View source for इमेज (गणित)

{{Short description|Set of all values of a function}}
{{other uses|प्रतिबिंब (बहुविकल्पी)}}
[[File:Codomain2.SVG|thumb|upright=1.2|<math>f</math> डोमेन से एक फलन है <math>X</math> कोडोमेन के लिए <math>Y.</math> पीला वृत्ताकार अंदर <math>Y</math> का प्रतिबिंब है <math>f.</math>]]
{{Group theory sidebar |Basics}}
गणित में, किसी फलन(गणित) का प्रतिबिंब उसके द्वारा सभी आउटपुट मानों का समुच्चय होता है जो इसे उत्पन्न करता है।

अधिकांशतः किसी दिए गए फलन का मूल्यांकन <math>f</math> किसी दिए गए उपसमुच्चय के प्रत्येक [[ तत्व (गणित) |तत्व (गणित)]] पर <math>A</math> फलन के अपने डोमेन का एक सेट उत्पन्न करता है, जिसे प्रतिबिंब कहा जाता है <math>A</math> के अंतर्गत <math>f</math>. दिए गए उपसमुच्चय का प्रतिलोम प्रतिबिम्ब (या पूर्व प्रतिबिम्ब) <math>B</math> के [[ कोडोमेन | कोडोमेन]]  का <math>f,</math> डोमेन के सभी तत्वों का समूह होता है जो इसमें उपस्थित <math>B.</math> सदस्यों को मैप करता है 

प्रतिबिंब और व्युत्क्रम प्रतिबिंब को सामान्य बाइनरी संबंधों पर संचालित करने के लिए परिभाषित किया जाता है, न कि केवल फलन के लिए।

== परिभाषा ==
प्रतिबिंब शब्द का प्रयोग तीन संबंधित रूपों में किया जा सकता है। इन परिभाषाओं में, <math>f : X \to Y</math> में <math>X</math> [[ सेट (गणित) |सेट (गणित)]] के लिए <math>Y.</math> सेट का एक फलन होता है ।
=== एक तत्व का प्रतिबिंब ===

यदि <math>x</math>, <math>X,</math>का सदस्य है, तो <math>f,</math> के अंतर्गत <math>x</math> का प्रतिबिम्ब का निरूपण <math>f(x),</math> <math>x.</math> पर लागू होने पर <math>f</math> का [[ मान (गणित) |मान (गणित)]] है। <math>f(x)</math> को वैकल्पिक रूप से तर्क <math>x.</math> के लिए <math>f</math> के आउटपुट के रूप में जाना जाता है।

दिए गए <math>y,</math> फलन <math>f</math> को "मान <math>y,</math> लेना" या "y को मान के रूप में लेना" कहा जाता है यदि फलन के डोमेन में कुछ <math>x</math> सम्मलित है फलन के डोमेन में ऐसा है कि <math>f(x) = y.</math> इसी तरह, दिये गये सेट <math>S,</math> के लिए फलन <math>f</math> में {{em| <math>S</math> के मान के लिए}} यदि कुछ मान <math>x</math> फलन के डोमेन में सम्मलित है जैसे कि कि <math>f(x) \in S.</math> चूंकि,{{em|<math>f</math> <math>S</math> के लिए सभी मान संयुक्त करता है }} तथा इसी प्रकार {{em|<math>f</math> फंक्शन <math>S</math> में सम्मलित रहता है}} अर्ताथ <math>f(x) \in S</math> के लिये सभी बिंदुओं पर <math>x</math> में <math>f</math> का डोमेन रहता हैं।

=== एक उपसमुच्चय का प्रतिबिंब ===

पूरे समय में, <math>f : X \to Y</math> का एक फलन होने दें।  उपसमुच्चय <math>A</math> के <math>f</math> के अंतर्गत छवि <math>X</math>, <math>a\in A.</math> के लिए सभी <math>f(a)</math> का समुच्चय है। इसे <math>f[A],</math> या <math>f(A),</math>द्वारा निरूपित किया जाता है जब भ्रम का कोई खतरा नहीं होता है। [[ सेट-बिल्डर नोटेशन ]] का उपयोग करके, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{Cite web|date=2019-11-05| title=5.4: सेट के कार्यों और छवियों / छवियों पर| url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets| access-date=2020-08-28| website=Mathematics LibreTexts| language=en}}</ref><ref>{{cite book| author=Paul R. Halmos| title=भोले सेट सिद्धांत| location=Princeton| publisher=Nostrand| year=1968 }} Here: Sect.8</ref><math display=block>f[A] = \{f(a) : a \in A\}.</math>यह <math>f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y),</math> फलन को प्रेरित करता है जहाँ पर <math>\mathcal P(S)</math> पूर्ण रूप से <math>S</math> के [[ सत्ता स्थापित |पावर सेट]] को दर्शाता है इस प्रकार यह <math>S.</math> सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है इसकी {{Section link||संकेतन}} देखने के लिए नीचे जाए।

=== एक फलन का प्रतिबिंब ===

किसी फलन का प्रतिबिंब किसी फलन के उसके पूरे डोमेन का प्रतिबिंब होती है, जिसे फलन के किसी फलन की श्रेणी के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=छवि|url=https://mathworld.wolfram.com/छवि.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> इस अंतिम प्रयोग से बचना चाहिए क्योंकि "श्रेणी" शब्द का प्रयोग साधारणतयः <math>f.</math> के कोडोमेन के लिए भी किया जाता है।
=== बाइनरी संबंधों का सामान्यीकरण ===

यदि <math>R</math> पर एक मनमाना [[ द्विआधारी संबंध | द्विआधारी संबंध]] है, <math>X \times Y,</math> फिर समुच्चय <math>\{ y \in Y : x R y \text{ for some } x \in X \}</math> का प्रतिबिंब, या श्रेणी कहा जाता है <math>R.</math> दोहरे समुच्चय <math>R.</math> के लिए <math>\{ x \in X : x R y \text{ for some } y \in Y \}</math> का डोमेन कहा जाता है 
== व्युत्क्रम प्रतिबिंब ==

{{Redirect|पूर्व प्रतिबिंब|हैश फ़ंक्शंस पर क्रिप्टोग्राफ़िक|प्रीइमेज अटैक}}
होने देना <math>f</math> से एक फलन हो <math>X</math> प्रति <math>Y.</math> किसी सेट की प्राप्रतिबिंब या व्युत्क्रम प्रतिबिंब <math>B \subseteq Y</math> नीचे <math>f,</math> द्वारा चिह्नित <math>f^{-1}[B],</math> द्वारा परिभाषित<math>X</math> का उपसमुच्चय है
<math display="block">f^{-1}[ B ] = \{ x \in X \,:\, f(x) \in B \}.</math>
अन्य नोटेशन में सम्मिलित हैं <math>f^{-1}(B)</math> तथा <math>f^{-}(B).</math>{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=4-5}} [[ सिंगलटन (गणित) ]] की प्रतिलोम प्रतिबिंब, जिसे <math>f^{-1}[\{ y \}]</math>द्वारा दर्शाया जाता है   <math>f^{-1}[\{ y \}]</math>या द्वारा <math>f^{-1}[y],</math> इसे [[ फाइबर (गणित) ]] या फाइबर ओवर भी कहा जाता है <math>y</math> या का स्तर सेट <math>y.</math> के तत्वों पर सभी तंतुओं का समुच्चय <math>Y</math> द्वारा अनुक्रमित सेट का एक परिवार है। 

