View source for अधिचक्रज

[[Image:EpitrochoidOn3-generation.gif|thumb|500px|लाल वक्र एक एपिसाइक्लॉइड है जिसे छोटे वृत्त (त्रिज्या {{nowrap|''r'' {{=}} 1)}} बड़े वृत्त के बाहर घूमता है (त्रिज्या {{nowrap|''R'' {{=}} 3)}}.]][[ज्यामिति]] में, '''एपिसाइक्लॉइड''' एक [[वृत्त]] की ''[[परिधि]]'' पर एक चुने हुए बिंदु के पथ का पता लगाने के द्वारा निर्मित एक [[समतल वक्र]] है - जिसे एक एपिसायकल कहा जाता है - जो एक निश्चित चक्र के चारों ओर फिसले बिना रोल करता है। यह एक खास तरह का [[रूलेट (वक्र)]] है।

== समीकरण ==

यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या ''r'' है, और बड़े वृत्त की त्रिज्या ''R'' = ''kr'' है, तो वक्र के लिए [[:hi:प्राचलिक समीकरण|पैरामीट्रिक समीकरण]] या तो दिए जा सकते हैं:
:<math>x (\theta) = (R + r) \cos \theta \ - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)</math>
:<math>y (\theta) = (R + r) \sin \theta \ - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),</math>
या:
:<math>x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,</math>
:<math>y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,</math>
अधिक संक्षिप्त और जटिल रूप में<ref>[https://arxiv.org/abs/1504.06539 Epicycloids and Blaschke products by Chunlei Cao, Alastair Fletcher, Zhuan Ye]</ref>
:<math>z(\theta) = r(e^{i(k+1)\theta} - (k + 1)e^{ i\theta}) </math>
जहाँ पे
* कोण <math> \theta</math> बदले में है:  <math>\theta \in [0, 2\pi].</math>
* छोटे वृत्त की त्रिज्या r है
* बड़े वृत्त की त्रिज्या kr है

== क्षेत्र ==

(प्रारंभिक बिंदु को बड़े वृत्त पर स्थित मानते हुए) जब ''k'' धनात्मक पूर्णांक है, तो इस एपिसाइक्लॉइड का क्षेत्रफल है:
:<math>A=(k+1)(k+2)\pi r^2.</math>
यदि ''k'' एक धनात्मक पूर्णांक है, तो वक्र बंद है, और ''k'' [[:hi:कस्प (विलक्षणता)|कस्प]] (अर्थात् तीखे कोने) हैं।

यदि k एक [[परिमेय संख्या]] है, मान लीजिए k = p / q को [[अलघुकरणीय अंश]] के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो वक्र में p cusps होता है।
  {| class="wikitable"
|वक्र को बंद करने के लिए और
|-
|पहले दोहराए जाने वाले पैटर्न को पूरा करें :
|-
|θ = q से क्यू घुमाव
|-
|α = p से पी रोटेशन
|-
|बाहरी रोलिंग सर्कल का कुल घुमाव = p + q घुमाव
|}
p और q देखने के लिए एनिमेशन घुमावों की गणना करें।

यदि ''k'' एक [[अपरिमेय संख्या]] है, तो वक्र कभी बंद नहीं होता है, और बड़े वृत्त और त्रिज्या ''R'' + 2''r'' के वृत्त के बीच की जगह का एक [[:hi:घना सेट|सघन उपसमुच्चय]] बनाता है।

दूरी OP से (x=0,y=0) मूल (बिंदु <math>p</math> छोटे वृत्त पर) ऊपर और नीचे भिन्न होता है

R <= OP <= (R + 2r)

