View source for सजातीय निर्देशांक

{{Short description|Coordinate system used in projective geometry}}
[[File:RationalBezier2D.svg|thumb|upright=1.15|परिमेय बेज़ियर वक्र - समरूप निर्देशांक (नीला) में परिभाषित बहुपद वक्र और समतल पर इसका प्रक्षेपण - परिमेय वक्र (लाल)]]गणित में, सजातीय निर्देशांक या प्रक्षेपी निर्देशांक, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा अपने 1827 के काम में पेश किए गए {{lang|de|डेर बैरीसेंट्रिशे कैलकुलेशन}},<ref>August Ferdinand Möbius: ''Der barycentrische Calcul'', Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig, 1827.</ref><ref>{{MacTutor|class=Biographies|id=Mobius|title=August Ferdinand Möbius}}</ref><ref>
{{cite book |title=History of Modern Mathematics|first=David Eugene|last=Smith
|publisher=J. Wiley & Sons|year=1906|page=[https://archive.org/details/historymodernma00smitgoog/page/n58 53]
|url=https://archive.org/details/historymodernma00smitgoog}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में उपयोग किए जाने वाले निर्देशांक की एक प्रणाली है, जैसे [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में कार्तीय समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। उनके पास लाभ है कि बिंदुओं के निर्देशांक, अनंत पर बिंदुओं सहित, परिमित निर्देशांक का उपयोग करके प्रदर्शित किए जा सकते हैं। सजातीय निर्देशांक वाले सूत्र अधिकांशतः उनके कार्तीय समकक्षों की तुलना में सरल और अधिक सममित होते हैं। सजातीय निर्देशांक में कई प्रकार के अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें [[कंप्यूटर ग्राफिक्स|संगणक आरेखी]]  और 3 डी [[कंप्यूटर दृष्टी|संगणक दृष्टी]] सम्मलित हैं, जहां वे [[Index.php?title=एफाइन परिवर्तन|एफाइन परिवर्तन]] की अनुमति देते हैं और सामान्य रूप से, [[परिवर्तन मैट्रिक्स]] द्वारा [[प्रक्षेपण परिवर्तन]] को आसानी से दर्शाया जा सकता है।

यदि किसी बिंदु के समांगी निर्देशांकों को एक अशून्य [[अदिश (गणित)]] से गुणा किया जाता है तो परिणामी निर्देशांक उसी बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं। चूँकि सजातीय निर्देशांक भी अनंत बिंदुओं पर दिए गए हैं, इस विस्तार की अनुमति देने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या प्रक्षेप्य स्थान के आयाम से एक अधिक है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेपीय  रेखा पर एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए दो समरूप निर्देशांक आवश्यक हैं और [[प्रक्षेपण स्थान]] में एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए तीन समरूप निर्देशांक आवश्यक हैं।
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This to too mathy for the lead section, try to merge with later section:
Therefore this system of coordinates can be explained as follows: if the projective space is constructed from a vector space ''V'' of dimension ''n''&nbsp;+&nbsp;1, introduce coordinates in ''V'' by choosing a basis, and use these in ''P''(''V''), the equivalence classes of proportional non-zero vectors in ''V''. -->


== परिचय ==
प्रक्षेपी विमान विस्तारित यूक्लिडियन विमान को अतिरिक्त बिंदुओं के साथ यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में माना जा सकता है, जिसे [[अनंत पर बिंदु]] कहा जाता है, और इसे एक नई रेखा,[[अनंत पर रेखा]] माना जाता है। प्रत्येक दिशा के अनुरूप अनंत पर एक बिंदु होता है (संख्यात्मक रूप से एक रेखा के ढलान द्वारा दिया जाता है), अनौपचारिक रूप से उस बिंदु की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस दिशा में मूल से दूर जाता है। कहा जाता है कि यूक्लिडियन तल में समानांतर रेखाएँ अपनी सामान्य दिशा के अनुरूप अनंत पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक बिंदु दिया {{nowrap|(''x'', ''y'')}} यूक्लिडियन तल पर, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या Z के लिए, त्रिपक्षीय  {{nowrap|(''xZ'', ''yZ'', ''Z'')}} बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांक का एक समूह कहा जाता है। इस परिभाषा के अनुसार, तीन सजातीय निर्देशांकों को एक सामान्य, गैर-शून्य कारक से गुणा करने पर एक ही बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांकों का एक नया समूह मिलता है। विशेष रूप से, {{nowrap|(''x'', ''y'', 1)}} बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांक की ऐसी प्रणाली है {{nowrap|(''x'', ''y'')}}.
उदाहरण के लिए, कार्तीय बिंदु {{nowrap|(1, 2)}} सजातीय निर्देशांक में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है {{nowrap|(1, 2, 1)}} या {{nowrap|(2, 4, 2)}}. मूल कार्तीय निर्देशांक पहले दो पदों को तीसरे से विभाजित करके पुनर्प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार कार्तीय निर्देशांकों के विपरीत, एक बिंदु को अपरिमित रूप से कई सजातीय निर्देशांकों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण {{nowrap|(0, 0)}} लिखा जा सकता है {{nowrap|1=''nx'' + ''my'' = 0}} जहाँ n और m दोनों 0 नहीं हैं। प्राचलिक [[पैरामीट्रिक समीकरण|समीकरण]] के रूप में इसे लिखा जा सकता है {{nowrap|1 = ''x'' = ''mt'', ''y'' = −''nt''}}. मान लीजिए Z = 1/t, इसलिए रेखा पर एक बिंदु के निर्देशांक लिखे जा सकते हैं {{nowrap|1=(''m''/''Z'',  −''n''/''Z'') }}. सजातीय निर्देशांक में यह बन जाता है {{nowrap|(''m'',  −''n'', ''Z'')}}. सीमा में, जैसे ही टी अनंत तक पहुंचता है, दूसरे शब्दों में, जैसे ही बिंदु उत्पत्ति से दूर जाता है, Z 0 तक पहुंचता है और बिंदु के सजातीय निर्देशांक बन जाते हैं {{nowrap|(''m'', −''n'', 0)}}. इस प्रकार हम परिभाषित करते हैं {{nowrap|(''m'', −''n'', 0)}} रेखा की दिशा के अनुरूप अनंत पर बिंदु के सजातीय निर्देशांक के रूप में {{nowrap|1=''nx'' + ''my'' = 0}}. जैसा कि यूक्लिडियन विमान की कोई भी रेखा मूल से गुजरने वाली रेखा के समानांतर होती है, और चूंकि समानांतर रेखाओं का अनंत पर एक ही बिंदु होता है, यूक्लिडियन विमान की प्रत्येक रेखा पर अनंत बिंदु को सजातीय निर्देशांक दिया गया है।

संक्षेप में:
* प्रक्षेपी विमान में कोई भी बिंदु त्रिपक्षीय द्वारा दर्शाया जाता है {{nowrap|(''X'', ''Y'', ''Z'')}}, सजातीय निर्देशांक या उस बिंदु के प्रक्षेपी निर्देशांक कहलाते हैं, जहाँ ''X'', ''Y'' और ''Z'' सभी 0 नहीं हैं।
*समान निर्देशांक के दिए गए समूह द्वारा दर्शाया गया बिंदु अपरिवर्तित रहता है यदि निर्देशांक को एक सामान्य कारक से गुणा किया जाता है।
*इसके विपरीत, सजातीय निर्देशांक के दो समूह एक ही बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि और केवल यदि सभी निर्देशांक को एक ही गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
*जब ''Z'' 0 नहीं होता है तो दर्शाया गया बिंदु होता है {{nowrap|(''X/Z'', ''Y/Z'')}} यूक्लिडियन विमान में।
*जब Z 0 होता है तो दर्शाया गया बिंदु अनंत पर एक बिंदु होता है।
त्रिपक्षीय {{nowrap|(0, 0, 0)}} छोड़ा गया है और किसी बिंदु का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। यूक्लिडियन विमान की [[उत्पत्ति (गणित)]] द्वारा दर्शाया गया है {{nowrap|(0, 0, 1)}}.<ref>For the section: {{harvnb|Jones|1912| pages= 120&ndash;122}}</ref>


=== अंकन ===
कुछ लेखक सजातीय निर्देशांक के लिए भिन्न-भिन्न अंकन का उपयोग करते हैं जो उन्हें कार्तीय निर्देशांक से पृथक करने में मदद करते हैं। कॉमा के अतिरिक्त कोलन का उपयोग, उदाहरण के लिए (x:y:z) के अतिरिक्त {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}}, जोर देता है कि निर्देशांकों को अनुपात माना जाना है।<ref>{{harvnb|Woods|1922}}</ref> वर्गाकार कोष्ठक, जैसा कि है {{nowrap|[''x'', ''y'', ''z'']}} जोर दें कि निर्देशांक के कई समूह एक बिंदु से जुड़े होते हैं।<ref>{{harvnb|Garner|1981}}</ref> कुछ लेखक कोलन और स्क्वायर ब्रैकेट के संयोजन का उपयोग करते हैं, जैसा कि [x:y:z] में है।<ref>{{harvnb|Miranda|1995}}</ref>