उदाहरण के लिए, फलन के लिए <math>f(x) = x^2,</math> की उलटी प्रतिबिंब <math>\{ 4 \}</math> होगी  <math>\{ -2, 2 \}.</math> फिर से, यदि भ्रम की कोई संभावना नहीं है, <math>f^{-1}[B]</math> द्वारा निरूपित किया जा सकता है <math>f^{-1}(B),</math> तथा <math>f^{-1}</math> के पावर सेट से एक फलन के रूप में भी सोचा जा सकता है <math>Y</math> के पावर सेट के लिए <math>X.</math> संकेतन <math>f^{-1}</math> व्युत्क्रम फलन के लिए इसके साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, चूंकि यह द्विभाजनों के लिए सामान्य एक के साथ समानता रखता है जिसमें <math>f</math> के नीचे <math>B</math> के व्युत्क्रम प्रतिबिंब <math>f^{-1}.</math> के लिए  <math>B</math> का प्रतिबिम्ब है।} 

==<span id="नोटेशन">नोटेशन</span> प्रतिबिंब और इनवर्स प्रतिबिंब के लिए ==
पिछले खंड में प्रयुक्त पारंपरिक संकेतन मूल कार्य को अलग नहीं करते हैं <math>f : X \to Y</math> प्रतिबिंब-ऑफ-सेट्स फलन से <math>f : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)</math>; इसी तरह वे व्युत्क्रम फलन (यह मानते हुए कि कोई उपलब्ध है) को व्युत्क्रम प्रतिबिंब फलन (जो फिर से पावरसेट से संबंधित है) से अलग नहीं करता है। सही संदर्भ को देखते हुए, यह अंकन को हल्का रखता है और सामान्य भ्रम पैदा नहीं करता है। लेकिन यदि आवश्यक होता है,क्योंकि एक विकल्प{{sfn|Blyth|2005|p=5}} पावर सेट के बीच कार्यों में प्रतिबिंब और प्राप्रतिबिंब के लिए स्पष्ट नाम देता है:

===तीर संकेतन ===

* <math>f^\rightarrow : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)</math> साथ <math>f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}</math>
* <math>f^\leftarrow  : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)</math> साथ <math>f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}</math>


=== स्टार संकेतन ===

* <math>f_\star : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)</math> के अतिरिक्त <math>f^\rightarrow</math>
* <math>f^\star : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)</math> के अतिरिक्त <math>f^\leftarrow</math>


=== अन्य शब्दावली ===

* एक वैकल्पिक संकेतन के लिए <math>f[A]</math> [[ गणितीय तर्क ]] और सेट सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है <math>f\,''A.</math><ref>{{cite book| title=गणितज्ञ के लिए सिद्धांत सेट करें|url=https://archive.org/details/settheoryformath0000rubi|url-access=registration|author=Jean E. Rubin |author-link= Jean E. Rubin |page=xix|year=1967 |publisher=Holden-Day |asin=B0006BQH7S}}</ref><ref>M. Randall Holmes: [https://web.archive.org/web/20180207010648/https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU], December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2</ref>
* कुछ ग्रंथ का प्रतिबिंब का उल्लेख करते हैं <math>f</math> की सीमा के रूप में <math>f,</math><ref>{{Cite book |last=Hoffman |first=Kenneth |title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Prentice-Hall |year=1971 |edition=2nd |pages=388 |language=en}}</ref> लेकिन इस प्रयोग से बचना चाहिए क्योंकि श्रेणी शब्द का प्रयोग सामान्य के कोडोमेन के अर्थ के लिए भी किया जाता है <math>f.</math>

