एकरमैन सेट सिद्धांत

This article is about समुच्चयों का गणितीय सिद्धांत. For other uses, see एकरमैन (बहुविकल्पी).

गणित एवं तर्कशास्त्र में, एकरमैन समुच्चय सिद्धांत (एएसटी) 1956 में विल्हेम एकरमैन द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत है।

भाषा

एएसटी प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तुत किया गया है। औपचारिक भाषा $L_{\{\in ,V\}}$ एएसटी में द्विआधारी संबंध होता है $\in$/समुच्चय सदस्यता एवं स्थिरांक को दर्शाने में $V$ सभी समुच्चयो के वर्ग को दर्शाता है (एकरमैन ने विधेय का उपयोग किया, इसके अतिरिक्त $M$)।

सिद्धांत

एएसटी के सिद्धांत निम्नलिखित हैं:

1. विस्तारात्मकता का सिद्धांत
2. आनुवंशिकता का सिद्धांत: $(x\in y\lor x\subseteq y)\land y\in V\to x\in V$
3. बुद्धि का सिद्धांत $V$: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ जहाँ $x$ मुक्त चर नहीं है, $\exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow y\in V\land \phi )$
4. एकरमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ निःशुल्क चर के साथ $a_{1},\ldots ,a_{n},x$ एवं कोई घटना $V$ नहीं है, $a_{1},\ldots ,a_{n}\in V\land \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists y{\in }V\forall x(x\in y\leftrightarrow \phi )$

वैकल्पिक अक्षीयकरण निम्नलिखित सिद्धांत का उपयोग करता है:

1. विस्तारात्मकता का सिद्धांत
2. आनुवंशिकता का सिद्धांत
3. बोध का सिद्धांत
4. प्रतिबिंब सिद्धांत: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ निःशुल्क चर के साथ $a_{1},\ldots ,a_{n}$, $a_{1},\ldots ,a_{n}{\in }V\to (\phi \leftrightarrow \phi ^{V})$ होता है।
5. नियमितता का सिद्धांत

$\phi ^{V}$ के सापेक्षीकरण को दर्शाता है $\phi$ को $V$, जो सभी क्वांटिफायर को प्रतिस्थापित करता है, $\phi$ रूप का $\forall x$ एवं $\exists x$ द्वारा उपस्थित है $\forall x{\in }V$ एवं $\exists x{\in }V$, क्रमशः उपस्थित है।

जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत से संबंध

मान लीजिये $L_{\{\in \}}$ उन सूत्रों की भाषा बनाता है, जिनका उल्लेख $V$ नहीं है।

1959 में, एज़्रिएल लेवी ने यह प्रमाणित कर दिया कि यदि $\phi$ का सूत्र $L_{\{\in \}}$ है एवं एएसटी $\phi ^{V}$ सिद्ध होता है, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत $\phi$ प्रमाणित होता है।

1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि $\phi$ का सूत्र $L_{\{\in \}}$ है एवं ज़र्मेलो-फ्रेंकेल $\phi$ प्रमाणित करता है, तो एएसटी $\phi ^{V}$ सिद्ध होता है।

इसलिए, एएसटी एवं जेडएफ एक दूसरे के रूढ़िवादी विस्तार में परस्पर व्याख्या योग्य हैं। इस प्रकार वे समसंगत हैं।

एएसटी की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, एनबीजी एवं इसके वेरिएंट के विपरीत, उचित वर्ग किसी अन्य उचित वर्ग का तत्व हो सकता है।

एएसटी एवं श्रेणी सिद्धांत

एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ ए मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन समुच्चय-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत भी पाता है एवं इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित हो सकता है।

यह भी देखें

• गणित का आधार
• ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत
• वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत