View source for एकरमैन सेट सिद्धांत

{{Short description|Axiomatic set theory proposed by Wilhelm Ackermann}}
{{About|समुच्चयों का गणितीय सिद्धांत||
एकरमैन (बहुविकल्पी)}}
गणित और [[तर्क|तर्कशास्त्र]] में, एकरमैन समुच्चय सिद्धांत (एएसटी) 1956 में [[विल्हेम एकरमैन|विल्हेम रमैन]] द्वारा प्रस्तावित  स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत है।<ref>{{cite journal |last1=Ackermann |first1=Wilhelm |author-link=Wilhelm Ackermann |date=August 1956 |title=समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01350103 |journal=Mathematische Annalen |volume=131 |issue=4 |pages=336–345 |doi=10.1007/BF01350103 |s2cid=120876778 |access-date=9 September 2022}}</ref>

== भाषा ==
एएसटी [[प्रथम-क्रम तर्क]] में प्रस्तुत किया गया है। [[औपचारिक भाषा]] <math>L_{\{\in,V\}}</math> एएसटी में  [[द्विआधारी संबंध]] होता है <math>\in</math>/समुच्चय सदस्यता और  स्थिरांक को को दर्शाने में (गणित) <math>V</math> सभी समुच्चयो के वर्ग को दर्शाता है (एकरमैन ने विधेय का उपयोग किया, इसके अतिरिक्त <math>M</math> )।

== अभिगृहीत==
एएसटी के अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kanamori |first1=Akihiro |author-link=Akihiro Kanamori |date=July 2006 |title=लेवी और सेट सिद्धांत|journal=Annals of Pure and Applied Logic |volume=140 |issue=1 |pages=233–252 |doi=10.1016/j.apal.2005.09.009 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite web |url=https://plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/#AckeSetTheo |title=वैकल्पिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|last=Holmes |first=M. Randall |date=Sep 21, 2021 |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |access-date=8 September 2022}}</ref><ref name="Fraenkel">{{cite book |last1=Fraenkel |first1=Abraham A. |author-link1=Abraham Fraenkel |last2=Bar-Hillel |first2=Yehoshua |author-link2=Yehoshua Bar-Hillel |last3=Levy |first3=Azriel |author-link3=Azriel Levy |date=December 1, 1973 |title=सेट थ्योरी की नींव|url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/67/ |isbn=9780080887050 |series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |volume=67 |chapter=7.7. The System of Ackermann |pages=148–153}}</ref>
#विस्तारता का सिद्धांत
#[[आनुवंशिकता का सिद्धांत]]: <math>(x \in y \lor x \subseteq y) \land y \in V \to x \in V</math>
#[[समझ का सिद्धांत]] <math>V</math>: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> कहाँ <math>x</math> [[मुक्त चर]] नहीं है, <math>\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \in V \land \phi)</math>
# रमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n, x</math> और कोई घटना नहीं <math>V</math>, <math>a_1, \ldots, a_n \in V \land \forall x (\phi \to x \in V) \to \exists y {\in} V \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)</math>
वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:<ref>{{cite book |last=Schindler |first=Ralf |date=23 May 2014 |title=Set Theory: Exploring Independence and Truth |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-06725-4_2 |publisher=Springer, Cham |pages=20–21 |isbn=978-3-319-06724-7 |chapter=Chapter 2: Axiomatic Set Theory|doi=10.1007/978-3-319-06725-4_2 }}</ref>
#विस्तारता
# वंशागति
# समझ
#[[प्रतिबिंब सिद्धांत]]: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n</math>, <math>a_1, \ldots, a_n {\in} V \to (\phi \leftrightarrow \phi^V)</math>
# [[नियमितता का सिद्धांत]]

<math>\phi^V</math> के सापेक्षीकरण को दर्शाता है <math>\phi</math> को <math>V</math>, जो सभी [[परिमाणक (तर्क)]]तर्क) को प्रतिस्थापित करता है <math>\phi</math> रूप का <math>\forall x</math> और <math>\exists x</math> द्वारा <math>\forall x {\in} V</math> और <math>\exists x {\in} V</math>, क्रमश।

==जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत से संबंध==
होने देना <math>L_{\{\in\}}</math> उन सूत्रों की भाषा बनें जिनका उल्लेख नहीं है <math>V</math>.

1959 में, [[अज्रिएल लेवी]] ने यह साबित कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का  सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत साबित होता है <math>\phi</math>.<ref>{{cite journal |last1=Lévy |first1=Azriel |author-link=Azriel Lévy |date=June 1959 |title=एकरमैन के सेट सिद्धांत पर|url=https://www.jstor.org/stable/2964757 |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=24 |issue=2 |pages=154–166 |doi=10.2307/2964757 |jstor=2964757 |s2cid=31382168 |access-date=9 September 2022}}</ref>
1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का  सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और ZF साबित करता है <math>\phi</math>, तो एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>.<ref>{{cite journal |last1=Reinhardt |first1=William N. |date=October 1970 |title=एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है|journal=Annals of Mathematical Logic |volume=2 |issue=2 |pages=189–249 |doi=10.1016/0003-4843(70)90011-2 |doi-access=free }}</ref>
इसलिए, एएसटी और जेडएफ  दूसरे के [[रूढ़िवादी विस्तार]] में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे [[समसंगत]] हैं।

एएसटी की  उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत,  [[उचित वर्ग]] दूसरे उचित वर्ग का  तत्व हो सकता है।<ref name="Fraenkel"/>

== एएसटी और [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
एएसटी का  विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन समुच्चय-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Muller |first1=F. A. |date=Sep 2001 |title=सेट, वर्ग और श्रेणियाँ|url=https://www.jstor.org/stable/3541928 |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=52 |issue=3 |pages=539–573 |doi=10.1093/bjps/52.3.539 |jstor=3541928 |access-date=9 September 2022}}</ref>

== यह भी देखें ==
* [[गणित की नींव]]
* [[ज़र्मेलो सेट सिद्धांत|ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत]]
*[[वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत]]

==संदर्भ==
{{Reflist}}
[[Category: सेट सिद्धांत की प्रणाली]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 21/07/2023]]