== उदाहरण ==

# <math>f : \{ 1, 2, 3 \} \to \{ a, b, c, d \}</math> द्वारा परिभाषित <math>
    \left\{\begin{matrix}
      1 \mapsto a, \\
      2 \mapsto a, \\
      3 \mapsto c.
    \end{matrix}\right.
  </math>सेट का प्रतिबिंब <math>\{ 2, 3 \}</math> नीचे <math>f</math> है <math>f(\{ 2, 3 \}) = \{ a, c \}.</math> फलन का प्रतिबिंब <math>f</math> है <math>\{ a, c \}.</math> की पूर्व प्राप्रतिबिंब <math>a</math> है <math>f^{-1}(\{ a \}) = \{ 1, 2 \}.</math> की पूर्व प्रतिबिंब <math>\{ a, b \}</math> ई आल्सो <math>f^{-1}(\{ a, b \}) = \{ 1, 2 \}.</math> की पूर्व प्रतिबिंब <math>\{ b, d \}</math> नीचे <math>f</math> [[ खाली सेट | खाली सेट]] है <math>\{ \ \} = \emptyset.</math>
# <math>f : \R \to \R</math> द्वारा परिभाषित <math>f(x) = x^2.</math>का प्रतिबिंब <math>\{ -2, 3 \}</math> नीचे <math>f</math> है <math>f(\{ -2, 3 \}) = \{ 4, 9 \},</math> और का प्रतिबिंब <math>f</math> है <math>\R^+</math> (सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं और शून्य का समुच्चय है)। की पूर्व प्रतिबिंब <math>\{ 4, 9 \}</math> नीचे <math>f</math> है <math>f^{-1}(\{ 4, 9 \}) = \{ -3, -2, 2, 3 \}.</math> सेट की प्राप्रतिबिंब <math>N = \{ n \in \R : n < 0 \}</math> नीचे <math>f</math> रिक्त समुच्चय है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक समुच्चय में वर्गमूल नहीं होता है।
# <math>f : \R^2 \to \R</math> द्वारा परिभाषित <math>f(x, y) = x^2 + y^2.</math>फाइबर (गणित) <math>f^{-1}(\{ a \})</math> [[ उत्पत्ति (गणित) | उत्पत्ति (गणित)]] , स्वयं मूल और खाली सेट (क्रमशः) के बारे में [[ संकेंद्रित वृत्त | संकेंद्रित वृत्त]] हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि क्या <math>a > 0, \ a = 0, \text{ or } \ a < 0</math> (क्रमश)। (यदि <math>a \ge 0,</math> फिर फाइबर <math>f^{-1}(\{ a \})</math> सभी का सेट है <math>(x, y) \in \R^2</math> समीकरण को संतुष्ट करना <math>x^2 + y^2 = a,</math> वह है, त्रिज्या के साथ मूल-केंद्रित वृत्त <math>\sqrt{a}.</math>)
# यदि <math>M</math> कई गुना है और <math>\pi : TM \to M</math> [[ स्पर्शरेखा बंडल ]] से विहित प्रोजेक्शन (गणित) है <math>TM</math> प्रति <math>M,</math> फिर के तंतु <math>\pi</math> स्पर्श रेखा स्थान हैं <math>T_x(M) \text{ for } x \in M.</math> यह भी [[ फाइबर बंडल ]] का एक उदाहरण है।
# [[ भागफल समूह ]] एक समरूपी प्रतिबिम्ब प्रतिबिंब है।

== गुण ==

{{See also|सेट की पहचान और संबंध कार्यों और सेटों की सूची}}

{| class=wikitable style="float:right;"
|+
! Counter-examples based on the [[real number]]s <math>\R,</math><BR> <math>f : \R \to \R</math> defined by <math>x \mapsto x^2,</math><BR> showing that equality generally need<BR>not hold for some laws:
|-
|[[File:Image preimage conterexample intersection.gif|thumb|center|upright=1.2|Image showing non-equal sets: <math>f\left(A \cap B\right) \subsetneq f(A) \cap f(B).</math> The sets <math>A = [-4, 2]</math> and <math>B = [-2, 4]</math> are shown in {{color|blue|blue}} immediately below the <math>x</math>-axis while their intersection <math>A_3 = [-2, 2]</math> is shown in {{color|green|green}}.]]
|-
|[[File:Image preimage conterexample bf.gif|thumb|center|upright=1.2|<math>f\left(f^{-1}\left(B_3\right)\right) \subsetneq B_3.</math>]]
|-
|[[File:Image preimage conterexample fb.gif|thumb|center|upright=1.2|<math>f^{-1}\left(f\left(A_4\right)\right) \supsetneq A_4.</math>]]
|}