== अन्य आयाम ==
पूर्ववर्ती अनुभाग में की गई चर्चा समान रूप से समतल के अतिरिक्त अन्य प्रक्षेपी स्थानों पर लागू होती है। अतः प्रक्षेपी रेखा पर बिंदुओं को निर्देशांक के जोड़े द्वारा दर्शाया जा सकता है {{nowrap|(''x'', ''y'')}}, दोनों शून्य नहीं। इस स्थिति में, बिंदु अनंत पर है {{nowrap|(1, 0)}}. इसी प्रकार प्रक्षेपीय एन-स्पेस में अंक (एन + 1) -ट्यूपल्स द्वारा दर्शाए जाते हैं।<ref>{{harvnb|Bôcher|1907|pp= 13&ndash;14}}</ref>


== अन्य प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान ==
[[वास्तविक संख्या]]ओं का उपयोग वास्तविक प्रक्षेपीय रिक्त स्थान के शास्त्रीय मामले में बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक देता है, चूंकि किसी भी [[क्षेत्र (गणित)]] का उपयोग किया जा सकता है, विशेष रूप से, [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] के लिए [[जटिल संख्या]]ओं का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जटिल प्रक्षेपी रेखा दो सजातीय जटिल निर्देशांकों का उपयोग करती है और इसे [[रीमैन क्षेत्र]] के रूप में जाना जाता है। [[परिमित क्षेत्र]] सहित अन्य क्षेत्रों का उपयोग किया जा सकता है।

प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के लिए सजातीय निर्देशांक भी एक [[विभाजन की अंगूठी]] (एक तिरछा क्षेत्र) से तत्वों के साथ बनाया जा सकता है। चूंकि, इस मामले में, इस तथ्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुणन क्रम विनिमेय गुण नहीं हो सकता है।<ref>{{harvnb|Garner|1981|pp=32&ndash;33}}</ref>
सामान्य वलय (गणित) A के लिए, एक वलय के ऊपर एक प्रक्षेपी रेखा को बाईं ओर कार्य करने वाले सजातीय कारकों और दाईं ओर कार्य करने वाले [[प्रक्षेपी रैखिक समूह]] के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

== वैकल्पिक परिभाषा ==
[[तुल्यता वर्ग]] के संदर्भ में वास्तविक प्रक्षेपी विमान की एक और परिभाषा दी जा सकती है। आर के गैर-शून्य तत्वों के लिए<sup>3</sup>, परिभाषित करें {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) ~ (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>)}} इसका तात्पर्य  यह है कि एक गैर-शून्य λ है  जिससे  {{nowrap|1=(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) = (''λx''<sub>2</sub>, ''λy''<sub>2</sub>, ''λz''<sub>2</sub>)}}. तब ~ एक [[तुल्यता संबंध]] है और प्रक्षेपी तल को तुल्यता वर्गों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{nowrap|'''R'''<sup>3</sup> ∖ {0}.}} यदि {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} समतुल्य वर्ग पी के तत्वों में से एक है तो इन्हें पी के सजातीय निर्देशांक के रूप में लिया जाता है।

इस स्थान में रेखाओं को प्रपत्र के समीकरणों के समाधान के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 0}} जहाँ सभी a, b और c शून्य नहीं हैं। स्थिति की संतुष्टि {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 0}} के तुल्यता वर्ग पर ही निर्भर करता है {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z''),}} इसलिए समीकरण प्रक्षेपी तल में बिंदुओं के एक समूह को परिभाषित करता है। मानचित्रण {{nowrap|(''x'', ''y'') → (''x'', ''y'', 1)}} यूक्लिडियन विमान से प्रक्षेपी विमान में सम्मलित होने को परिभाषित करता है और छवि का पूरक बिंदुओं का समूह है {{nowrap|1=''z'' = 0}}. समीकरण {{nowrap|1=''z'' = 0}} प्रक्षेपी तल में एक रेखा का समीकरण है (सजातीय निर्देशांक # रेखा निर्देशांक और द्वैत), और इसे अनंत पर रेखा कहा जाता है।