R= बड़े वृत्त की त्रिज्या और

2r = छोटे वृत्त का व्यास

 <gallery caption="एपिकाइक्लॉइड उदाहरण">
File:Epicycloid-1.svg| ''k'' = 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a ''[[कार्डियोइड]]''
File:Epicycloid-2.svg| ''k'' = 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a ''[[नेफ्रोइड]]''
File:Epicycloid-3.svg| ''k'' = 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a ''ट्रेफोइलोइड''
File:Epicycloid-4.svg| ''k'' = 4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a ''क्वाट्रेफॉयलॉइड''
File:Epicycloid-2-1.svg| ''k'' = 2.1 = 21/10
File:Epicycloid-3-8.svg| ''k'' = 3.8 = 19/5
File:Epicycloid-5-5.svg| ''k'' = 5.5 = 11/2
File:Epicycloid-7-2.svg| ''k'' = 7.2 = 36/5
</gallery>
एपिसाइक्लॉइड एक विशेष प्रकार का [[एपिट्रोकॉइड]] है।

कस्प वाला एक एपिसाइकिल एक [[:hi:कारडायोड|कार्डियोइड]] है, दो कस्प एक [[:hi:गुर्दा|नेफ्रोइड]] है।

एक एपिसाइक्लॉइड और इसका विकास [[समानता (ज्यामिति)]] है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EpicycloidEvolute.html Epicycloid Evolute - from Wolfram MathWorld]</ref>

== प्रमाण ==
[[Image:Epizykloide herleitung.svg|thumb|upright=2.0|सबूत के लिए स्केच]]हम मानते हैं कि स्थिति <math>p</math> जिसे हम सुलझाना चाहते हैं, <math>\alpha</math> स्पर्शरेखा बिंदु से गतिमान बिंदु तक का कोण है <math>p</math>, तथा <math>\theta</math> प्रारंभिक बिंदु से स्पर्शरेखा बिंदु तक का कोण है।

चूंकि दोनों चक्रों के बीच कोई फिसलन नहीं है<!-- what does "sliding" mean mathematically? -->, तो हमारे पास:
:<math>\ell_R=\ell_r</math>
कोण की परिभाषा के अनुसार (जो त्रिज्या पर दर चाप है), तो हमारे पास:
:<math>\ell_R= \theta R</math> तथा
:<math>\ell_r= \alpha r</math>.
 
इन दो स्थितियों से हमें पहचान मिलती है
:<math>\theta R=\alpha r</math>.
हिसाब लगाकर<!-- what? -->, हम बीच संबंध प्राप्त करते हैं <math>\alpha</math> तथा <math>\theta</math>, जो है
:<math>\alpha =\frac{R}{r} \theta</math>.

आकृति से, हम बिंदु की स्थिति देखते हैं <math>p</math> छोटे वृत्त पर स्पष्ट रूप से है।
:<math> x=\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)</math>
:<math>y=\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)</math>


== यह भी देखें ==
[[File:Tartapelago Bicicardio 01.gif|thumb|upright=1| [[MSWLogo]] (कार्डियोइड) में कछुए के साथ एनिमेटेड GIF<ref>{{cite web|url=http://www.maecla.it/tartapelago.htm |title=टार्टापेलागो|first=Giorgio|last=Pietrocola |date=2005 |website=Maecla  }}</ref>]]* [[आवधिक कार्यों की सूची]]
*[[चक्रवात]]
* साइक्लोगन
* डिफ्रेंट और एपिसायकल
* [[एपिसाइक्लिक गियरिंग]]
* एपिट्रोकॉइड
* हाइपो[[चक्रज]]
* [[हाइपोट्रोकॉइड]]
* [[मल्टीब्रॉट सेट]]
* रूले (वक्र)
* [[स्पाइरोग्राफ]]

==संदर्भ==
* {{cite book| author=J. Dennis Lawrence| title=A catalog of special plane curves| publisher=Dover Publications| year=1972| isbn=978-0-486-60288-2| pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/161 161,168–170,175]| url-access=registration| url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/161}}
<references />


==बाहरी संबंध==
*{{MathWorld|Epicycloid|Epicycloid}}
*"[http://demonstrations.wolfram.com/Epicycloid/ Epicycloid]" by Michael Ford, [[The Wolfram Demonstrations Project]], 2007
*{{MacTutor|class=Curves|id=Epicycloid|title=Epicycloid}}
*[http://www.v-jaekel.de/animate-trochoid-en.html Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids]
*[http://sourceforge.net/p/geofun/wiki/Home/ Spirograph -- GeoFun]
*[https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3/ Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth]

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