=== सामान्य ===

हर फलन के लिए <math>f : X \to Y</math> और सभी सबसेट <math>A \subseteq X</math> तथा <math>B \subseteq Y,</math> निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

{| class="wikitable"
|-
! प्रतिबिंब
! पूर्व प्रतिबिंब
|-
|<math>f(X) \subseteq Y</math>
|<math>f^{-1}(Y) = X</math>
|-
|<math>f\left(f^{-1}(Y)\right) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(f(X)) = X</math>
|-
|<math>f\left(f^{-1}(B)\right) \subseteq B</math><br>(बराबर होगा यदि <math>B \subseteq f(X);</math> उदाहरण के लिए, यदि <math>f</math> एक विशेषण हो)<ref name="halmos-1960-p39">See {{harvnb|Halmos|1960|p=39}}</ref><ref name="munkres-2000-p19">See {{harvnb|Munkres|2000|p=19}}</ref>
|<math>f^{-1}(f(A)) \supseteq A</math><br>(बराबर होगा यदि <math>f</math> एक अविशेषण हो)<ref name="halmos-1960-p39"/><ref name="munkres-2000-p19" />
|-
|<math>f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)</math>
|<math>\left(f \vert_A\right)^{-1}(B) = A \cap f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f\left(f^{-1}(f(A))\right) = f(A)</math>
|<math>f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right) = f^{-1}(B)</math>
|-
|<math>f(A) = \varnothing \,\text{ if and only if }\, A = \varnothing</math>
|<math>f^{-1}(B) = \varnothing \,\text{ if and only if }\, B \subseteq Y \setminus f(X)</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq B \,\text{ if and only if } \text{ there exists } C \subseteq A \text{ such that } f(C) = B</math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq A \,\text{ if and only if }\, f(A) \subseteq B</math>
|-
|<math>f(A) \supseteq f(X \setminus A) \,\text{ if and only if }\, f(A) = f(X)</math>
|<math>f^{-1}(B) \supseteq f^{-1}(Y \setminus B) \,\text{ if and only if }\, f^{-1}(B) = X</math>
|-
|<math>f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)</math>
|<math>f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)</math><ref name="halmos-1960-p39" />
|-
|<math>f\left(A \cup f^{-1}(B)\right) \subseteq f(A) \cup B</math><ref name="lee-2010-p388">See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.</ref>
|<math>f^{-1}(f(A) \cup B) \supseteq A \cup f^{-1}(B)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|-
|<math>f\left(A \cap f^{-1}(B)\right) = f(A) \cap B</math><ref name="lee-2010-p388" />
|<math>f^{-1}(f(A) \cap B) \supseteq A \cap f^{-1}(B)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|}
भी:

* <math>f(A) \cap B = \varnothing \,\text{ if and only if }\, A \cap f^{-1}(B) = \varnothing</math>


=== एकाधिक कार्य ===

कार्यों के लिए <math>f : X \to Y</math> तथा <math>g : Y \to Z</math> उपसमुच्चय के साथ <math>A \subseteq X</math> तथा <math>C \subseteq Z,</math> निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

* <math>(g \circ f)(A) = g(f(A))</math>
* <math>(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))</math>


=== डोमेन या कोडोमेन के एकाधिक उपसमुच्चय ===

फलन के लिए <math>f : X \to Y</math> और उपसमुच्चय <math>A, B \subseteq X</math> तथा <math>S, T \subseteq Y,</math> निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