तुल्यता वर्ग, p, मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखाएँ हैं जिनमें मूल को हटा दिया गया है। मूल वास्तव में पिछली चर्चा में एक आवश्यक भूमिका नहीं निभाता है, इसलिए इसे प्रक्षेपी विमान के गुणों को बदले बिना वापस जोड़ा जा सकता है। यह परिभाषा में भिन्नता पैदा करता है, अर्थात् प्रक्षेपी विमान को 'आर' में रेखाों के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है।<sup>3</sup> जो गैर-शून्य तत्व के मूल और निर्देशांक से गुजरता है {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक रेखा के सजातीय निर्देशांक होने के लिए लिया जाता है। इन रेखाओं की व्याख्या अब प्रक्षेपी तल में बिंदुओं के रूप में की जाती है।

पुनः, यह चर्चा समान रूप से अन्य आयामों पर भी लागू होती है। तो आयाम n के प्रक्षेप्य स्थान को 'आर' में मूल के माध्यम से रेखाओ के समूह  के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<sup>एन+1</sup>.<ref>For the section: {{harvnb|Cox|Little|O'Shea|2007|pp=360&ndash;362}}</ref>


== एकरूपता ==
सजातीय निर्देशांक विशिष्ट रूप से एक बिंदु द्वारा निर्धारित नहीं होते हैं, इसलिए निर्देशांक पर परिभाषित एक फ़ंक्शन, कहते हैं {{nowrap|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}}, कार्तीय निर्देशांक के साथ बिंदुओं पर परिभाषित फ़ंक्शन निर्धारित नहीं करता है। लेकिन एक शर्त {{nowrap|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} निर्देशांक पर परिभाषित, जैसा कि एक वक्र का वर्णन करने के लिए उपयोग  किया जा सकता है, बिंदुओं पर एक शर्त निर्धारित करता है यदि फ़ंक्शन सजातीय फ़ंक्शन है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि एक k ऐसा है

<math display="block">f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^k f(x,y,z).</math>
यदि निर्देशांक का एक समूह उसी बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जैसे {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} तो इसे लिखा जा सकता है {{nowrap|(λ''x'', λ''y'', λ''z'')}} λ के कुछ गैर-शून्य मान के लिए। फिर

<math display="block"> f(x,y,z)=0 \iff f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^k f(x,y,z)=0.</math>
एक [[बहुपद]] {{nowrap|''g''(''x'', ''y'')}} x को x/z, y को y/z से बदलकर और z से गुणा करके डिग्री k को एक [[सजातीय बहुपद]] में बदला जा सकता है<sup>k</sup>, दूसरे शब्दों में परिभाषित करके

<math display="block">f(x, y, z)=z^k g(x/z, y/z).</math>
परिणामी फलन f एक बहुपद है, इसलिए इसके प्रांत को त्रिगुणों तक विस्तारित करना समझ में आता है {{nowrap|1=''z'' = 0}}. प्रक्रिया को ठीक करके उलटा किया जा सकता है {{nowrap|1=''z'' = 1}}, या

<math display="block">g(x, y)=f(x, y, 1).</math>
समीकरण {{nowrap|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} के सजातीय रूप के रूप में सोचा जा सकता है {{nowrap|1=''g''(''x'', ''y'') = 0}} और यूक्लिडियन तल तक सीमित होने पर यह उसी वक्र को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, रेखा के समीकरण का सजातीय रूप {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}} है {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 0.}}<ref>For the section: {{harvnb|Miranda|1995|p= 14}} and {{harvnb|Jones|1912|p= 120}}</ref>


