक के समान होते हैं" का प्रमाण "अभी भी निष्पादक" है और "आदेश विभाजन [कक्षाएं प्लस आदेश] के आधार पर अंकों का सिद्धांत कितना (या कितना हो सकता है) उस समय तक हल नहीं हुआ है। गोडल ने निष्कर्ष निकाला कि इसे मायने नहीं रखेगा क्योंकि प्रस्तावनात्मक फलन के आदेश n (कोई भी n) को संक्षेप में चिन्हों के अनंत संयोजनों के द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए।

गोडेल की आलोचना और सुझाव

गोडल, उनके 1944 के कार्य में, रसेल के तर्कवाद के विफल होने का समिष्ट निर्दिष्ट करते हैं और समस्याओं को ठीक करने के लिए सुझाव प्रस्तुत करते हैं। उन्होंने "निर्दिष्ट करने के लिए ही" , "सम्मिलित होने वाले" और "पूर्वाभिप्रेत" तीन भागों में "विकृति चक्र सिद्धांत" को पुनर्विचार के लिए प्रस्तुत किया है। इसका पहला भाग ही "अव्यावहारिक परिभाषाओं" को असंभव बनाता है और इइसके माध्यम से डीडेकिंड और फ्रेज के द्वारा तर्क से गणित का निर्धारण, और अच्छी प्रकार से गणित को नष्ट कर देता है। चूंकि, उनका तर्क है, गणित अपनी अंतर्निहित अव्यवस्थितताओं पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, "सभी वास्तविक संख्याएं सभी वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित की गई हैं"), इसलिए उन्होंने निर्दिष्ट किया है कि वह जो कुछ भी प्रस्तुत कर रहे हैं, वह "विकृति चक्र सिद्धांत असत्य होने का सबूत है, न कि क्लासिकल गणित असत्य होने का" (सभी उद्धरण गोडल 1944: 127)।

गोडल यह मानते हैं कि रसेल का "नो-क्लास सिद्धांत" समस्या की जड़ है। उन्हें लगता है कि असंभाव्यता "विलक्षण" नहीं है, जैसा कि यह गणित में दिखाई देता है। रसेल की समस्या उनके "निर्माणवादी (या नामवादी)" परिप्रेक्ष्य की ओर से उत्पन्न होती है,[29]तर्क और गणित की विषयों के प्रति दृष्टिकोण, विशेष रूप से प्रस्तावों, वर्गों और धारणाओं के प्रति . . धारणा प्रतीक है. . .जिससे अलग वस्तु सिर्फ साधारण कल्पना लगती है, जो सिर्फ प्रतीक द्वारा निर्देशित किया गया होता है" (पृष्ठ 128)।

वास्तव में, रसेल के "नो क्लास सिद्धांत" पर, गोडल निष्कर्ष निकालते हैं:

"डेटा के बाहर वस्तुओं के अस्तित्व के बारे में मानदंडों को निकालने और इन डेटा पर आधारित निर्माणों के स्थान पर उन्हें बदलने की प्रवृत्ति के कुछ मात्र उदाहरणों में यह विशेष रुचिकर है। "डेटा" को यहां सापेक्षिक अर्थ में समझना होगा; यानी हमारे मामले में तर्क बिना कक्षाओं और धारणाओं के अस्तित्व के मानदंड के साथ। इस स्थितियों में परिणाम मूल रूप से नकारात्मक है; यानी इस तरीके से प्रस्तुत किए गए कक्षाएं और धारणाएं गणित में उनके उपयोग के लिए आवश्यक सभी गुण नहीं रखती हैं... यह सब सिर्फ उस दृष्टिकोण के प्रमाणीकरण से है जिसे ऊपर दिया गया मत द्वारा समर्थित किया गया है कि तर्क और गणित (ठीक वैसे ही जैसे भौतिकी) वास्तविक सामग्री वाले अभिगृहीत परिकल्पना पर निर्माण किये जाते हैं, जो अनजाने में नहीं खोया जा सकता" (पृष्ठ 132)।

वे अपने निबंध को निम्नलिखित सुझावों और अवलोकनों के साथ समाप्त करते हैं:

