इमेज (गणित)

For other uses, see प्रतिबिंब (बहुविकल्पी).

$f$ डोमेन से एक फलन है $X$ कोडोमेन के लिए $Y.$ पीला वृत्ताकार अंदर $Y$ का प्रतिबिंब है $f.$

गणित में, किसी फलन(गणित) का प्रतिबिंब उसके द्वारा सभी आउटपुट मानों का समुच्चय होता है जो इसे उत्पन्न करता है।

अधिकांशतः किसी दिए गए फलन का मूल्यांकन $f$ किसी दिए गए उपसमुच्चय के प्रत्येक तत्व (गणित) पर $A$ फलन के अपने डोमेन का एक सेट उत्पन्न करता है, जिसे प्रतिबिंब कहा जाता है $A$ के अंतर्गत $f$. दिए गए उपसमुच्चय का प्रतिलोम प्रतिबिम्ब (या पूर्व प्रतिबिम्ब) $B$ के कोडोमेन का $f,$ डोमेन के सभी तत्वों का समूह होता है जो इसमें उपस्थित $B.$ सदस्यों को मैप करता है

प्रतिबिंब और व्युत्क्रम प्रतिबिंब को सामान्य बाइनरी संबंधों पर संचालित करने के लिए परिभाषित किया जाता है, न कि केवल फलन के लिए।

परिभाषा

प्रतिबिंब शब्द का प्रयोग तीन संबंधित रूपों में किया जा सकता है। इन परिभाषाओं में, $f:X\to Y$ में $X$ सेट (गणित) के लिए $Y.$ सेट का एक फलन होता है ।

एक तत्व का प्रतिबिंब

यदि $x$, $X,$का सदस्य है, तो $f,$ के अंतर्गत $x$ का प्रतिबिम्ब का निरूपण $f(x),$ $x.$ पर लागू होने पर $f$ का मान (गणित) है। $f(x)$ को वैकल्पिक रूप से तर्क $x.$ के लिए $f$ के आउटपुट के रूप में जाना जाता है।

दिए गए $y,$ फलन $f$ को "मान $y,$ लेना" या "y को मान के रूप में लेना" कहा जाता है यदि फलन के डोमेन में कुछ $x$ सम्मलित है फलन के डोमेन में ऐसा है कि $f(x)=y.$ इसी तरह, दिये गये सेट $S,$ के लिए फलन $f$ में $S$ के मान के लिए यदि कुछ मान $x$ फलन के डोमेन में सम्मलित है जैसे कि कि $f(x)\in S.$ चूंकि,$f$ $S$ के लिए सभी मान संयुक्त करता है तथा इसी प्रकार $f$ फंक्शन $S$ में सम्मलित रहता है अर्ताथ $f(x)\in S$ के लिये सभी बिंदुओं पर $x$ में $f$ का डोमेन रहता हैं।

एक उपसमुच्चय का प्रतिबिंब

पूरे समय में, $f:X\to Y$ का एक फलन होने दें। उपसमुच्चय $A$ के $f$ के अंतर्गत छवि $X$, $a\in A.$ के लिए सभी $f(a)$ का समुच्चय है। इसे $f[A],$ या $f(A),$द्वारा निरूपित किया जाता है जब भ्रम का कोई खतरा नहीं होता है। सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करके, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$f[A]=\{f(a):a\in A\}.$$

यह $f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),$ फलन को प्रेरित करता है जहाँ पर ${\mathcal {P}}(S)$ पूर्ण रूप से $S$ के पावर सेट को दर्शाता है इस प्रकार यह $S.$ सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है इसकी § संकेतन देखने के लिए नीचे जाए।

एक फलन का प्रतिबिंब

किसी फलन का प्रतिबिंब किसी फलन के उसके पूरे डोमेन का प्रतिबिंब होती है, जिसे फलन के किसी फलन की श्रेणी के रूप में भी जाना जाता है। इस अंतिम प्रयोग से बचना चाहिए क्योंकि "श्रेणी" शब्द का प्रयोग साधारणतयः $f.$ के कोडोमेन के लिए भी किया जाता है।

बाइनरी संबंधों का सामान्यीकरण

यदि $R$ पर एक मनमाना द्विआधारी संबंध है, $X\times Y,$ फिर समुच्चय $\{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}$ का प्रतिबिंब, या श्रेणी कहा जाता है $R.$ दोहरे समुच्चय $R.$ के लिए $\{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}$ का डोमेन कहा जाता है

व्युत्क्रम प्रतिबिंब

"पूर्व प्रतिबिंब" redirects here. For हैश फ़ंक्शंस पर क्रिप्टोग्राफ़िक, see प्रीइमेज अटैक.

होने देना $f$ से एक फलन हो $X$ प्रति $Y.$ किसी सेट की प्राप्रतिबिंब या व्युत्क्रम प्रतिबिंब $B\subseteq Y$ नीचे $f,$ द्वारा चिह्नित $f^{-1}[B],$ द्वारा परिभाषित$X$ का उपसमुच्चय है

$$f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.$$

अन्य नोटेशन में सम्मिलित हैं $f^{-1}(B)$ तथा $f^{-}(B).$ सिंगलटन (गणित) की प्रतिलोम प्रतिबिंब, जिसे $f^{-1}[\{y\}]$द्वारा दर्शाया जाता है $f^{-1}[\{y\}]$या द्वारा $f^{-1}[y],$ इसे फाइबर (गणित) या फाइबर ओवर भी कहा जाता है $y$ या का स्तर सेट $y.$ के तत्वों पर सभी तंतुओं का समुच्चय $Y$ द्वारा अनुक्रमित सेट का एक परिवार है।

उदाहरण के लिए, फलन के लिए $f(x)=x^{2},$ की उलटी प्रतिबिंब $\{4\}$ होगी $\{-2,2\}.$ फिर से, यदि भ्रम की कोई संभावना नहीं है, $f^{-1}[B]$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है $f^{-1}(B),$ तथा $f^{-1}$ के पावर सेट से एक फलन के रूप में भी सोचा जा सकता है $Y$ के पावर सेट के लिए $X.$ संकेतन $f^{-1}$ व्युत्क्रम फलन के लिए इसके साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, चूंकि यह द्विभाजनों के लिए सामान्य एक के साथ समानता रखता है जिसमें $f$ के नीचे $B$ के व्युत्क्रम प्रतिबिंब $f^{-1}.$ के लिए $B$ का प्रतिबिम्ब है।}

नोटेशन प्रतिबिंब और इनवर्स प्रतिबिंब के लिए

पिछले खंड में प्रयुक्त पारंपरिक संकेतन मूल कार्य को अलग नहीं करते हैं $f:X\to Y$ प्रतिबिंब-ऑफ-सेट्स फलन से $f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$; इसी तरह वे व्युत्क्रम फलन (यह मानते हुए कि कोई उपलब्ध है) को व्युत्क्रम प्रतिबिंब फलन (जो फिर से पावरसेट से संबंधित है) से अलग नहीं करता है। सही संदर्भ को देखते हुए, यह अंकन को हल्का रखता है और सामान्य भ्रम पैदा नहीं करता है। लेकिन यदि आवश्यक होता है,क्योंकि एक विकल्प पावर सेट के बीच कार्यों में प्रतिबिंब और प्राप्रतिबिंब के लिए स्पष्ट नाम देता है:

तीर संकेतन

• $f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ साथ $f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$
• $f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ साथ $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$

स्टार संकेतन

• $f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ के अतिरिक्त $f^{\rightarrow }$
• $f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ के अतिरिक्त $f^{\leftarrow }$

अन्य शब्दावली

• एक वैकल्पिक संकेतन के लिए $f[A]$ गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है $f\,''A.$
• कुछ ग्रंथ का प्रतिबिंब का उल्लेख करते हैं $f$ की सीमा के रूप में $f,$ लेकिन इस प्रयोग से बचना चाहिए क्योंकि श्रेणी शब्द का प्रयोग सामान्य के कोडोमेन के अर्थ के लिए भी किया जाता है $f.$

उदाहरण

1. $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ द्वारा परिभाषित $\left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.$सेट का प्रतिबिंब $\{2,3\}$ नीचे $f$ है $f(\{2,3\})=\{a,c\}.$ फलन का प्रतिबिंब $f$ है $\{a,c\}.$ की पूर्व प्राप्रतिबिंब $a$ है $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.$ की पूर्व प्रतिबिंब $\{a,b\}$ ई आल्सो $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.$ की पूर्व प्रतिबिंब $\{b,d\}$ नीचे $f$ खाली सेट है $\{\ \}=\emptyset .$
2. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f(x)=x^{2}.$का प्रतिबिंब $\{-2,3\}$ नीचे $f$ है $f(\{-2,3\})=\{4,9\},$ और का प्रतिबिंब $f$ है $\mathbb {R} ^{+}$ (सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं और शून्य का समुच्चय है)। की पूर्व प्रतिबिंब $\{4,9\}$ नीचे $f$ है $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.$ सेट की प्राप्रतिबिंब $N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}$ नीचे $f$ रिक्त समुच्चय है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक समुच्चय में वर्गमूल नहीं होता है।
3. $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$फाइबर (गणित) $f^{-1}(\{a\})$ उत्पत्ति (गणित) , स्वयं मूल और खाली सेट (क्रमशः) के बारे में संकेंद्रित वृत्त हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि क्या $a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0$ (क्रमश)। (यदि $a\geq 0,$ फिर फाइबर $f^{-1}(\{a\})$ सभी का सेट है $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ समीकरण को संतुष्ट करना $x^{2}+y^{2}=a,$ वह है, त्रिज्या के साथ मूल-केंद्रित वृत्त ${\sqrt {a}}.$)
4. यदि $M$ कई गुना है और $\pi :TM\to M$ स्पर्शरेखा बंडल से विहित प्रोजेक्शन (गणित) है $TM$ प्रति $M,$ फिर के तंतु $\pi$ स्पर्श रेखा स्थान हैं $T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.$ यह भी फाइबर बंडल का एक उदाहरण है।
5. भागफल समूह एक समरूपी प्रतिबिम्ब प्रतिबिंब है।

गुण

See also: सेट की पहचान और संबंध कार्यों और सेटों की सूची

Counter-examples based on the real numbers $\mathbb {R} ,$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ defined by $x\mapsto x^{2},$ showing that equality generally need not hold for some laws:
Image showing non-equal sets: $f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).$ The sets $A=[-4,2]$ and $B=[-2,4]$ are shown in blue immediately below the $x$-axis while their intersection $A_{3}=[-2,2]$ is shown in green.
$f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.$
$f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.$

सामान्य

हर फलन के लिए $f:X\to Y$ और सभी सबसेट $A\subseteq X$ तथा $B\subseteq Y,$ निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

प्रतिबिंब	पूर्व प्रतिबिंब
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B$ (बराबर होगा यदि $B\subseteq f(X);$ उदाहरण के लिए, यदि $f$ एक विशेषण हो)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (बराबर होगा यदि $f$ एक अविशेषण हो)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$\left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)$	$f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

भी:

• $f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

एकाधिक कार्य

कार्यों के लिए $f:X\to Y$ तथा $g:Y\to Z$ उपसमुच्चय के साथ $A\subseteq X$ तथा $C\subseteq Z,$ निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

डोमेन या कोडोमेन के एकाधिक उपसमुच्चय

फलन के लिए $f:X\to Y$ और उपसमुच्चय $A,B\subseteq X$ तथा $S,T\subseteq Y,$ निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

Image	Preimage
$A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)$	$S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)$
$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$	$f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)$
$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)$
$f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)$
$f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)$

इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) और यूनियन (सेट थ्योरी) के बीजगणित (बूलियन बीजगणित (संरचना) ) के लिए प्रतिबिंबस और प्राप्रतिबिंब से संबंधित परिणाम उपसमुच्चयो के किसी भी संग्रह के लिए काम करते हैं, न कि केवल उपसमुच्चयो के जोड़े के लिए:

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)$

(यहां, $S$ अनंत हो सकता है, अधिकांशतः अनंत भी।)

ऊपर वर्णित उपसमुच्चय के बीजगणित के संबंध में, उलटा प्रतिबिंब फलन एक जाली समरूपता है, जबकि प्रतिबिंब फलन केवल एक अर्धवृत्ताकार समरूपता होती है (अर्थात, यह हमेशा प्रतिच्छेदन को संरक्षित नहीं करता है)।

यह भी देखें

• आक्षेप, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
• फाइबर (गणित)
• छवि (श्रेणी सिद्धांत)
• फंक्शन का एक कर्नल
• उलटा सेट करें

संदर्भ

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

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