== रेखा निर्देशांक और द्वैत ==
{{Main|Duality (projective geometry)}}
प्रक्षेपी तल में एक रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया जा सकता है {{nowrap|1=''sx'' + ''ty'' + ''uz'' = 0}} जहाँ s, t और u स्थिरांक हैं। प्रत्येक त्रिपक्षीय {{nowrap|(''s'', ''t'', ''u'')}} एक रेखा निर्धारित करता है, निर्धारित रेखा अपरिवर्तित होती है यदि इसे गैर-शून्य अदिश से गुणा किया जाता है, और कम से कम s, t और u में से एक गैर-शून्य होना चाहिए। तो त्रिपक्षीय {{nowrap|(''s'', ''t'', ''u'')}} प्रक्षेपी तल में एक रेखा के सजातीय निर्देशांक के रूप में लिया जा सकता है, जो बिंदु निर्देशांक के विपरीत [[रेखा निर्देशांक]] है। यदि sx + ty + uz = 0 अक्षर s, t और u को चर के रूप में लिया जाता है और x, y और z को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है तो समीकरण समतल में सभी रेखाओं के स्थान में रेखाओं के एक समूह  का समीकरण बन जाता है . ज्यामितीय रूप से यह उन रेखाओं के समूह का प्रतिनिधित्व करता है जो बिंदु से गुजरती हैं {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} और रेखा-निर्देशांक में बिंदु के समीकरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है। उसी तरह, 3-स्पेस में विमानों को चार सजातीय निर्देशांकों के समूह दिए जा सकते हैं, और इसी तरह उच्च आयामों के लिए।<ref>{{harvnb|Bôcher|1907|pp= 107&ndash;108}} (adapted to the plane according to the footnote on p. 108)</ref>
समान संबंध, sx + ty + uz = 0, को या तो एक रेखा का समीकरण या एक बिंदु का समीकरण माना जा सकता है। सामान्य तौर पर, बिंदुओं और रेखाओं के सजातीय निर्देशांक के बीच या तो बीजगणितीय या तार्किक रूप से कोई अंतर नहीं होता है। तो समतल ज्यामिति बिंदुओं के साथ मूलभूत तत्वों के रूप में और समतल ज्यामिति रेखाओं के साथ मूलभूत तत्वों के रूप में व्याख्या को छोड़कर समतुल्य हैं। यह प्रक्षेपी ज्यामिति में द्वैत की अवधारणा की ओर जाता है, यह सिद्धांत कि बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं को प्रक्षेप्य ज्यामिति में एक प्रमेय में बदला जा सकता है और परिणाम भी एक प्रमेय होगा। अनुरूप रूप से, प्रक्षेपी 3-अंतरिक्ष में बिंदुओं का सिद्धांत प्रक्षेपी 3-अंतरिक्ष में विमानों के सिद्धांत के लिए दोहरी है, और इसी तरह उच्च आयामों के लिए।<ref>{{harvnb|Woods|1922|pp= 2, 40}}</ref>


== प्लकर निर्देशांक ==
{{Main|Plücker coordinates}}
प्रक्षेपीय 3-स्पेस में रेखाों को निर्देशांक निर्दिष्ट करना अधिक जटिल है क्योंकि ऐसा लगता है कि कुल 8 निर्देशांक, या तो दो बिंदुओं के निर्देशांक जो रेखा पर स्थित हैं या दो विमानों का चौराहे रेखा है, आवश्यक हैं। जूलियस प्लकर के कारण एक उपयोगी विधि निर्धारक के रूप में छह निर्देशांकों का एक समूह बनाती है {{nowrap|1=''x''<sub>''i''</sub>''y''<sub>''j''</sub> − ''x''<sub>''j''</sub>''y''<sub>''i''</sub> (1 ≤ ''i'' < ''j'' ≤ 4)}} दो बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक से {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>)}} तथा {{nowrap|(''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''y''<sub>3</sub>, ''y''<sub>4</sub>)}} रेखा पर। प्लकर एम्बेडिंग इसका सामान्यीकरण है, जो आयाम n के प्रक्षेप्य स्थान में किसी भी आयाम m के तत्वों के सजातीय निर्देशांक बनाता है।<ref>{{harvnb|Wilczynski|1906|p=50}}</ref><ref>{{harvnb|Bôcher|1907|p= 110}}</ref>