"किसी ऐसे मौलिक रास्ते का पालन करना चाहिए, जिसमें शब्दों "कक्षा" और "धारणा" के अर्थ को स्पष्ट करने का प्रयास हो, और स्पष्ट रूप से अस्तित्वशास्त्रीय विद्यमानों के रूप में कक्षाओं और धारणाओं के समांतर सिद्धांत स्थापित करने का। यह वह मार्ग है जिसे वास्तविक गणितीय तर्क के वर्तमान विकास ने अपनाया है और जिस पर रसेल खुद भी अपने कार्य के अधिक रचनात्मक भागों में प्रवेश करने को मजबूर हुआ है। इसमें प्रमुख प्रयासें हैं जैसे... साधारण वर्ग थ्योरी... और अभिकल्पित समूह थ्योरी, दोनों ही इतने सफल रहे हैं, कि वे आधुनिक गणित का निर्धारण संभव करते हैं और उसी समय सभी जाने गए पारधर्मिकताओं से बचते हैं... ¶ संभावना है कि यह अधुरी समझ ने ही कारण है कि गणितीय तर्क अब तक रियाज़ और अन्यों की उच्च उम्मीदों से इतने पीछे छूट गया है..." (पृष्ठ 140)।

नव-तर्कवाद

नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।[30] अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें ग्रंडगेसमुच्चय्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कोई बुनियादी विधि वी (भोले समुच्चय सिद्धांत में अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है जिससे ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल F और G के बीच कोई आपत्ति है।'[31] इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अधिकांशतः नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.[32] नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में क्रिस्पिन राइट और बॉब हेल (दार्शनिक) सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,भी कहा जाता है। [33] जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।[34]

नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में बर्नार्ड लिंस्की और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा सम्मलित हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, अमूर्त संरचनावाद या मॉडल नव-तर्कवाद, जो स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा के रूप का समर्थन करते हैं।[34][32] मॉडल तर्कवाद द्वितीय क्रम के मोडल ऑब्जेक्ट सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है।[35][36]

अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाव दिया गया है। ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ में इस प्रकार के संशोधन में, क्विन के नई नींव और संबंधित प्रणालियों के तरीके में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर बीएलवी बरकरार रहता है। मूलतः सभी ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में रोनाल्ड जेन्सेन के एनएफयू + रोसेर के काउंटिंग के सिद्धांत के समान स्थिरता शक्ति है।[37]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Logicism. Archived 2008-02-20 at the Wayback Machine.
  2. ↑ Zalta, Edward N. (ed.). "Principia Mathematica". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  3. ↑ "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"
  4. ↑ Gabbay, Dov M. (2009). तर्क और गणित की नींव में अध्ययन (Volume 153 ed.). Amsterdam: Elsevier, inc. pp. 59–90. ISBN 978-0-444-52012-8. Retrieved 1 September 2019.
  5. ↑ Reck, Erich (1997), Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle (PDF), S2CID 31255155, archived from the original (PDF) on 2018-08-24
  6. ↑ The exact quote from Russell 1919 is the following: "It is time now to turn to the considerations which make it necessary to advance beyond the standpoint of Peano, who represents the last perfection of the "arithmetisation" of mathematics, to that of Frege, who first succeeded in "logicising" mathematics, i.e. in reducing to logic the arithmetical notions which his predecessors had shown to be sufficient for mathematics." (Russell 1919/2005:17).
  7. ↑ For example, von Neumann 1925 would cite Kronecker as follows: "The denumerable infinite . . . is nothing more the general notion of the positive integer, on which mathematics rests and of which even Kronecker and Brouwer admit that it was "created by God"" (von Neumann 1925 An axiomatization of set theory in van Heijenoort 1967:413).
  8. ↑ Hilbert 1904 On the foundations of logic and arithmetic in van Heijenoort 1967:130.
  9. ↑ Pages 474–5 in Hilbert 1927, The Foundations of Mathematics in: van Heijenoort 1967:475.
  10. ↑ Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:ix)
  11. ↑ Cf. Russell 1912:74.
  12. ↑ "It must be admitted . . . that logical principles are known to us, and cannot be themselves proved by experience, since all proof presupposes them. In this, therefore . . . the rationalists were in the right" (Russell 1912:74).
  13. ↑ "Nothing can be known to exist except by the help of experience" (Russell 1912:74).
  14. ↑ He drives the point home (pages 67-68) where he defines four conditions that determine what we call "the numbers" (cf. (71)). Definition, page 67: the successor set N' is a part of the collection N, there is a starting-point "1o" [base number of the number-series N], this "1" is not contained in any successor, for any n in the collection there exists a transformation φ(n) to a unique (distinguishable) n (cf. (26). Definition)). He observes that by establishing these conditions "we entirely neglect the special character of the elements; simply retaining their distinguishability and taking into account only the relation to one another . . . by the order-setting transformation φ. . . . With reference to this freeing the elements from every other content (abstraction) we are justified in calling numbers a free creation of the human mind." (p. 68)
  15. ↑ In his 1903 and in PM Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or modus ponens), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.
  16. ↑ Cf. The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory 1930:1931 in Mancosu, p. 242.
  17. ↑ To be precise both childname = variable x and family name Fn are variables. Childname's domain is "all childnames", and family name Fn has a domain consisting of the 12 families on the street.
  18. ↑ "If the predicates are partitioned into classes with respect to equinumerosity in such a way that all predicates of a class are equinumerous to one another and predicates of different classes are not equinumerous, then each such class represents the Number, which applies to the predicates that belong to it" (Bernays 1930-1 in Mancosu 1998:240.
  19. ↑ 19.0 19.1 Cf. sections 487ff (pages 513ff in the Appendix A).
  20. ↑ 1909 Appendix A
  21. ↑ Russell deemed Wiener "the infant phenomenon . . . more infant than phenomenon"; see Russell's confrontation with Wiener in Grattan-Guinness 2000:419ff.
  22. ↑ See van Heijenoort's commentary and Norbert Wiener's 1914 A simplification of the logic of relations in van Heijenoort 1967:224ff.
  23. ↑ Zermelo 1908 in van Heijenoort 1967:190. See the discussion of this very quotation in Mancosu 1998:68.
  24. ↑ This same definition appears also in Kleene 1952:42.
  25. ↑ One source for more detail is Fairouz Kamareddine, Twan Laan and Rob Nderpelt, 2004, A Modern Perspective on Type Theory, From its Origins Until Today, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, ISBN. They give a demonstration of how to create the paradox (pages 1–2), as follows: Define an aggregate/class/set y this way: ∃y∀x[x ε y ↔ Φ(x)]. (This says: There exists a class y such that for ANY input x, x is an element of set y if and only if x satisfies the given function Φ.) Note that (i) input x is unrestricted as to the "type" of thing that it can be (it can be a thing, or a class), and (ii) function Φ is unrestricted as well. Pick the following tricky function Φ(x) = ¬(x ε x). (This says: Φ(x) is satisfied when x is NOT an element of x)). Because y (a class) is also "unrestricted" we can plug "y" in as input: ∃y[y ε y ↔ ¬(y ε y)]. This says that "there exists a class y that is an element of itself only if it is NOT and element of itself. That is the paradox.
  26. ↑ Russell's letter to Frege announcing the "discovery", and Frege's letter back to Russell in sad response, together with commentary, can be found in van Heijenoort 1967:124-128. Zermelo in his 1908 claimed priority to the discovery; cf. footnote 9 on page 191 in van Heijenoort.
  27. ↑ van Heijenoort 1967:3 and pages 124-128
  28. ↑ "The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, predicative function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡z .ψ!z." (PM 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡z indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.
  29. ↑ Perry observes that Plato and Russell are "enthusiastic" about "universals", then in the next sentence writes: " 'Nominalists' think that all that particulars really have in common are the words we apply to them" (Perry in his 1997 Introduction to Russell 1912:xi). Perry adds that while your sweatshirt and mine are different objects generalized by the word "sweatshirt", you have a relation to yours and I have a relation to mine. And Russell "treated relations on par with other universals" (p. xii). But Gödel is saying that Russell's "no-class" theory denies the numbers the status of "universals".
  30. ↑ Bernard Linsky and Edward N. Zalta, "What is Neologicism?", The Bulletin of Symbolic Logic, 12(1) (2006): 60–99.
  31. ↑ PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism Archived 2011-07-17 at the Wayback Machine.
  32. ↑ 32.0 32.1 Zalta, Edward N. (ed.). "Logicism and Neologicism". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  33. ↑ Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", European Journal of Philosophy 10(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".
  34. ↑ 34.0 34.1 st-andrews.ac.uk. Archived 2006-12-24 at the Wayback Machine.
  35. ↑ Edward N. Zalta, "Natural Numbers and Natural Cardinals as Abstract Objects: A Partial Reconstruction of Frege's Grundgesetze in Object Theory", Journal of Philosophical Logic, 28(6) (1999): 619–660.
  36. ↑ Edward N. Zalta, "Neo-Logicism? An Ontological Reduction of Mathematics to Metaphysics", Erkenntnis, 53(1–2) (2000), 219–265.
  37. ↑ M. Randall Holmes, "Repairing Frege’s Logic", August 5, 2018.

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

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