{| class="wikitable"
|-
! Image
! Preimage
|-
|<math>A \subseteq B \,\text{ implies }\, f(A) \subseteq f(B)</math>
|<math>S \subseteq T \,\text{ implies }\, f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)</math>
|-
|<math>f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)</math><ref name="lee-2010-p388" /><ref name="kelley-1985">{{harvnb|Kelley|1985|p=[{{Google books|plainurl=y|id=-goleb9Ov3oC|page=85|text=The image of the union of a family of subsets of X is the union of the images, but, in general, the image of the intersection is not the intersection of the images}} 85]}}</ref>
|<math>f^{-1}(S \cup T) = f^{-1}(S) \cup f^{-1}(T)</math>
|-
|<math>f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)</math><ref name="lee-2010-p388" /><ref name="kelley-1985" /><br>(equal if <math>f</math> is injective<ref name="munkres-2000-p21">See {{harvnb|Munkres|2000|p=21}}</ref>)
|<math>f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)</math>
|-
|<math>f(A \setminus B) \supseteq f(A) \setminus f(B)</math><ref name="lee-2010-p388" /><br>(equal if <math>f</math> is injective<ref name="munkres-2000-p21" />)
|<math>f^{-1}(S \setminus T) = f^{-1}(S) \setminus f^{-1}(T)</math><ref name="lee-2010-p388" />
|-
|<math>f\left(A \triangle B\right) \supseteq f(A) \triangle f(B)</math><br>(equal if <math>f</math> is injective)
|<math>f^{-1}\left(S \triangle T\right) = f^{-1}(S) \triangle f^{-1}(T)</math>
|-
|}
इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) और यूनियन (सेट थ्योरी) के बीजगणित ([[ बूलियन बीजगणित (संरचना) ]]) के लिए प्रतिबिंबस और प्राप्रतिबिंब से संबंधित परिणाम उपसमुच्चयो के किसी भी संग्रह के लिए काम करते हैं, न कि केवल उपसमुच्चयो के जोड़े के लिए:

* <math>f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f\left(A_s\right)</math>
* <math>f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f\left(A_s\right)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)</math>
* <math>f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)</math>
(यहां, <math>S</math> अनंत हो सकता है, अधिकांशतः [[ बेशुमार अनंत |अनंत]] भी।)

ऊपर वर्णित उपसमुच्चय के बीजगणित के संबंध में, उलटा प्रतिबिंब फलन एक [[ जाली समरूपता ]]है, जबकि प्रतिबिंब फलन केवल एक अर्धवृत्ताकार समरूपता होती है (अर्थात, यह हमेशा  प्रतिच्छेदन को संरक्षित नहीं करता है)।

==यह भी देखें==

* {{annotated link|आक्षेप, इंजेक्शन और प्रक्षेपण}}
* {{annotated link|फाइबर (गणित)}}
* {{annotated link|छवि (श्रेणी सिद्धांत)}}
* {{annotated link|फंक्शन का एक कर्नल}}
* {{annotated link|उलटा सेट करें}}
==टिप्पणियाँ==

{{reflist}}
{{reflist|group=note}}
*
==संदर्भ==

* {{Cite book|last=Artin|first=Michael|author-link=Michael Artin|title=Algebra|year=1991|publisher=Prentice Hall|isbn=81-203-0871-9}}
* {{cite book|first=T.S.|last=Blyth|title=Lattices and Ordered Algebraic Structures|publisher=Springer|year=2005|isbn=1-85233-905-5}}.
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}} <!-- {{sfn|Dolecki|2016|p=}} -->
* {{cite book|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=Paul Halmos|title=Naive set theory|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm|url-access=registration|series=The University Series in Undergraduate Mathematics|publisher=van Nostrand Company|year=1960|isbn=9780442030643|zbl=0087.04403}}
* {{cite book|last1=Kelley|first1=John L.|title=General Topology|edition=2|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=27|year=1985|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-387-90125-1}}
* {{Munkres Topology|edition=2}} <!-- {{sfn|Munkres|2000|p=}} -->
{{PlanetMath attribution|id=3276|title=Fibre}}

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[[Category:Created On 10/11/2022]]
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[[Category:समरूपता प्रमेय]]
[[Category:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएं]]