== बेज़ाउट के प्रमेय के लिए आवेदन ==
बेज़ाउट की प्रमेय भविष्यवाणी करती है कि दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या उनकी डिग्री के गुणनफल के बराबर होती है (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को मानते हुए और प्रतिच्छेदन गुणकों की गिनती के लिए कुछ विशिष्ट परंपराओं के साथ)। बेज़ाउट की प्रमेय भविष्यवाणी करती है कि दो रेखाओं का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है और सामान्य तौर पर यह सत्य है, लेकिन जब रेखाएँ समानांतर होती हैं तो प्रतिच्छेदन बिंदु अनंत होता है। इस मामले में चौराहे के बिंदु का पता लगाने के लिए सजातीय निर्देशांक का उपयोग किया जाता है। इसी तरह, बेज़ाउट की प्रमेय भविष्यवाणी करती है कि एक रेखा एक शंकु को दो बिंदुओं पर काटती है, लेकिन कुछ मामलों में एक या दोनों बिंदु अनंत होते हैं और उन्हें ढूँढ़ने  के लिए सजातीय निर्देशांक का उपयोग किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, {{nowrap|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 0}} परिमित (एफाइन) तल में केवल एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु है। प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु को ढूँढ़ने के लिए, समीकरणों को सजातीय रूप में परिवर्तित करें, {{nowrap|1=''yz'' = ''x''<sup>2</sup>}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 0}}. यह पैदा करता है {{nowrap|1=''x'' = ''yz'' = 0}} और, यह मानते हुए कि सभी x, y और z 0 नहीं हैं, समाधान हैं {{nowrap|1=''x'' = ''y'' = 0, ''z'' ≠ 0}} तथा {{nowrap|1=''x'' = ''z'' = 0, ''y'' ≠ 0}}. यह पहला उपाय बिंदु है {{nowrap|(0, 0)}} कार्तीय निर्देशांक में, प्रतिच्छेदन का परिमित बिंदु। दूसरा समाधान सजातीय निर्देशांक देता है {{nowrap|(0, 1, 0)}} जो y-अक्ष की दिशा के अनुरूप है। समीकरणों के लिए {{nowrap|1=''xy'' = 1}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 0}} चौराहे के कोई परिमित बिंदु नहीं हैं। समीकरणों को समांगी रूप में बदलने पर प्राप्त होता है {{nowrap|1=''xy'' = ''z''<sup>2</sup>}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 0}}. हल करने से समीकरण बनता है {{nowrap|1=''z''<sup>2</sup> = 0}} जिसका दोहरा मूल है {{nowrap|1=''z'' = 0}}. मूल समीकरण से, {{nowrap|1=''x'' = 0}}, इसलिए {{nowrap|1=''y'' ≠ 0}} चूंकि कम से कम एक निर्देशांक गैर-शून्य होना चाहिए। इसलिए, {{nowrap|(0, 1, 0)}} प्रतिच्छेदन बिंदु है जिसे बहुलता 2 के साथ प्रमेय के अनुसार गिना जाता है।<ref>{{harvnb|Jones|1912|pp= 117&ndash;118, 122}} with simplified examples.</ref>


== सर्कुलर पॉइंट्स ==
{{Main|Circular points at infinity}}
वास्तविक या जटिल प्रक्षेपी विमान में एक सर्कल के समीकरण के लिए सजातीय रूप है {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 2''axz'' + 2''byz'' + c''z''<sup>2</sup> = 0}}. अनंत पर रेखा के साथ इस वक्र का प्रतिच्छेदन समुच्चयन द्वारा पाया जा सकता है {{nowrap|1=''z'' = 0}}. यह समीकरण पैदा करता है {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 0}} जिसमें सजातीय निर्देशांक वाले बिंदुओं को जन्म देते हुए जटिल संख्याओं पर दो समाधान हैं {{nowrap|(1, ''i'', 0)}} तथा {{nowrap|(1, −''i'', 0)}} जटिल प्रक्षेपी विमान में। इन बिंदुओं को अनंत पर वृत्ताकार बिंदु कहा जाता है और इन्हें सभी वृत्तों के प्रतिच्छेदन के सामान्य बिंदु के रूप में माना जा सकता है। इसे वृत्ताकार बीजगणितीय वक्रों के रूप में उच्च क्रम के वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Jones|1912|p= 204}}</ref>


== समन्वय प्रणालियों का परिवर्तन ==
जिस प्रकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अक्षों का चयन कुछ हद तक मनमाना है, उसी तरह सभी संभव प्रणालियों में से सजातीय निर्देशांकों की एकल प्रणाली का चयन कुछ हद तक मनमाना है। इसलिए, यह जानना उपयोगी है कि विभिन्न प्रणालियाँ एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

होने देना {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} प्रक्षेपी विमान में एक बिंदु के सजातीय निर्देशांक हों। एक निश्चित आव्यूह 
<math display="block">A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix},</math>
अशून्य निर्धारक के साथ, निर्देशांक की एक नई प्रणाली को परिभाषित करता है {{nowrap|(''X'', ''Y'', ''Z'')}} समीकरण द्वारा
<math display="block">\begin{pmatrix}X\\Y\\ Z\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.</math>
का गुणन {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक अदिश के द्वारा का गुणन होता है {{nowrap|(''X'', ''Y'', ''Z'')}} एक ही अदिश द्वारा, और एक्स, वाई और जेड सभी 0 नहीं हो सकते जब तक कि एक्स, वाई और जेड सभी शून्य न हों क्योंकि ए व्युत्क्रमणीय  है। इसलिए {{nowrap|(''X'', ''Y'', ''Z'')}} प्रक्षेपी विमान के एक ही बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांक की एक नई प्रणाली है।

== बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ==
{{Main|Barycentric coordinates (mathematics)}}
सजातीय निर्देशांक के मोबियस के मूल सूत्रीकरण ने एक बिंदु की स्थिति को एक निश्चित त्रिकोण के शिखर पर रखे तीन बिंदु द्रव्यमानों की एक प्रणाली के द्रव्यमान (या केन्द्रक ) के केंद्र के रूप में निर्दिष्ट किया। त्रिभुज के भीतर के बिंदुओं को सकारात्मक द्रव्यमान द्वारा दर्शाया जाता है और त्रिभुज के बाहर के बिंदुओं को नकारात्मक द्रव्यमान की अनुमति देकर दर्शाया जाता है। प्रणाली में द्रव्यमान को अदिश से गुणा करना द्रव्यमान के केंद्र को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए यह सजातीय निर्देशांक की प्रणाली का एक विशेष मामला है।

== ट्रिलिनियर निर्देशांक ==
{{Main|Trilinear coordinates}}
एल, एम, एन को विमान में तीन रेखाएं होने दें और बिंदु पी के निर्देशांक एक्स, वाई और जेड के समूह को पी से इन तीन पंक्तियों तक हस्ताक्षरित दूरी के रूप में परिभाषित करें। इन्हें त्रिभुज के संबंध में p का त्रिरेखीय निर्देशांक कहा जाता है, जिसके शीर्ष रेखाओं के जोड़ों में प्रतिच्छेदन होते हैं। सख्ती से बोलना ये सजातीय नहीं हैं, क्योंकि X, Y और Z के मान सटीक रूप से निर्धारित होते हैं, न कि केवल आनुपातिकता तक। चूंकि, उनके बीच एक रैखिक संबंध है, इसलिए इन निर्देशांकों को गुणकों की अनुमति देकर सजातीय बनाया जा सकता है {{nowrap|(''X'', ''Y'', ''Z'')}} उसी बिंदु का प्रतिनिधित्व करने के लिए। अधिक सामान्यतः पर, एक्स, वाई और जेड को स्थिरांक पी, आर और क्यू गुणा दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप संदर्भ के समान त्रिकोण के साथ सजातीय निर्देशांक की एक भिन्न प्रणाली होती है। वास्तव में, यह समतल में बिंदुओं के लिए सजातीय निर्देशांक की सबसे सामान्य प्रकार की प्रणाली है यदि कोई भी रेखा अनंत पर रेखा नहीं है।<ref>{{harvnb|Jones|1912|pp= 452 ff}}</ref>


== कंप्यूटर ग्राफिक्स और कंप्यूटर विजन में प्रयोग करें ==
{{See also|Transformation matrix}}
संगणक आरेखी में सजातीय निर्देशांक सर्वव्यापी हैं क्योंकि वे सामान्य दिष्ट  संचालन जैसे [[अनुवाद (ज्यामिति)]], क्रमावर्तन [[रोटेशन (गणित)|(गणित)]], [[स्केलिंग (ज्यामिति)|प्रवर्धन  (ज्यामिति)]] और [[परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण]] को एक आव्यूह  के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देते हैं जिसके द्वारा दिष्ट गुणा किया जाता है। श्रृंखला नियम द्वारा, इस तरह के संचालन के किसी भी क्रम को सरल और कुशल प्रसंस्करण की अनुमति देते हुए एकल आव्यूह  में गुणा किया जा सकता है। इसके विपरीत, कार्तीय  निर्देशांक, अनुवाद और परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण का उपयोग आव्यूह गुणन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, चूंकि अन्य संचालन कर सकते हैं। आधुनिक [[Index.php?title=ओपनजीएल|ओपनजीएल]] और [[माइक्रोसॉफ्ट डायरेक्ट लिमिटेड]] 3 डी [[चित्रोपमा पत्रक]] 4-तत्व रजिस्टरों के साथ [[वेक्टर प्रोसेसर|दिष्ट संसाधक]] का कुशलतापूर्वक उपयोग करके [[वर्टेक्स शेडर]] को लागू करने के लिए सजातीय निर्देशांक का लाभ उठाते हैं।<ref>{{cite web|url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb206341(VS.85).aspx|title=व्यूपोर्ट और क्लिपिंग (Direct3D 9) (Windows)|website=msdn.microsoft.com|access-date=10 April 2018}}</ref><ref>Shreiner, Dave; Woo, Mason; Neider, Jackie; Davis, Tom; "OpenGL Programming Guide", 4th Edition, {{isbn|978-0-321-17348-5}}, published December 2004.  Page 38 and Appendix F (pp. 697-702) Discuss how [[OpenGL]] uses homogeneous coordinates in its rendering pipeline.  Page 2 indicates that OpenGL is a software interface to [[graphics card|graphics hardware]].</ref>
उदाहरण के लिए, परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण में, अंतरिक्ष में एक स्थिति उस रेखा से जुड़ी होती है जो प्रक्षेपण के केंद्र नामक एक निश्चित बिंदु पर होती है। बिंदु को उस विमान और रेखा के चौराहे के बिंदु को ढूंढकर एक विमान में मैप किया जाता है। यह एक त्रि-आयामी वस्तु को आंख को कैसे दिखाई देता है, इसका सटीक प्रतिनिधित्व करता है। सबसे सरल स्थिति में, प्रक्षेपण का केंद्र मूल बिंदु होता है और बिंदुओं को समतल पर मैप किया जाता है {{nowrap|1=''z'' = 1}}, कार्टेशियन निर्देशांक में इस समय काम कर रहा है। अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु के लिए, {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}}, वह बिंदु जहां रेखा और समतल प्रतिच्छेद करते हैं {{nowrap|(''x''/''z'', ''y''/''z'', 1)}}. अब अतिश्योक्तिपूर्ण z निर्देशांक को छोड़ने पर, यह बन जाता है {{nowrap|(''x''/''z'', ''y''/''z'')}}. सजातीय <math display="block">\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>निर्देशांक में, बिंदु {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} द्वारा दर्शाया गया है {{nowrap|(''xw'', ''yw'', ''zw'', ''w'')}} और जिस बिंदु पर यह मानचित्र करता है वह विमान पर प्रदर्शित होता है  {{nowrap|(''xw'', ''yw'', ''zw'')}}, इसलिए प्रक्षेपण को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है

अन्य ज्यामितीय परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों को इसके साथ और एक दूसरे को आव्यूह गुणन द्वारा जोड़ा जा सकता है। फलस्वरूप, अंतरिक्ष के किसी भी परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण को एकल मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>{{cite book |title=कंप्यूटर ग्राफिक्स अनुप्रयोगों के लिए गणित| url=https://archive.org/details/mathematicsforco00mort|url-access=limited|first=Michael E.|last=Mortenson |publisher=Industrial Press Inc.|year=1999| isbn=0-8311-3111-X|page=[https://archive.org/details/mathematicsforco00mort/page/n330 318]}}</ref><ref>{{cite book| title=कंप्यूटर ग्राफिक्स: व्यवहार में सिद्धांत|first=Jeffrey J.|last=McConnell|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=2006|isbn=0-7637-2250-2|page=[https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/120 120]|url=https://archive.org/details/computergraphics0000mcco/page/120}}</ref>


==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}


==संदर्भ==
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*{{cite book |title=Elements of Analytical Geometry of Two Dimensions
|first1=Charles|last1=Briot|first2=Jean Claude|last2=Bouquet|others=trans. J.H. Boyd
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*{{cite book |title=Ideals, Varieties, and Algorithms
|first1=David A.|last1=Cox|first2=John B.|last2=Little|first3=Donal|last3=O'Shea
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*{{citation|first=Lynn E.|last=Garner|title=An Outline of Projective Geometry|year=1981|publisher=North Holland|isbn=0-444-00423-8}}
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*{{cite book |title=Algebraic Curves and Riemann Surfaces|first=Rick|last=Miranda
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*{{cite book |title=Higher Geometry|first=Frederick S.|last=Woods
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==अग्रिम पठन==
*{{cite book |title=Mathematics and its History|first=John|last=Stillwell
|publisher=Springer|year=2002|isbn=0-387-95336-1|pages=134ff
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*{{cite book|title=Mathematical elements for computer graphics|first=David F.|last=Rogers|publisher=McGraw Hill|year=1976|isbn=0070535272|url=https://archive.org/details/mathematicalelem00roge|url-access=registration}}



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* Jules Bloomenthal and Jon Rokne, Homogeneous coordinates [http://www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226225843/http://www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf |date=2021-02-26 }}
* Ching-Kuang Shene, Homogeneous coordinates [http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/homo-coor.html]
* [http://mathworld.wolfram.com/HomogeneousCoordinates.html Wolfram MathWorld]
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